Координаты точек окружности таблица

Числовая окружность на координатной плоскости
Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Координаты точек окружности таблица

На этом уроке мы повторим важное свойство числовой окружности и поместим единичную числовую окружность в координатную плоскость по определенным правилам. Вспомним уравнение единичной числовой окружности и с его помощью решим несколько задач на нахождение координат точки на единичной числовой окружности. В конце урока составим таблицу координат для точек кратных π/6 и π/4.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Тригонометрия»

Видео:Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать

Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат Лекция

Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности

Координаты точек окружности таблицаЧисловая ось
Координаты точек окружности таблицаПрямоугольная декартова система координат на плоскости
Координаты точек окружности таблицаФормула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
Координаты точек окружности таблицаУравнение окружности на координатной плоскости

Координаты точек окружности таблица

Видео:Координаты точек на числовой окружности. Алгебра 10 класс.Скачать

Координаты точек на числовой окружности. Алгебра 10 класс.

Числовая ось

Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.

Координаты точек окружности таблица

Координаты точек окружности таблица

Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .

Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .

Видео:Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать

Как найти координаты точек на тригонометрической окружности

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Координаты точек окружности таблица

Координаты точек окружности таблица

Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.

Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координатыабсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA1 и AA2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).

Координаты точек окружности таблица

Координаты точек окружности таблица

Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A2 на числовой оси Oy .

Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).

Координаты точек окружности таблица

Координаты точек окружности таблица

Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .

Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).

Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.

Координаты точек окружности таблица

Координаты точек окружности таблица

Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .

Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости

вычисляется по формуле

Координаты точек окружности таблица

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.

Координаты точек окружности таблица

Координаты точек окружности таблица

| A1A2| 2 =
= ( x2x1) 2 + ( y2y1) 2 .
(1)

Координаты точек окружности таблица

что и требовалось доказать.

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Уравнение окружности на координатной плоскости

Координаты точек окружности таблица

Координаты точек окружности таблица

Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:

Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A0 (x0 ; y0) .

Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Урок «Числовая окружность на координатной плоскости»

Краткое описание документа:

Числовой окружности в 10 классе уделяется достаточно много времени. Это связано со значимостью этого математического объекта для всего курса математики.

Огромное значение для хорошего усвоения материала имеет правильная подборка средств обучения. К наиболее эффективным таким средствам относятся видеоуроки. В последнее время они достигают пика популярности. Поэтому автор не стал отставать от современности и разработал в помощь учителям математики столь замечательное пособие – видеоурок по теме «Числовая окружность на координатной плоскости».

Координаты точек окружности таблица

Данный урок по длительности занимает 15:22 минут. Это практически максимальное время, которое может затратить учитель на самостоятельное объяснение материала по теме. Так как на объяснение нового материала уходит столько много времени, то на закрепление необходимо подобрать самые эффективные задания и упражнения, а также выделить еще один урок, где обучающиеся будут решать задания по данной теме.

Урок начинается с изображения числовой окружности в системе координат. Автор строит эту окружность и поясняет свои действия. Затем автор называет точки пересечения числовой окружности с осями координат. Далее поясняется, какие координаты будут иметь точки окружности в разных четвертях.

После этого автор напоминает, как выглядит уравнение окружности. И вниманию слушателей представляется два макета с изображением некоторых точек на окружности. Благодаря этому, на следующем шаге автор показывает, как находятся координаты точек окружности, соответствующие определенным числам, отмеченным на шаблонах. Так получается таблица значений переменных xи y в уравнении окружности.

Далее предлагается рассмотреть пример, где необходимо определить координаты точек окружности. Перед тем, как начинать решать пример, вводится некоторое замечание, которое помогает при решении. А затем на экране появляется полное, четко структурированное и наполненное иллюстрациями решение. Здесь также присутствуют таблицы, которые облегчают понимание сущность примера.

Затем рассматриваются еще шесть примеров, которые менее трудоемкие, чем первый, но не менее важные и отражающие главную идею урока. Здесь решения представлены в полном объеме, с подробным рассказом и с элементами наглядности. А именно, в решении присутствуют рисунки, иллюстрирующие ход решения, и математическая запись, формирующая математическую грамотность обучающихся.

Учитель может ограничиться и теми примерами ,которые рассмотрены в уроке, но этого может быть недостаточно для качественного усвоения материала. Поэтому подобрать задания для закрепления просто крайне важно.

