Содержание:
- Система координат в пространстве
- Декартова система координат в пространстве
- Расстояние между двумя точками
- Уравнение сферы и шара
- Координаты середины отрезка
- Векторы в пространстве и действия над ними
- Векторы в пространстве
- Действия над векторами в пространстве
- Свойства суммы векторов
- Правило треугольника сложения векторов
- Правило параллелограмма сложения векторов
- Правило многоугольника сложения векторов
- Коллинеарные и компланарные векторы
- Скалярное произведение векторов
- Свойства скалярного произведения векторов
- Преобразование и подобие в пространстве
- Геометрические преобразования в пространстве
- Движение и параллельный перенос
- Центральная симметрия в пространстве
- Симметрия относительно плоскости
- Поворот и симметрия относительно оси
- Симметрия в природе и технике
- Подобие пространственных фигур
- Прямоугольные координаты (прямоугольная система координат)
- Определение прямоугольной системы координат
- Векторы в пространстве и метод координат
- Система координат в пространстве
- Плоскость в пространстве задается уравнением:
- 📹 Видео
Видео:Как построить точки в системе координат OXYZСкачать
Система координат в пространстве
Декартова система координат в пространстве
Вы познакомились с декартовой системой координат на плоскости в предыдущих классах. Систему координат в пространстве введём аналогично тому, как это было сделано на плоскости. Рассмотрим три взаимно перпендикулярных оси Ох, Оу и Оz, пересекающихся в точке О, являющейся началом координат. Через каждую пару этих прямых проведём плоскости Оху, 0xz и Оуz (рис. 1). Таким образом вводится система координат в пространстве, при этом
точку О — называют началом координат, прямые Ох, Оу и Оz — осями координат, Ох — ось абсцисс, Оу — ось ординат и Оz — ось аппликат, плоскости Оху, Оуz и Охz — координатными плоскостями.
Координатные плоскости делят пространство на 8 октант (получетвертей) (рис. 1).
Пусть в пространстве задана произвольная точка А. Через эту точку проведём плоскости, перпендикулярные плоскостям Охz, Оуz и Охz (рис. 2). Одна из этих плоскостей пересечёт ось Ох в точке Ах.
Координату Ах на оси Ох называют координатой х или абсциссой точки А.
Аналогично определяют у — координату (ординату) и z- координату (аппликату) точки А.
Координаты точки А записывают в виде А (х; у; z) или короче (х; у; z). Точки, изображённые на рисунке 3, имеют следующие координаты: А (0; 5; 0), B (4; 0; 0), М (0; 5; 4), К (2; 3; 4), Р (-2; 3; -4).
Пример:
Пусть в пространстве в декартовой системе координат
задана точка А (2; 3; 4). Где она расположена?
Решение:
От начала координат в положительном направлении осей Ох и Оу отложим отрезки ОАх = 2 и ОАу = 3 (рис. 4).
Через точку Ах проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Оу. А через точку Аy проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Ох. Точку пересечения этих прямых обозначим A1 . Через точку A1 проведём прямую, перпендикулярную плоскости Оху и на ней в положительном направлении Oz отложим отрезок АА1 = 4. Тогда точка А (2; 3; 4) и будет искомой точкой.
Пользуясь системой координат, созданной для современных программируемых станков и автоматизированных роботов, составляются программы, на основе которых обрабатываются металлы (рис. 5).
Расстояние между двумя точками
1.Сначала рассмотрим случай, когда прямая АВ не параллельна оси Оz (рис. 6). Через точки А и В проведём прямые, параллельные оси Оz. И пусть они пересекают плоскость Оху в точках Аz и Вz .
Координаты х и у этих точек соответственно равны координатам х и у точек А, В, а координаты z равны 0.
Теперь через точку В проведём плоскость а, параллельную плоскости Оху. Она пересечёт прямую ААz в некоторой точке С.
По теореме Пифагора: АВ 2 = АС 2 + СВ 2 .
Однако
Поэтому
2.Пусть отрезок АВ параллелен оси Оz, тогда и, так как
Следовательно, расстояние между двумя точками А и В:
(1)
Примечание. Формула (1) выражает длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны
Уравнение сферы и шара
Известно, что множество всех точек М (х; у; z), расположенных на расстоянии R от данной точки А (а; Ь; с) образуют сферу (рис. 7). Тогда по формуле (1) координаты всех точек, расположенных на сфере радиуса R с центром в точке А (а; b; с), удовлетворяют равенству
Отсюда, ясно, что неравенство для точек шара радиуса R с центром в
точке А (а; b; с) имеет вид:
Пример:
Найдите периметр треугольника ABC с вершинами в
Решение:
Р=АВ+АС+ВС периметр треугольника ABC. Воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками, найдём длины сторон треугольника:
Следовательно, треугольник ABC равносторонний и его периметр .
Ответ:
Координаты середины отрезка
Пусть А (x1; y1;z1) и В (х2; у2; z2) — произвольные точки, точка С (х; у; z) середина отрезка AB (рис. 8).
Через точки А, В и С проведём прямые, параллельные оси пересекающие плоскость Оху в точках и . Тогда по теореме Фалеса точка Сz — середина отрезка АzВz.
Отсюда по формулам нахождения координат середины отрезка на плоскости
Чтобы найти координату z, нужно вместо плоскости Оху рассмотреть плоскость 0xz или Оуz.
Тогда и для z получим формулу, подобную вышеприведённой.
Аналогично, используя координаты концов A и B отрезка AB, по формулам
находят координаты точки Р(х1;у]; г,), делящей отрезок АВ в отношении X САР: РВ = X).
Доказательство: Для решения задачи используем признак параллелограмма: Четырёхугольник, точка пересечения диагоналей которого делит их пополам, является параллелограммом.
Координаты середины отрезка МК:
Координаты середины отрезка NL:
Координаты середин отрезков МК и NL равны. Это говорит о том, что отрезки пeрeсeкаются и в точке пeрeсeчeния делятся пополам. Следовательно, четырёхугольник MNLK — параллелограмм.
В переписке с известным целителем и математиком Абу Али ибн Сино Абу Райхон Беруни задаёт следующий вопрос: «Почему Аристотель и другие (философы) называют шесть сторон?»
Рассматривая шестисторонний куб, Беруни говорит о фигурах «с другим количеством сторон» и добавляет, что «шарообразные фигуры не имеют сторон.» А Ибн Сино отвечает, что «во всех случаях нужно считать, что сторон шесть, так как у каждой фигуры, независимо от её формы, есть три измерения — длина, глубина и ширина».
Здесь Ибн Сино имеет ввиду три координаты, именуемые условно «шесть сторон».
В произведении «Канон Масъуда» Беруни приводит точное математическое определение шести сторон: «Сторон шесть, так как они ограничивают движение фигур по своим измерениям. Измерений три: длина, ширина и глубина. А их в два раза больше самих измерений.»
В предыдущих книгах автор определяет положение небесных тел с помощью двух координат относительно небесной сферы — эклиптического уравнения. Либо через те же координаты, но относительно небесного экватора или горизонта. Однако при определении взаимного расположения звёзд и небесных светил придётся учитывать и случаи затмений. Вот в таких случаях появляется необходимость в третьей сферической координате. Эта необходимость привела Беруни к отказу от теории небесных координат.
Векторы в пространстве и действия над ними
Векторы в пространстве
Понятие вектора в пространстве вводят также как на плоскости.
Вектором в пространстве называют направленный отрезок. Основные понятия, относящиеся к векторам в пространстве, аналогичны этим понятиям на плоскости: длина (модуль), направление вектора, равенство векторов.
Координатами вектора с началом в точке А (х1; у1; z1) и концом в точке В (х1; у1; z1) называют числа , (рис. 17).
Приведем без доказательства свойства векторов, аналогичных свойствам на плоскости.
Также как на плоскости, соответствующие координаты равных векторов равны и, обратно, векторы с равными координатами равны.
Hа основании этого вектор можно обозначить как или или кратко (рис. 18).
Вектор можно записать и без координат (или ). В этой записи
на первом месте начало вектора, а на втором — конец.
Вектор с координатами, равными нулю, называют нулевым вектором и обозначают или , направление этого вектора не определено.
Если начало вектора расположено в начале координат О, а числа а1,
координатами вектора : (а1; а2; а3).
Однако вектор в пространстве с началом в точке К(с1; с2; с3) и концом в точке будет иметь те же координаты: .
Отсюда следует, что вектор можно приложить к любой точке пространства. В геометрии мы рассматриваем такие свободные векторы. Но в физике, обычно вектор связан с некоторой точкой. Например, воздействие силы приложенная к пружине F на рисунке 19 зависит от точки её приложения.
Длинной вектора называют длину направленного отрезка
изображающего его (рис. 17). Длину вектора записывают
так. Длина вектора , заданного координатами,
вычисляется по формуле .
Пример:
Даны точки А (2; 7;-3),В (1; 0; 3), С (-3;-4; 5) и D (-2; 3; -1). Какие из векторов и равны между собой?
Решение:
У равных векторов равны соответствующие координаты. Поэтому найдём координаты векторов:
Следовательно, .
Докажите самостоятельно, что
Действия над векторами в пространстве
Действия над векторами. Сложение векторов, умножение на число и их скалярное произведение определяется также как на плоскости.
Суммой векторов и (b1; b2; b3); называют вектор (рис. 20).
Пусть кран на рисунке 20.b движется вдоль вектора , а груз относительно крана вдоль вектора . В результате груз движется вдоль вектора . Поэтому из рисунка 20.с, на котором изображён сюжeт басни русского писателя И.А.Крылова, ясно, что герои басни не смогут сдвинуть телегу с места.
Свойства суммы векторов
Для любых векторов , и имеют место следующие свойства:
a) — переместительный закон сложения векторов;
b) — распределительный закон сложения.
Правило треугольника сложения векторов
Для любых точек А, В и С (рис. 21):
Правило параллелограмма сложения векторов
Если АВСD — параллелограмм (рис. 22), то
Правило многоугольника сложения векторов
Если точки А, В, С, D и Е — вершины многоугольника (рис. 23), то
Правило параллелепипеда сложения трёх векторов, не лежащих в одной плоскости. Если АВСDА1В1С1D1 параллелепипед (рис. 24), то
.
Вектор = (a1; a2; a3) — называют умножением вектора
(a1; a2; a3) на число (рис. 25). Свойства операции умножения вектора на число.
Для любых векторов и и чисел и
а);
b);
c) и направление вектора
совпадает с направлением вектора , если ,
противоположно направлению вектора , если .
Коллинеарные и компланарные векторы
Пусть заданы ненулевые векторы и . Если векторы
и сонаправлены или противоположно направлены,
то их называют коллинеарными векторами (рис. 26).
Свойство 1. Если для векторов и имеет место равенство , то они коллинеарны и наоборот.
Если , то векторы и сонаправлены , если, то
противоположно направлены .
Свойство 2. Если векторы (a1; a2; a3) и (b1; b2; b3) коллинеарны,
то их соответствующие координаты пропорциональны:
и наоборот.
Пример:
Найдите вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом в точке В, лежащей в плоскости Оху, коллинеарный вектору ( 1; 2; 3).
Решение:
Пусть точка В имеет координаты В (х; у; z). Так как точка В лежит в плоскости Оху, то z=0. Тогда (х — 1 ;у — 1; — 1).
По условию задачи векторы (х — 1 ;у — 1; — 1) и (1, 2, 3) коллинеарны. Следовательно, их координаты пропорциональны.
Тогда получаем следующие пропорции .
Откуда находим , .
Итак,
Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называют компланарными векторами (рис. 27).
Векторы (1; 0; 0), (0; 1; 0) и (0; 0; 1) называют ортами (рис. 28).
Любой вектор можно единственным образом разложить по ортам, то есть представить в виде (рис. 29).
Точно также, если заданы три нeкомпланарных вектора и , то любой вектор можно единственным образом представить в виде:
.
Здесь некоторые действительные числа. Тогда говорят, что вектор разложен по заданным векторам.
Скалярное произведение векторов
Углом между ненулевыми векторами и называют угол между направленными отрезками векторов = и =, исходящих из точки О (рис. 30).
Угол между векторами и обозначают так .
Скалярным произведением векторов и называют произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.
Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение этих векторов равно нулю.
Скалярное произведение обозначают или . По определению (1)
Из определения следует, что если скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны и наоборот.
В физике работа A, выполненная при движении тела на расстоянии , под воздействием силы (рис. 31), равна скалярному произведению силы на расстояние:
Свойство. Если и (b1; b2; b3), то () =
Доказательство. Приложим векторы и к началу
координат О (рис.32). Тогда = и = (b1; b2; b3).
Если векторы неколлинеарны, то получаем треугольник АВО , для которого справедлива теорема косинусов.
Тогда .
Однако, ,
и .
Следовательно,
.
Самостоятельно докажите, что и в случае, когда данные векторы коллинеарны , также выполняется
это равенство.
Свойства скалярного произведения векторов
1. — переместительное свойство.
2. — распределительное свойство.
3. — сочетательное свойство.
4.Если векторы а и b являются сонаправленными коллинеарными
векторами, то , так как соs 0° = 1.
5.Если же векторы противоположно направлены, то , так как cos l80° = -1.
6. .
7. Если вектор перпендикулярен вектору , то . Следствия: а) Длина вектора ; (1) b) косинус угла между векторами
: ; (2)
с) условие перпендикулярности векторов и
.
(3)
Пример:
— заданные точки. Найдите косинус угла между векторами .
Решение:
Найдём длины векторов :
,
.
,
.
Пример:
Найдите угол между векторами .
Решение:
Итак,
Пример:
Найдите , если , и угол между векторамии равен .
Решение:
Пример:
Найдите координаты и длины векторов 1); 2), если .
Решение:
Подставим в выражения искомых векторов разложения векторов и по координатам:
1)
. Следовательно,.
Тогда.
2)
.
Следовательно, .
Тогда
Пример:
Найдите произведение, если угол между векторами и равен 30° и , .
Решение:
Сначала найдём поизведение векторов и :
.
Затем перемножим заданные выражения как многочлены
и, пользуясь распределительным свойством умножения
вектора на число, получим:
.
Учитывая, что ,
найдём искомое произведение
Преобразование и подобие в пространстве
Геометрические преобразования в пространстве
Если каждую точку заданной в пространстве фигуры F изменить одним и тем же способом, то получим фигуру F1. Если при этом преобразовании различные точки первой фигуры переходят в различные точки второй, то говорят о преобразовании геометрической фигуры.
Если рассматривать все пространства как геометрическую фигуру, то также можно говорить о преобразовании геометрической фигуры.
Понятие геометрического преобразование в пространстве вводят также как на плоскости. Следовательно, свойства некоторых рассматриваeмых ниже видов преобразований и их доказательства также подобны соответствующим им на плоскости. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.
Движение и параллельный перенос
Преобразование фигур, при котором сохраняются расстояния между точками, называют движением. Можно привести следующие свойства движения. При движении прямая переходит в прямую, луч — в луч, отрезок — в равный ему отрезок, угол — в равный ему угол, треугольник — в равный ему треугольник, плоскость — в плоскость, тетраэдр — в равный ему тетраэдр.
В пространстве фигуры, которые можно перевести одну в другую при некотором движении называют равными фигурами.
Простейшим примером движения является параллельный перенос.
Пусть в пространстве даны вектор и произвольная точка Х
(рис. 44). Говорят, что точка Х перешла в точку X1 параллельным
переносом на вектор , если выполняется условие . Если каждую точку фигуры F сдвинуть на вектор при помощи параллельного переноса (рис. 45), то получим фигуру F1. Тогда говорят, что фигура F получена параллельным переносом фигуры F1 . При параллельном переносе каждая точка фигуры F сдвигается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
Каждая точка подъёмного крана, изображённого на рисунке 46, параллельно перенесена на 40 м относительно начального положения.
Ясно, что параллельный перенос является движением. Поэтому прямая переходит в прямую, луч — в луч, плоскость — в плоскость,
Пусть точка фигуры F перешла в точку
фигуры F1 при помощи параллельного переноса
на вектор .
Тогда по определению получим:
или
.
Эти равенства называют формулами параллельного переноса.
Пример:
В какую точку перейдёт точка Р (-2; 4; 6) при параллельном переносе на вектор = (3; 2; 5)?
Решение:
По вышеприведённым формулам параллельного переноса: .
Ответ: .
Центральная симметрия в пространстве
Если в пространстве , то есть точка О — середина отрезка АА1 то точки А и А1 называют симметричными относительно точки О.
Если в пространстве каждая точка фигуры F переходит в точку, симметричную относительно точки О (рис. 47), то такое преобразование называют симметрией относительно точки О. На рисунках 48, 49 изображёны фигуры симметричные относительно точки О. Симметрия относительно точки является движением.
Если при симметрии относительно точки О фигура F переходит в себя, то её называют центрально симметричной фигурой.
Например, диагонали параллелепипеда (рис. 50) относительно их точки пересечения О являются центрально симметричными фигурами.
Пример:
В какую точку перейдет точка A = (1; 2; 3) при симметрии относительно точки О (2; 4; 6)?
Решение:
Пусть А1 = (х; у; z) — искомая точка. По определению точка
О — середина отрезка АА1. Следовательно,
Из этих уравнений получаем:
.
Ответ:
Симметрия относительно плоскости
Точки А и А1 называют симметричными относительно плоскости а,
если плоскость перпендикулярна отрезку и делит его пополам (рис. 51). Фигуры F1, и F2 на рисунке 52 симметричны относительно
плоскости а. Очевидно, что наш силуэт и его отражение симметричны относительно плоскости зеркала (рис. 53).
Симметрия относительно плоскости а является движением.
Поэтому при симметрии относительно плоскости а отрезок переходит в равный ему отрезок, прямая — в прямую, плоскость — в плоскость.
Если при симмeтрии относительно плоскости фигура F переходит в себя, то её называют фигурой симметричной относительно плоскости.
Например, изображённый на рисунке 54 куб, есть фигура, симметричная относительно плоскости а, проходящей через его диагонали АА1 и СС1.
Поворот и симметрия относительно оси
Пусть в пространстве заданы точки А и А1 и прямая l. Если перпендикуляры АК и А1К, опущенные на прямую l, равны и образуют угол , то говорят, что точка А перешла в точку А1 в результате поворота на угол относительно прямой l (рис. 55).
Если каждую точку фигуры F повернуть на угол относительно прямой l, то получим новую фигуру F1 . Тогда говорят, что фигура F перешла в фигуру F1 с помощью поворота на угол относительно прямой l. На рисунке 56 мы видим фигуры, полученные таким поворотом. Например, повернув куб, изображённый на рисунке 57, на 180° относительно прямой l, получим новый куб.
Поворот относительно прямой также является движением.
Поворот на 180° относительно прямой l называют симметрией относительно прямой l.
Центр, ось и плоскость симметрии называют элементами симметрии. Точки, симметричные точке А (х; у; z) относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат, будут иметь следующие координаты:
Симметрия в природе и технике
В природе на каждом шагу можно встретить симметрию.
Например, множество живых существ, в частности тела человека и животных, листья растений и цветы устроены симметрично (рис. 58). Также в неживой природе есть элементы, например, снежинки, кристаллы соли. Молекулярное строение веществ тоже состоит из симметричных фигур. Это, конечно, неспроста, поскольку симметричные фигуры не только красивы, но и самые устойчивые.
Раз так, то можно считать, что красота и совершенство природы построены на основе симметрии. Взяв за основу природную красоту и совершенство, строители, инженеры и архитекторы создают строения и механизмы, здания и сооружения, технику и транспортные средства симметричными. В этой работе им очень помогает наука геометрия.
Подобие пространственных фигур
Пусть и преобразование переводят фигуру F1, в фигуру F2. Если
при этом преобразовании для произвольных точек X1 и Х2 фигуры F1 и соответствующих им точек Y1 и Y2 фигуры , то это преобразование называют преобразованием подобия (рис. 59).
Как видим, понятие преобразования подобия в пространстве вводится также как на плоскости. Следовательно, рассматриваемые ниже виды подобия, их свойства и доказательства этих свойств подобны соответствующим на плоскости. Поэтому, мы не будем останавливаться на их доказательствах и рекомендуем провести их самостоятельно. Преобразование подобия в пространстве отображает прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок и угол в угол. Точно также это преобразование плоскость отображает в плоскость.
Если в пространстве одна из фигур перешла в другую с помощью преобразования подобия, то эти фигуры называют подобными.
Пусть в пространстве задана фигура F, точка О и число к . Преобразование, переводящее произвольную точку X фигуры F в точку Х1 удовлетворяющую условию , называют гомотетией относительно центра О с коэффициентом (рис. 61). Точку О называют центром гомотетии, а число коэффициентом гомотетии. Если в результате такого преобразования каждой точки фигуры F получена фигура F1 то говорят, что фигура F гомотетична фигуре F1.
Вы видите, что определение гомотетии в пространстве аналогично соответствующему определению на плоскости. Следовательно, все свойства и их доказательства аналогичны. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.
Гомотетия относительно точки О с коэффициентом является преобразованием подобия. Гомотетия с отличным от нуля коэффициентом при = 1 отображает фигуру F в себя, а при =-1 в фигуру F1 симметричную фигуре F относительно точки О. В остальных случаях гомотетии не сохраняет расстояния между точками, т. е. не является движением. В результате гомотетии расстояние между точками увеличивается в одно и тоже число раз, т. е. меняются измерения фигуры, но сохраняется её форма. При гомотетии а) прямая отображается в параллельную ей прямую (рис. 62.а); b) плоскость — в параллельную ей плоскость (рис. 62.b), если они не проходят через центр гомотетии.
Если же прямая или плоскость проходят через центр гомотетии, то они отображаются в себя.
Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Иррациональные числа
- Действительные числа
- Решение уравнений высших степеней
- Системы неравенств
- Уравнения и неравенства
- Уравнения и неравенства содержащие знак модуля
- Уравнение
- Метод математической индукции
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Видео:11 класс, 1 урок, Прямоугольная система координат в пространствеСкачать
Прямоугольные координаты (прямоугольная система координат)
Видео:Прямоугольная система координат в пространстве. 11 класс.Скачать
Определение прямоугольной системы координат
Аффинная система координат называется прямоугольной , если ее базис ортонормированный. Выбирая стандартные базисы (см. разд.1.3.5), получаем:
— прямоугольную систему координат на прямой — это точка и единичный вектор на прямой. Точки и (рис.2.4) на координатной оси обозначаются и ;
— прямоугольную систему координат на плоскости — это точка и два взаимно перпендикулярных единичных вектора и на плоскости (вектор — первый базисный вектор, a — второй; пара векторов — правая). Координатные оси (абсцисс) и (ординат) разбивают плоскость на 4 части, называемые квадрантами (четвертями) (рис.2.5). Точка , например, принадлежит четверти;
— прямоугольную систему координат в пространстве — это точка и три попарно перпендикулярных единичных вектора (вектор — первый базисный вектор, — второй, а — третий; тройка векторов — правая). Координатные оси обозначаются: — ось абсцисс, — ось ординат, — ось аппликат. Координатные плоскости , проходящие через пары координатных осей, разбивают пространство на 8 октантов (рис.2.6). Точка , например, принадлежит октанту.
Прямоугольные системы координат обозначают также указанием начала координат и координатных осей, например, .
Координаты векторов и точек в прямоугольной системе координат называются прямоугольными координатами .
Координатами вектора в прямоугольной системе координат называются коэффициенты в разложении вектора по стандартному базису (см. разд. 1.3.5).
Координатами точки в прямоугольной системе координат называются координаты ее радиус-вектора в стандартном базисе. В пространстве это коэффициенты в разложении , на плоскости — коэффициенты в разложении , на прямой — коэффициент в разложении . Прямоугольные координаты точки (или ее радиус-вектора) можно представить координатным столбцом:
1. В прямоугольной системе координат расстояние между точками и находится по формуле
Для координатной плоскости и координатной прямой соответственно получаем
2. Ориентированной площадью треугольника называется его площадь , взятая со знаком плюс, если ориентация пары векторов правая, и со знаком минус, если ориентация — левая. Если на плоскости известны прямоугольные координаты вершин , треугольника , то его ориентированная площадь вычисляется по формуле
Действительно, по свойствам определителя (см. разд.П.6) получаем половину ориентированной площади параллелограмма, построенного на векторах и (см. разд.1.5.3):
3. Ориентированным объемом тетраэдра (треугольной пирамиды) называется её объем, взятый со знаком плюс, если ориентация тройки векторов правая, и со знаком минус, если ориентация — левая. Если известны прямоугольные координаты вершин , , , тетраэдра , то его ориентированный объем вычисляется по формуле
Действительно, вычитая первую строку определителя из остальных строк и раскладывая затем определитель по последнему столбцу, получаем , т.е. одну шестую ориентированного объема параллелепипеда, построенного на векторах .
Пример 2.2. Известны прямоугольные координаты вершин треугольника (рис.2.7). Требуется найти:
а) длину медианы ;
б) длину биссектрисы ;
в) высоту , опущенную из вершины .
Решение. а) Учитывая пункт 3 замечаний 2.1, находим координаты точки — середины стороны :
Учитывая пункт 1 замечаний 2.2, получаем:
б) Найдем координаты точки , которая делит сторону в отношении (свойство биссектрисы треугольника). Так как и , то, учитывая пункт 2 замечаний 2.1 , находим , т.е. .
в) Учитывая пункт 2 замечаний 2.2, находим ориентированную площадь треугольника :
Следовательно, площадь этого треугольника , тогда , поскольку .
Пример 2.3. Известны прямоугольные координаты вершин треугольной пирамиды . Требуется найти:
а) длину отрезка , соединяющего вершину пирамиды с точкой пересечения медиан грани (см. рис.2.3);
б) объем пирамиды.
Решение. а) Координаты точки найдены в примере 2.1: . Поэтому
б) Найдем ориентированный объем пирамиды по формуле пункта 3 замечаний 2.2. Вычитая первую строку из остальных строк и раскладывая определитель по последнему столбцу, получаем
Видео:Прямоугольная система координат в пространстве. Практическая часть. 11 класс.Скачать
Векторы в пространстве и метод координат
Существует два способа решения задач по стереометрии
Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.
Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.
Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.
Видео:Координаты на плоскости и в пространстве. Вебинар | МатематикаСкачать
Система координат в пространстве
Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.
Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.
Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:
Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.
Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.
Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:
Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма
Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .
Произведение вектора на число:
Скалярное произведение векторов:
Косинус угла между векторами:
Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:
Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.
Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.
Запишем координаты векторов:
и найдем косинус угла между векторами и :
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.
Координаты точек A, B и C найти легко:
Из прямоугольного треугольника AOS найдем
Координаты вершины пирамиды:
Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.
Найдем координаты векторов и
и угол между ними:
Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:
3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1
Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.
Запишем координаты точек:
Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.
Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:
Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.
Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать
Плоскость в пространстве задается уравнением:
Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.
Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.
Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.
Покажем, как это делается.
Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).
Уравнение плоскости выглядит так:
Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.
То есть A + C + D = 0.
Аналогично для точки K:
Получили систему из трех уравнений:
В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.
Пусть, например, D = −2. Тогда:
Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:
Решив систему, получим:
Уравнение плоскости MNK имеет вид:
Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:
Вектор — это нормаль к плоскости MNK.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:
Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.
Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.
Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.
Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.
Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.
Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:
Напишем уравнение плоскости AEF.
Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.
Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.
Уравнение плоскости AEF:
Нормаль к плоскости AEF:
Найдем угол между плоскостями:
5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.
Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂
Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».
Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?
«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.
Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .
Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:
Координаты вектора — тоже:
Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:
Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле
Получим:
Ответ:
Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.
Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.
Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:
6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.
Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат
Находим координаты вектора .
Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .
Найдем угол между прямой и плоскостью:
Ответ:
Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:
7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.
Построим чертеж и выпишем координаты точек:
Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D
Решим эту систему. Выберем
Тогда
Уравнение плоскости A1DB имеет вид:
Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:
В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.
📹 Видео
Частное положение точек. Точки принадлежащие к плоскостям проекции.Скачать
Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора. Видеоурок по геометрии 11 классСкачать
46. Прямоугольная система координат в пространствеСкачать
Геометрия 11 класс (Урок№1 - Координаты в пространстве. Система координат.)Скачать
Задача, которую боятсяСкачать
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ 11 классСкачать
Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать
Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать
Прямоугольная система координат. Координатная плоскость. 6 класс.Скачать
Координаты вектора. 9 класс.Скачать
Прямоугольная система координат в пространствеСкачать
Метод координат для ЕГЭ с нуля за 30 минут.Скачать
Длина отрезкаСкачать
Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать