Координаты третьей точки треугольника (5 видео)

Как найти координаты третьей вершины?

Прошу помочь в нахождении формул.

Вопрос задан более трёх лет назад
21905 просмотров

Оценить 5 комментариев

Хорошо учился бы в школе, вопросов бы не задавал.

Рад, что предоставил вам возможность почувствовать себя образованнее.

«Если задать вопрос на американском форуме, вам 40 человек дадут подробный ответ на вопрос.
Если спросить на израильском форуме, вам в ответ зададут 40 вопросов.
А если спросить на русском форуме, вам 40 человек расскажут почему ты мудак и вопрос твой мудацкий» ©

Человек же просто спросил.

В таком случае уж начните с определений:

— какая перед Вами стоит задача;
— какой инструментарий Вам доступен;
— способны ли Вы найти сумму квадратов катетов.

В противном случае не совсем понятно на каком уровне Вам отвечать: дать ссылку на готовую библиотеку или научить пользоваться калькулятором.

Раз так, то пляшем от картинки:

Один из вариантов решения Вашей задачи: предположим, что центр системы координат совпадает с точкой A, таким образом Cx=b*cos(g+t), Cy=b*sin(g+t)

Угол g вычисляем по теореме косинусов или синусов, смотря что Вам идеологически ближе (теорему см. по фиолетовой ссылке).
Синус угла t будет равен By/c.

Следует обратить внимание на периодичность функций, не забывать про различия промеж градусами и радианами, поглядывать сюда и сюда а так же иметь в виду особенные случаи про которые в условии ничего не сказано.

Не так давно уважаемый тов. timyrik20 написал хабрапост на интересующую Вас тему.

Человек же просто спросил.

Человеку прям сразу и ответили. Вполне исчерпывающе, как на уровень хабра.

Содержание

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости
Решения задач о треугольнике онлайн
Найдите координату третьей точки равностороннего треугольника.
📹 Видео

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.

Видео:№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)Скачать

Решения задач о треугольнике онлайн

Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.

Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.

Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.

Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.

Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.

Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.

Видео:Как построить точки в системе координат OXYZСкачать

Найдите координату третьей точки равностороннего треугольника.

У меня две точки A и B, координаты которых равны $ (3,4) $ и $ (- 2,3) $. Третья точка — C. Нам нужно рассчитать ее координаты.

Я думаю, что будет два возможных ответа, так как точка C может быть по обе стороны от линии, соединяющей A и B.

Теперь я положил AB = AC = BC.

Мы вычисляем AB по формуле расстояния: $ sqrt $

Я подключаю это значение к расстоянию AC и BC и, наконец, приравниваю, чтобы получить:

Теперь, что я могу сделать? Есть две переменные, я получаю уравнение линии! Как я могу это решить?

Вызовите позицию точки $ C $ коордами $ (a, b) $. Уравнения для $ C $ тогда

$$ sqrt = sqrt \ sqrt = sqrt $$ Скомбинируя оба, мы получаем $$ (a-3) ^ 2 + (b — 4) ^ 2 = 26 \ (a + 2) ^ 2 + (b — 3) ^ 2 = 26 $$ $$ a ^ 2 — 6a + 9 + b ^ 2 — 8b + 16 = 26 \ a ^ 2 + 4a + 4 + b ^ 2 — 6b + 9 = 26 $$ Вычитание этих двух дает $$ -10a + 5 — 2b + 7 = 0 $$ или $$ 6 = 5a + b $$ которая является линией, на которой должны находиться обе точки. Написав это как $$ b = 6 — 5a $$ мы можем заменить в любом уравнении. Пойдем со вторым:

$$ a ^ 2 + 4a + 4 + b ^ 2 — 6b + 9 = 26 $$ становится $$ a ^ 2 + 4a + 4 + (6-5a) ^ 2 — 6 (6-5a) + 9 = 26 $$ которая является квадратичной, которая теперь может быть решена для двух возможных значений $ a $.

(Как только вы это сделаете, вы используете $ b = 6 — 5a $, чтобы найти соответствующие $ b $ -значения.)

Решение, использующее квадратичное уравнение, является полезным инструментом, который будет работать для любого невырожденный треугольник с известными сторонами. Однако в этом конкретном случае вы можете использовать известное свойство равносторонний треугольник: если $ M $ — середина стороны $ AB $, то $ triangle AMC $ — правый треугольник с угол $ 60 $ под углом $ A $ и $ CM = sqrt3 , AM $. Мы можем объединить это с некоторыми методами, которые были заимствованы из других полезных понятия координатной геометрии.

Чтобы найти $ M $, возьмем арифметические средства координат $ A = (3,4) $ и $ B = (- 2,3) $:

$$ x_M = frac12 (x_A + x_B) = frac12 (3-2) = frac12. $$ $$ y_M = frac12 (y_A + y_B) = frac12 (4 + 3) = frac72. $$

Итак, $ M = left ( frac12, frac72 right) $.

Теперь, чтобы получить от $ M $ до $ A $, вы увеличиваете $ x $ на $ frac52 $ и $ y $ на $ frac12 $, так что линия имеет наклон $ frac15 $. Строка $ CM $ должна иметь наклон $ -5 $, чтобы сделать правильный угол с $ AM $, то есть при изменении $ frac12 $ в $ x $ мы получаем $ — frac52 $ изменение в $ y $. (Фактически, линия с наклоном $ -5 $ через $ left ( frac12, frac72 right) $ это строка $ 5x + y = 6 $, которую вы нашли другими способами.)

Итак, точка $ D = left (x_m + frac12, y_M — frac52 right) = left ( frac12 + frac12, frac72 — frac52 right) = (1,1) $ где-то на линии $ CM $ (не обязательно между $ C $ и $ M $) и $ DM = AM $. Но $ C $ — это просто $ sqrt3 $ в несколько раз от $ M $, поэтому увеличьте изменения в $ x $ и $ y $ соответственно:

$$ C = left ( frac12 + frac12 sqrt3, frac72 — frac52 sqrt3 right). $$

И, конечно же, мы могли бы пойти на равное расстояние от $ M $ в противоположном направлении:

$$ C ‘= left ( frac12 — frac12 sqrt3, frac72 + frac52 sqrt3 right). $$

Неудивительно, что это те же результаты, которые вы получаете, решая квадратичное уравнение.

Мы могли бы быть немного сложнее обо всем этом (и сохранить некоторые слова) путем обработки направленного сегмента $ MA $ в виде вектора и выполнения преобразований на нем, которые вращают его на $ 90 $ (в любом направлении) и масштабируют его на $ sqrt3 $. Но если мы знаем, как написать общее преобразование вращения и масштабирования как матрицу $ 2 times2 $, тогда мы могли бы взять $ AB $ как вектор и поверните его на $ 60 $ с масштабным коэффициентом $ 1 $, чтобы определить вектор $ AC $. Таким образом, этот метод также полезен, когда вы знаете применимые угол треугольника.