Координаты точек окружности таблица

Урок может быть полезен не только учителям, время которых постоянно ограничено, но и обучающимся. Особенно тем, кто получает семейное образование или занимается самообразованием. Материалами могут пользоваться те обучающиеся, которые пропустили урок по данной теме.

Тема нашего урока «ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ»

Мы уже знакомы с декартовой прямоугольной системой координат xOy ( икс о игрек). В этой системе координат расположим числовую окружность так, чтобы центр окружности был совмещен с началом координат, а ее радиус примем за масштабный отрезок.

Начальная точка А числовой окружности совмещена с точкой с координатами (1;0) , В – с точкой (0;1), С – с ( -1;0)( минус один, нуль), а D – с (0; -1)( нуль, минус один).

Так как каждая точка числовой окружности имеет в системе xOy (икс о игрек) свои координаты, то для точек первой четверти икх больше нуля и игрек больше нуля;

Во-второй четверти икх меньше нуля и игрек больше нуля,

для точек третьей четверти икх меньше нуля и игрек меньше нуля,

а для четвертой четверти икх больше нуля и игрек меньше нуля

Для любой точки E (x;y)(с координатами икс, игрек) числовой окружности выполняются неравенства -1≤ х≤ 1, -1≤у≤1 ( икс больше либо равно минус один, но меньше либо равно один ; игрек больше либо равно минус один, но меньше либо равно один).

Вспомним, что уравнение окружности радиусом R c центром в начале координат имеет вид х 2 + у 2 =R 2 ( икс квадрат плюс игрек квадрат равно эр квадрат). А для единичной окружности R =1, поэтому получаем х 2 + у 2 = 1

( икс квадрат плюс игрек квадрат равно один).

Найдем координаты точек числовой окружности, которые представлены на двух макетах (см. рис 2, 3)

Пусть точка E, которая соответствует

( пи на четыре) — середина первой четверти изображенная на рисунке. Из точки E опустим перпендикуляр EK на прямую ОА и рассмотрим треугольник ОEK. Угол АОЕ =45 0 , так как дуга АЕ составляет половину дуги АВ. Следовательно, треугольник ОЕК – равнобедренный прямоугольный, у которого ОК = ЕК. Значит, абсцисса и ордината точки Е равны, т.е. икс равно игрек. Чтобы найти координаты точки Е , решим систему уравнений: (икс равно игрек- первое уравнение системы и икс квадрат плюс игрек квадрат равно один – второе уравнение системы).Во второе уравнение системы вместо х подставим у, получим 2у 2 =1( два игрек квадрат равно единице), откуда у= = ( игрек равно один деленное на корень из двух равно корень из двух деленное на два) ( ордината положительна).Это значит, что точка Е в прямоугольной системе координат имеет координаты( , )( корень из двух деленное на два, корень из двух деленное на два).

Рассуждая аналогично, найдем координаты для точек, соответствующих другим числам первого макета и получим: соответствует точка с координатами (– , ) ( минус корень из двух деленное на два, корень из двух деленное на два); для — (– ,– ) ( минус корень из двух деленное на два, минус корень из двух деленное на два); для (семь пи на четыре) ( , )( корень из двух деленное на два, минус корень из двух деленное на два).

Пусть точка D соответствует (рис.5). Опустим перпендикуляр из DР(дэ пэ) на ОА и рассмотрим треугольник ОDР. Гипотенуза этого треугольника OD равна радиусу единичной окружности, то есть единице, а угол DОР равен тридцати градусам, так как дуга АD = диги АВ( а дэ равно одной трети а бэ), а дуга АВ равна девяносто градусов. Следовательно, DР = (дэ пэ равно одной второй О дэ равно одной второй) Так как катет, лежащий против угла в тридцать градусов равен половине гипотенузы, то есть у = ( игрек равно одной второй). Применяя теорему Пифагора, получим ОР 2 = ОD 2 – DР 2 ( о пэ квадрат равно о дэ квадрат минус дэ пэ квадрат), но ОР = х ( о пэ равно икс) . Значит, х 2 = ОD 2 – DР 2 =

значит, х 2 = (икс квадрат равно трем четвертым) и х = ( икс равно корень из трех на два).

Икс положительное, т.к. находится в первой четверти. Получили, что точка D в прямоугольной системе координат имеет координаты ( , ) корень из трех деленное на два, одна вторая.

Рассуждая аналогичным образом, найдем координаты для точек, соответствующих другим числам второго макета и все полученные данные запишем в таблицы:

ПРИМЕР1. Найдите координаты точек числовой окружности: а) С1( );

б) С2( ); в) С3(41π); г) С4( — 26π). (цэ один соответствующая тридцать пять пи на четыре, цэ два соответствующая минус сорока девяти пи на три, цэ три соответствующая сорок одному пи, цэ четыре соответствующая минус двадцати шести пи).

Решение. Воспользуемся утверждение, полученным ранее: если точка D числовой окружности соответствуют числу t, то она соответствует и любому числу вида t + 2πk( тэ плюс два пи ка), где ка –любое целое число, т.е. kϵZ (ка принадлежит зэт).

а) Получим = ∙ π = ( 8 + ) ∙π = + 2π ∙ 4.( тридцать пять пи на четыре равно тридцать пять на четыре, умноженное на пи равно сумме восьми и трех четвертых, умноженной на пи равно три пи на четыре плюс произведение двух пи на четыре).Это значит, что числу тридцать пять пи на четыре соответствует та же точка числовой окружности, что и числу три пи на четыре. Используя таблицу 1, получим С1( ) = С1(- 😉 .

б) Аналогично координаты С2: = ∙ π = — (16 + ∙π = + 2π ∙ ( — 8 ). Значит, числу

соответствует та же точка числовой окружности, что и числу . А числу соответствует на числовой окружности та же точка, что и числу

( показать второй макет и таблицу 2). Для точки имеем х = , у =.

в) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20.Значит, числу 41π соответствует та же точка числовой окружности, что и числу π – это точка с координатами ( -1 ; 0).

г) — 26π = 0 + 2π ∙ ( — 13), то есть числу — 26π соответствует та же точка числовой окружности, что и числу ноль, — это точка с координатами ( 1;0).

Координаты точек окружности таблица

ПРИМЕР 2. Найти на числовой окружности точки с ординатой у = и записать, каким числам t они соответствуют.

Решение. Прямая у = пересекает числовую окружность в двух точках. Одна точка соответствует числу , вторая точка соответствует числу ,

Следовательно все точки получаем прибавляя полный оборот 2πk где k показывает сколько полных оборотов делает точка , т.е. получаем ,

а любому числу все числа вида + 2πk. Часто в таких случаях говорят, что получили две серии значений : + 2πk, + 2πk.

ПРИМЕР 3. Найти на числовой окружности точки с абсциссой х = и записать, каким числам t они соответствуют.

Решение. Прямая х = пересекает числовую окружность в двух точках. Одна точка соответствует числу ( смотри второй макет),

а значит и любому числу вида + 2πk. А вторая точка соответствует числу , а значит, и любому числу вида + 2πk. Эти две серии значений можно охватить одной записью : ± + 2πk( плюс минус два пи на три плюс два пи ка).

ПРИМЕР 4. Найти на числовой окружности точки с ординатой у > и записать, каким числам t они соответствуют.

Прямая у = пересекает числовую окружность в двух точках M и P. А неравенству у > соответствуют точки открытой дуги МР, это значит дуги без концов (то есть без и ) , при движении по окружности против часовой стрелки , начиная с точки М, а заканчивая в точке Р. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство и записать, каким числам t они соответствуют.

🎬 Видео

Координаты точек на числовой окружности, часть 5. Алгебра 10 класс.Скачать

Координаты точек на числовой окружности, часть 5. Алгебра 10 класс.

Coordinates on Circle - Координаты точек окружностиСкачать

Coordinates on Circle - Координаты точек окружности

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Координаты точек на числовой окружности, часть 2. Алгебра 10 класс.Скачать

Координаты точек на числовой окружности, часть 2. Алгебра 10 класс.

Найти координаты точки единичной окружности полученной при повороте точки Ро(1;0) на угол π, 450°...Скачать

Найти координаты точки единичной окружности полученной при повороте точки Ро(1;0) на угол π, 450°...

9 класс, 11 урок, Формулы для вычисления координат точкиСкачать

9 класс, 11 урок, Формулы для вычисления координат точки

Точки, полученные поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала координат на заданные углыСкачать

Точки, полученные поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала координат на заданные углы

Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскостиСкачать

10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскости

Координаты точек на числовой окружности, часть 3. Алгебра 10 класс.Скачать

Координаты точек на числовой окружности, часть 3. Алгебра 10 класс.

Координаты точек на числовой окружности, часть 6. Алгебра 10 класс.Скачать

Координаты точек на числовой окружности, часть 6. Алгебра 10 класс.

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.

Точки на числовой окружностиСкачать

Точки на числовой окружности
Поделиться или сохранить к себе: