Координаты угла 30 на окружности как их найти

Окружности координаты 30 градусов
Содержание
  1. Тригонометрические функции на единичной окружности. Тангенс и котангенс
  2. Тригонометрический круг
  3. Углы в радианах
  4. Видео
  5. Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике
  6. Тангенс угла
  7. Определение знака синуса, косинуса, тангенса и котангенса
  8. Тригонометрические функции углового и числового аргумента
  9. Два случая, когда тригонометрическая окружность может пригодиться для решения уравнений
  10. Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
  11. А теперь подробно о тригонометрическом круге:
  12. Единичная окружность
  13. Единичная окружность в тригонометрии
  14. Единичная числовая окружность на координатной плоскости
  15. п.1. Понятие тригонометрии
  16. п.2. Числовая окружность
  17. п.3. Градусная и радианная мера угла
  18. п.4. Свойства точки на числовой окружности
  19. п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности
  20. п.6. Примеры
  21. Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
  22. Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
  23. Тригонометрия: Тригонометрический круг
  24. Основное тригонометрическое тождество
  25. Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций
  26. Тригонометрия: градусы и радианы
  27. Тригонометрия: Формулы приведения
  28. Тригонометрия: Теорема синусов
  29. Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
  30. Тригонометрия: Теорема косинусов
  31. Примеры решений заданий из ОГЭ
  32. Тригонометрия: Тригонометрические уравнения
  33. Видео

Видео:Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать

Как найти координаты точек на тригонометрической окружности

Тригонометрические функции на единичной окружности. Тангенс и котангенс

Координаты угла 30 на окружности как их найти

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2 π r. Следовательно 360° в радианах равно 2 π , а 180° равно π радиан.

Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π .

Например, для угла 90° будет 90°180°· π = 12π

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Видео

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный вид треугольника — это тот, у которого один из углов равен 90°. Он образован катетами и гипотенузой со всеми значениями тригонометрии. Катеты две стороны треугольника, которые прилегают к углу 90°, а третья гипотенуза, она всегда длиннее катетов.

Координаты угла 30 на окружности как их найти

Синусом называется отношение одного из катетов к гипотенузе, косинусом отношение другого катета к ней, а тангенсом отношение двух катетов. Отношение символизирует деление. Также тангенсом является деление острого угла на синус с косинусом. Котангенсом является противоположное тангенсу отношение.

Формулы последних двух отношений выглядят следующим образом: tg(a) = sin(a) / cos(a) и ctg(a) = cos(a) / sin(a).

Видео:Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать

Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат Лекция

Тангенс угла

Синус и косинус являются основными, или, как говорят математики, прямыми тригонометрическими ф-циями. Однако есть ещё две производных тригонометрических ф-ций – тангенс и котангенс. Напомним, что тангенс угла в прямоугольном треугол-ке – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Однако в тригонометрии куда удобнее пользоваться другим его определением. Тангенс – это отношение синуса угла к его косинусу:

Координаты угла 30 на окружности как их найти

Координаты угла 30 на окружности как их найти

Для получения тангенса на единичной окружности необходимо продолжить прямую, образующую угол α, до её пересечения с прямой х = 1. Точка их пересечения будет иметь координаты (1; tgα):

Координаты угла 30 на окружности как их найти

Заметим, что если α относится ко второй четверти, то тангенс получится отрицательным. Действительно, с одной стороны, соответствующая прямая пересечет линию х = 1 в точке, лежащей ниже оси Ох:

Координаты угла 30 на окружности как их найти

С другой стороны, мы знаем, что во второй четверти синус положителен, а косинус – отрицателен. Тогда их отношение, то есть тангенс, должно быть отрицательным:

Координаты угла 30 на окружности как их найти

Очевидно, что тангенс должен быть периодической ф-цией. Однако его период вдвое меньше 2π и составляет π. Действительно, углы, отличающиеся на π, будут иметь одинаковое значение тангенса, что видно из построения:

Координаты угла 30 на окружности как их найти

Это значит, что справедлива формула:

Координаты угла 30 на окружности как их найти

С другой стороны, это означает, что тангенсы углов из III четверти положительны, ведь они равны тангенсам углов из I четверти. Аналогично можно утверждать, что тангенсы углов из IV четверти отрицательны:

Координаты угла 30 на окружности как их найти

Также тангенс является нечетной ф-цией. Чтобы убедиться в этом, найдем с помощью единичной окружности tgα и tg (– α):

Координаты угла 30 на окружности как их найти

Из построения видно, что tg (– α) = tgα, поэтому тангенс попадает под определение нечетной ф-ции.

Координаты угла 30 на окружности как их найти

Доказать этот факт можно и иначе. Вспомним, что синус – это нечетная ф-ция, а косинус – четная. Тогда, используя определение тангенса, можно записать:

Координаты угла 30 на окружности как их найти

Для вычисления тангенса проще всего использовать его определение. Мы знаем синусы и косинусы стандартных углов, а потому, деля их друг на друга, сможем найти и тангенсы стандартных углов:

Координаты угла 30 на окружности как их найти

Ещё раз отметим, что важнее всего запомнить значения синусов и косинусов стандартных углов. Зная их, школьник всегда сможет самостоятельно вычислить тангенс.

Можно ли вычислить тангенс для угла π/2, то есть для 90°? Сделать это не получится, ведь cosπ/2 равен нулю. Если подставить cosπ/2 в формулу для вычисления тангенса, то получится деление на ноль! Так как тангенс – периодическая ф-ция, то его нельзя вычислить и в тех точках, которые отличаются от π/2 на целое число π.

Координаты угла 30 на окружности как их найти

В частности, тангенс не определен при х = – π/2.

Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

Определение знака синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла ( displaystyle 30) градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

( displaystyle cos 30^circ =frac > )Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов: ( displaystyle 60^circ ) и ( displaystyle 45^circ )

Можно схитрить: в частности для угла в ( displaystyle 60^circ ) градусов. Так как если один угол прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 60^circ ) градусам, то второй – ( displaystyle 30^circ ) градусам. Теперь вступают в силу знакомые тебе формулы:( displaystyle sin 30^circ =cos 60^circ )( displaystyle sin 60^circ =cos 30^circ )Тогда так как ( displaystyle sin 30^circ =0,5), то и ( displaystyle cos 60^circ =0,5). Так как ( displaystyle cos 30^circ =frac > ), то и ( displaystyle sin 60^circ =frac > ).

C ( displaystyle 45) градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 45) градусам, то и другой тоже равен ( displaystyle 45) градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.

Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.

Тогда:( displaystyle si ^ >45^circ +co >45^circ =2si ^ >45^circ =1)( displaystyle si ^ >45^circ =co >45^circ =1/2)Откуда: ( displaystyle sin 45^circ =cos 45^circ =sqrt =frac > )

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в ( displaystyle 0) градусов и ( displaystyle 90) градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

( displaystyle sin 0^circ =0), ( displaystyle cos 0^circ =1), ( displaystyle sin 90^circ =1), ( displaystyle cos 90^circ =0).Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:

( displaystyle text g alpha =frac ), ( displaystyle ctg alpha =frac )Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

Координаты угла 30 на окружности как их найти

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.

Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса ( displaystyle 90) градусов. Это неспроста!

( displaystyle ctg 0=frac =frac =. )Поэтому мы с тобой будем считать, что тангенс ( displaystyle 90) градусов и котангенс нуля просто-напросто не определены!

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

  • Угол лежит в пределах от ( displaystyle 0) до ( displaystyle 360) градусов;
  • Угол больше ( displaystyle 360) градусов.

Честно говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим чуть позже. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.

Теперь же пусть наш угол больше ( displaystyle 90) градусов и не больше чем ( displaystyle 360).

Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.

Как мы поступаем? Да точно так же!

Давай рассмотрим вместо вот такого случая…

Координаты угла 30 на окружности как их найти

…вот такой:

Координаты угла 30 на окружности как их найти

То есть рассмотрим угол ( displaystyle alpha ), лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?

У точки ( displaystyle _ >), которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты ( displaystyle _ >) и ( displaystyle _ >).

Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен!

Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.

Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника.

Кстати, подумай, у каких углов косинус равен ( displaystyle -1)? А у каких ( displaystyle -1) равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).

Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

Координаты угла 30 на окружности как их найти

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

Синус – это игрек. Косинус – это икс. Тангенс – это синус деленный на косинус. Котангенс – это косинус деленный на синус.

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).

Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Видео:Построить угол 30°Скачать

Построить угол 30°

Два случая, когда тригонометрическая окружность может пригодиться для решения уравнений

  • В ответе у нас не получается «красивый» угол, но тем не менее надо производить отбор корней
  • В ответе получается уж слишком много серий корней

Никаких специфических знаний тебе не требуется, кроме знания темы: «Тригонометрические уравнения»

Тему «тригонометрические уравнения» я старался писать, не прибегая к окружности. Многие бы меня за такой подход не похвалили.

Но мне милее формулы, уж что тут поделать. Однако в некоторых случаях формул оказывается мало. Например здесь:

Решите уравнение: ( displaystyle 8co >x-10co >x+3=0)

Решение:

Ну что же. Решить само уравнение несложно.

Замена ( displaystyle t=co >x).

( displaystyle cosx=frac > ) или ( displaystyle cosx=-frac > )

Отсюда наше исходное уравнение равносильно аж четырем простейшим уравнениям!

Неужели нам нужно будет записывать 4 серии корней?!

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

  • Координаты угла 30 на окружности как их найти

Вот что мы видим на этом рисунке:

  • Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  • Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  • И синус, и косинус принимают значения от до .
  • Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  • Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  • Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .
  • Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

    А теперь подробно о тригонометрическом круге:

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

    Полный круг — градусов.
    Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

    где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

    Видео:Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

    Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 класс

    Единичная окружность

    Координаты угла 30 на окружности как их найти

    О чем эта статья:

    10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

    Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
    Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
    (в правом нижнем углу экрана).

    Видео:Таблица значений тригонометрических функций - как её запомнить!!!Скачать

    Таблица значений тригонометрических функций - как её запомнить!!!

    Единичная окружность в тригонометрии

    Все процессы тригонометрии изучают на единичной окружности. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.

    Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.

    Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.

    Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.

    Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.

    Координаты угла 30 на окружности как их найти

    Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.

    В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.

    Угол поворота — это угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA.

    Величины углов поворота не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании. Вот и все объяснение полезности единичной тригонометрической окружности.

    Все углы, которые принадлежат одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:

    • Если угол находится в первом квадранте, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
    • Для угла во втором квадранте все функции, за исключением sin и cos, отрицательны.
    • В третьем квадранте значения всех функций, кроме tg и ctg, меньше нуля.
    • В четвертом квадранте все функции, за исключением cos и sec, имеют отрицательные значения.

    Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:

    Координаты угла 30 на окружности как их найти

    Радиан — одна из мер для определения величины угла.

    Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.

    Число радиан для полной окружности — 360 градусов.

    Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.

    Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.

    Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:

    • 2π радиан = 360°
    • 1 радиан = (360/2π) градусов
    • 1 радиан = (180/π) градусов
    • 360° = 2π радиан
    • 1° = (2π/360) радиан
    • 1° = (π/180) радиан

    Кстати, определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии дается через координаты точек на единичной окружности. Эти определения дают возможность раскрыть свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

    Уравнение единичной окружности

    При помощи этого уравнения, вместе с определениями синуса и косинуса, можно записать основное тригонометрическое тождество:

    Координаты угла 30 на окружности как их найти

    Координаты угла 30 на окружности как их найти

    Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

    Видео:Алгебра 10 класс. 20 сентября. Числовая окружность #6 координаты точекСкачать

    Алгебра 10 класс. 20 сентября. Числовая окружность #6 координаты точек

    Единичная числовая окружность на координатной плоскости

    п.1. Понятие тригонометрии

    Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
    Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., — спроектирован с использованием тригонометрии.

    Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

    Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
    1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
    2) использование тригонометрических функций в геометрии.

    п.2. Числовая окружность

    Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
    Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

    Координаты угла 30 на окружности как их найтиЧисловая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0).
    Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0.
    Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным .
    Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90&deg, –120°, –180°.Координаты угла 30 на окружности как их найти

    п.3. Градусная и радианная мера угла

    Углы можно измерять в градусах или в радианах.
    Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
    Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

    В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

    Координаты угла 30 на окружности как их найтиНайдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°.
    Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr.
    Длина дуги AB: (l_=frac=frac=frac.)
    Тогда радианная мера угла: $$ angle AOB=frac<l_>=frac=frac $$
    30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°
    (frac)(frac)(frac)(frac)(frac)(frac)(frac)(pi)(frac)(2pi)

    п.4. Свойства точки на числовой окружности

    Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

    Координаты угла 30 на окружности как их найтиКаждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t).
    При t=0, M(0)=A.
    При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу
    AM=t. Точка M — искомая.
    При t Например:
    Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac, frac, pi), а также (-frac, -frac, -frac, -frac, -pi)
    Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности.
    Координаты угла 30 на окружности как их найти
    Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac), и (-frac).
    Все четыре точки совпадают, т.к. begin Mleft(fracright)=Mleft(frac+2pi kright)\ frac-2pi=-frac\ frac+2pi=frac\ frac+4pi=frac end

    Координаты угла 30 на окружности как их найти

    п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

    Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

    Числовой промежутокСоответствующая дуга числовой окружности
    Отрезок
    $$ -frac lt t lt frac $$ Координаты угла 30 на окружности как их найти
    а также, с учетом периода $$ -frac+2pi klt tltfrac+2pi k $$
    Координаты угла 30 на окружности как их найти
    Интервал
    $$ -frac leq t leq frac $$ Координаты угла 30 на окружности как их найти
    а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tleqfrac+2pi k $$
    Координаты угла 30 на окружности как их найти
    Полуинтервал
    $$ -frac leq t ltfrac $$ Координаты угла 30 на окружности как их найти
    а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tltfrac+2pi k $$
    Координаты угла 30 на окружности как их найти

    п.6. Примеры

    Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
    Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?

    Координаты угла 30 на окружности как их найти

    Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin BE=30^=frac.\ EC=60^=frac.\ AE=EC+CD=90^+30^=120^=frac.\ ED=EC+CD=60^+90^=150^=frac. end

    Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; frac; frac; frac).

    Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. begin -frac=-90^, frac=135^\ frac=210^, frac=315^ end

    Координаты угла 30 на окружности как их найти

    Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; 5pi; frac; frac).

    Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk — четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π.
    Далее – действуем, как в примере 2. begin -frac=fraccdotpi=-6pi+fracrightarrow frac=90^\ 5pi=4pi+pirightarrow pi=180^\ frac=fracpi=3pi-fracrightarrow pi-frac=frac\ frac=fracpi=7pi-fracrightarrow pi-frac=frac end

    Координаты угла 30 на окружности как их найти

    Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

    Координаты угла 30 на окружности как их найтиСравниваем каждое число с границами четвертей: begin 0, fracpi2approxfrac=1,57, piapprox 3,14\ 3pi 3cdot 3,14\ fracapprox frac=4,71, 2piapprox 6,28 end

    (fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
    (pilt 4lt frac Rightarrow ) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
    (fraclt 5lt 2pi Rightarrow ) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
    (7gt 2pi), отнимаем полный оборот: (0lt 7-2pilt fracpi2Rightarrow) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

    Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb)), запишите количество полученных базовых точек.

    $$ frac $$$$ -frac+2pi k $$
    Координаты угла 30 на окружности как их найти
    Четыре базовых точки, через каждые 90°
    Координаты угла 30 на окружности как их найти
    Две базовых точки, через каждые 180°
    $$ frac+frac $$$$ -frac $$
    Координаты угла 30 на окружности как их найти
    Три базовых точки, через каждые 120°
    Координаты угла 30 на окружности как их найти
    Пять базовых точек, через каждые 72°

    Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

    Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по Математике

    Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

    Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

    Координаты угла 30 на окружности как их найти

    Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

    Содержание страницы:

    Видео:Алгебра 10 класс (Урок№30 - Определение синуса, косинуса и тангенса угла.)Скачать

    Алгебра 10 класс (Урок№30 - Определение синуса, косинуса и тангенса угла.)

    Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

    Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

    Координаты угла 30 на окружности как их найти

    Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

    sin α = Противолежащий катет гипотенуза

    Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

    cos α = Прилежащий катет гипотенуза

    Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

    tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

    Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

    ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

    Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

    sin ∠ A = C B A B

    cos ∠ A = A C A B

    tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

    ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

    sin ∠ B = A C A B

    cos ∠ B = B C A B

    tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

    ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

    Видео:Расчет угловых координат с окружности 👍Скачать

    Расчет угловых координат с окружности 👍

    Тригонометрия: Тригонометрический круг

    Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

    Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

    Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

    На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

    Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

    Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

    Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

    Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

    cos α = O B O A = O B 1 = O B

    sin α = A B O A = A B 1 = A B

    Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

    Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

    Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

    Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

    Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

    Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

    Ещё одно замечание.

    Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

    Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

    Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

    Видео:Формулы приведения - как их легко выучить!Скачать

    Формулы приведения - как их легко выучить!

    Основное тригонометрическое тождество

    sin 2 α + cos 2 α = 1

    Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

    A B 2 + O B 2 = O A 2

    sin 2 α + cos 2 α = R 2

    sin 2 α + cos 2 α = 1

    Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

    Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

    Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

    0 °30 °45 °60 °90 °sin α01 22 23 21cos α13 22 21 20tg α03 313нетctg αнет313 30

    Видео:Найти координаты точки единичной окружности полученной при повороте точки Ро(1;0) на угол π, 450°...Скачать

    Найти координаты точки единичной окружности полученной при повороте точки Ро(1;0) на угол π, 450°...

    Тригонометрия: градусы и радианы

    Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

    Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

    Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

    Тригонометрия: Формулы приведения

    Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

    можно заметить, что:

    sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

    sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

    sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

    sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

    cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

    cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

    cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

    cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

    Рассмотрим тупой угол β :

    Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

    sin ( 180 ° − α ) = sin α

    cos ( 180 ° − α ) = − cos α

    tg ( 180 ° − α ) = − tg α

    ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

    Тригонометрия: Теорема синусов

    В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

    a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

    Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

    Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

    a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

    Тригонометрия: Теорема косинусов

    Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

    a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

    b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

    c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

    Примеры решений заданий из ОГЭ

    Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

    Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

    Это тема 10-11 классов.

    Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

    Поделиться или сохранить к себе: