Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Система координат в пространстве — определение с примерами решения

Содержание:

Содержание
  1. Система координат в пространстве
  2. Декартова система координат в пространстве
  3. Расстояние между двумя точками
  4. Уравнение сферы и шара
  5. Координаты середины отрезка
  6. Векторы в пространстве и действия над ними
  7. Векторы в пространстве
  8. Действия над векторами в пространстве
  9. Свойства суммы векторов
  10. Правило треугольника сложения векторов
  11. Правило параллелограмма сложения векторов
  12. Правило многоугольника сложения векторов
  13. Коллинеарные и компланарные векторы
  14. Скалярное произведение векторов
  15. Свойства скалярного произведения векторов
  16. Преобразование и подобие в пространстве
  17. Геометрические преобразования в пространстве
  18. Движение и параллельный перенос
  19. Центральная симметрия в пространстве
  20. Симметрия относительно плоскости
  21. Поворот и симметрия относительно оси
  22. Симметрия в природе и технике
  23. Подобие пространственных фигур
  24. Прямоугольные координаты (прямоугольная система координат)
  25. Определение прямоугольной системы координат
  26. Векторы в пространстве и метод координат
  27. Система координат в пространстве
  28. Плоскость в пространстве задается уравнением:
  29. 📹 Видео

Видео:Как построить точки в системе координат OXYZСкачать

Как построить точки в системе координат OXYZ

Система координат в пространстве

Декартова система координат в пространстве

Вы познакомились с декартовой системой координат на плоскости в предыдущих классах. Систему координат в пространстве введём аналогично тому, как это было сделано на плоскости. Рассмотрим три взаимно перпендикулярных оси Ох, Оу и Оz, пересекающихся в точке О, являющейся началом координат. Через каждую пару этих прямых проведём плоскости Оху, 0xz и Оуz (рис. 1). Таким образом вводится система координат в пространстве, при этом

точку О — называют началом координат, прямые Ох, Оу и Оzосями координат, Охось абсцисс, Оуось ординат и Оzось аппликат, плоскости Оху, Оуz и Охzкоординатными плоскостями.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координатные плоскости делят пространство на 8 октант (получетвертей) (рис. 1).

Пусть в пространстве задана произвольная точка А. Через эту точку проведём плоскости, перпендикулярные плоскостям Охz, Оуz и Охz (рис. 2). Одна из этих плоскостей пересечёт ось Ох в точке Ах.

Координату Ах на оси Ох называют координатой х или абсциссой точки А.

Аналогично определяют у — координату (ординату) и z- координату (аппликату) точки А.

Координаты точки А записывают в виде А (х; у; z) или короче (х; у; z). Точки, изображённые на рисунке 3, имеют следующие координаты: А (0; 5; 0), B (4; 0; 0), М (0; 5; 4), К (2; 3; 4), Р (-2; 3; -4). Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Пример:

Пусть в пространстве в декартовой системе координат

задана точка А (2; 3; 4). Где она расположена?

Решение:

От начала координат в положительном направлении осей Ох и Оу отложим отрезки ОАх = 2 и ОАу = 3 (рис. 4).

Через точку Ах проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Оу. А через точку Аy проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Ох. Точку пересечения этих прямых обозначим A1 . Через точку A1 проведём прямую, перпендикулярную плоскости Оху и на ней в положительном направлении Oz отложим отрезок АА1 = 4. Тогда точка А (2; 3; 4) и будет искомой точкой. Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Пользуясь системой координат, созданной для современных программируемых станков и автоматизированных роботов, составляются программы, на основе которых обрабатываются металлы (рис. 5).

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Расстояние между двумя точками

1.Сначала рассмотрим случай, когда прямая АВ не параллельна оси Оz (рис. 6). Через точки А и В проведём прямые, параллельные оси Оz. И пусть они пересекают плоскость Оху в точках Аz и Вz .

Координаты х и у этих точек соответственно равны координатам х и у точек А, В, а координаты z равны 0.

Теперь через точку В проведём плоскость а, параллельную плоскости Оху. Она пересечёт прямую ААz в некоторой точке С.

По теореме Пифагора: АВ 2 = АС 2 + СВ 2 .

Однако Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Поэтому Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

2.Пусть отрезок АВ параллелен оси Оz, тогда Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи, так как

Следовательно, расстояние между двумя точками А и В:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(1)

Примечание. Формула (1) выражает длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Уравнение сферы и шара

Известно, что множество всех точек М (х; у; z), расположенных на расстоянии R от данной точки А (а; Ь; с) образуют сферу (рис. 7). Тогда по формуле (1) координаты всех точек, расположенных на сфере радиуса R с центром в точке А (а; b; с), удовлетворяют равенству Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Отсюда, ясно, что неравенство для точек шара радиуса R с центром в

точке А (а; b; с) имеет вид: Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Пример:

Найдите периметр треугольника ABC с вершинами в

Решение:

Р=АВ+АС+ВС периметр треугольника ABC. Воспользовавшись формулой Координаты прямоугольного треугольника в пространстверасстояния между двумя точками, найдём длины сторон треугольника:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Следовательно, треугольник ABC равносторонний и его периметр Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Ответ: Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты середины отрезка

Пусть А (x1; y1;z1) и В (х2; у2; z2) — произвольные точки, точка С (х; у; z) середина отрезка AB (рис. 8). Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Через точки А, В и С проведём прямые, параллельные оси пересекающие плоскость Оху в точках Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространстве. Тогда по теореме Фалеса точка Сz — середина отрезка АzВz.

Отсюда по формулам нахождения координат середины отрезка на плоскости Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Чтобы найти координату z, нужно вместо плоскости Оху рассмотреть плоскость 0xz или Оуz.

Тогда и для z получим формулу, подобную вышеприведённой.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Аналогично, используя координаты концов A и B отрезка AB, по формулам Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

находят координаты точки Р(х1;у]; г,), делящей отрезок АВ в отношении X САР: РВ = X).

Доказательство: Для решения задачи используем признак параллелограмма: Четырёхугольник, точка пересечения диагоналей которого делит их пополам, является параллелограммом.

Координаты середины отрезка МК:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты середины отрезка NL:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты середин отрезков МК и NL равны. Это говорит о том, что отрезки пeрeсeкаются и в точке пeрeсeчeния делятся пополам. Следовательно, четырёхугольник MNLK — параллелограмм.Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

В переписке с известным целителем и математиком Абу Али ибн Сино Абу Райхон Беруни задаёт следующий вопрос: «Почему Аристотель и другие (философы) называют шесть сторон?»

Рассматривая шестисторонний куб, Беруни говорит о фигурах «с другим количеством сторон» и добавляет, что «шарообразные фигуры не имеют сторон.» А Ибн Сино отвечает, что «во всех случаях нужно считать, что сторон шесть, так как у каждой фигуры, независимо от её формы, есть три измерения — длина, глубина и ширина».

Здесь Ибн Сино имеет ввиду три координаты, именуемые условно «шесть сторон».

В произведении «Канон Масъуда» Беруни приводит точное математическое определение шести сторон: «Сторон шесть, так как они ограничивают движение фигур по своим измерениям. Измерений три: длина, ширина и глубина. А их в два раза больше самих измерений.»

В предыдущих книгах автор определяет положение небесных тел с помощью двух координат относительно небесной сферы — эклиптического уравнения. Либо через те же координаты, но относительно небесного экватора или горизонта. Однако при определении взаимного расположения звёзд и небесных светил придётся учитывать и случаи затмений. Вот в таких случаях появляется необходимость в третьей сферической координате. Эта необходимость привела Беруни к отказу от теории небесных координат.

Векторы в пространстве и действия над ними

Векторы в пространстве

Понятие вектора в пространстве вводят также как на плоскости.

Вектором в пространстве называют направленный отрезок. Основные понятия, относящиеся к векторам в пространстве, аналогичны этим понятиям на плоскости: длина (модуль), направление вектора, равенство векторов.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координатами вектора с началом в точке А (х1; у1; z1) и концом в точке В (х1; у1; z1) называют числа Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, (рис. 17).

Приведем без доказательства свойства векторов, аналогичных свойствам на плоскости.

Также как на плоскости, соответствующие координаты равных векторов равны и, обратно, векторы с равными координатами равны.

Hа основании этого вектор можно обозначить как Координаты прямоугольного треугольника в пространствеили Координаты прямоугольного треугольника в пространствеили кратко Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(рис. 18).

Вектор можно записать и без координат Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(или Координаты прямоугольного треугольника в пространстве). В этой записи

на первом месте начало вектора, а на втором — конец.

Вектор с координатами, равными нулю, называют нулевым вектором и обозначают Координаты прямоугольного треугольника в пространствеили Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, направление этого вектора не определено.

Если начало вектора расположено в начале координат О, а числа а1,

координатами вектора Координаты прямоугольного треугольника в пространстве: Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(а1; а2; а3).

Однако вектор в пространстве Координаты прямоугольного треугольника в пространствес началом в точке К(с1; с2; с3) и концом в точке Координаты прямоугольного треугольника в пространствебудет иметь те же координаты: Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Отсюда следует, что вектор можно приложить к любой точке пространства. В геометрии мы рассматриваем такие свободные векторы. Но в физике, обычно вектор связан с некоторой точкой. Например, воздействие силы приложенная к пружине F на рисунке 19 зависит от точки её приложения.

Длинной вектора называют длину направленного отрезка

изображающего его (рис. 17). Длину вектора Координаты прямоугольного треугольника в пространствезаписывают

такКоординаты прямоугольного треугольника в пространстве. Длина вектора Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, заданного координатами,

вычисляется по формуле Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Пример:

Даны точки А (2; 7;-3),В (1; 0; 3), С (-3;-4; 5) и D (-2; 3; -1). Какие из векторов Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространстверавны между собой?

Решение:

У равных векторов равны соответствующие координаты. Поэтому найдём координаты векторов:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Следовательно, Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Докажите самостоятельно, что Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Действия над векторами в пространстве

Действия над векторами. Сложение векторов, умножение на число и их скалярное произведение определяется также как на плоскости.

Суммой векторов Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(b1; b2; b3); называют вектор Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(рис. 20).

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Пусть кран на рисунке 20.b движется вдоль вектора Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, а груз относительно крана вдоль вектора Координаты прямоугольного треугольника в пространстве. В результате груз движется вдоль вектора Координаты прямоугольного треугольника в пространстве. Поэтому из рисунка 20.с, на котором изображён сюжeт басни русского писателя И.А.Крылова, ясно, что герои басни не смогут сдвинуть телегу с места.

Свойства суммы векторов

Для любых векторов Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространствеимеют место следующие свойства:

a) Координаты прямоугольного треугольника в пространстве— переместительный закон сложения векторов;

b) Координаты прямоугольного треугольника в пространстве— распределительный закон сложения.

Правило треугольника сложения векторов

Для любых точек А, В и С (рис. 21): Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Правило параллелограмма сложения векторов

Если АВСD — параллелограмм (рис. 22), то Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Правило многоугольника сложения векторов

Если точки А, В, С, D и Е — вершины многоугольника (рис. 23), тоКоординаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Правило параллелепипеда сложения трёх векторов, не лежащих в одной плоскости. Если АВСDА1В1С1D1 параллелепипед (рис. 24), то

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Вектор Координаты прямоугольного треугольника в пространствеКоординаты прямоугольного треугольника в пространстве​​​​​​= (Координаты прямоугольного треугольника в пространствеa1; Координаты прямоугольного треугольника в пространствеa2; Координаты прямоугольного треугольника в пространствеa3) — называют умножением вектора

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(a1; a2; a3) на число Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(рис. 25). Свойства операции умножения вектора на число.

Для любых векторов Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи чисел Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

а)Координаты прямоугольного треугольника в пространстве;

b)Координаты прямоугольного треугольника в пространстве;

c) Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи направление вектора Координаты прямоугольного треугольника в пространствеКоординаты прямоугольного треугольника в пространстве

совпадает с направлением вектора Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, если Координаты прямоугольного треугольника в пространстве,

противоположно направлению вектора Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, если Координаты прямоугольного треугольника в пространстве. Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Коллинеарные и компланарные векторы

Пусть заданы ненулевые векторы Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространстве. Если векторы

Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространствесонаправлены или противоположно направлены,

то их называют коллинеарными векторами (рис. 26).

Свойство 1. Если для векторов Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространствеимеет место равенство Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, то они коллинеарны и наоборот.

Если Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, то векторы Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространствесонаправлены Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, еслиКоординаты прямоугольного треугольника в пространстве, то

противоположно направлены Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Свойство 2. Если векторы Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(a1; a2; a3) и Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(b1; b2; b3) коллинеарны,

то их соответствующие координаты пропорциональны:

Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи наоборот.

Пример:

Найдите вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом в точке В, лежащей в плоскости Оху, коллинеарный вектору Координаты прямоугольного треугольника в пространстве( 1; 2; 3).

Решение:

Пусть точка В имеет координаты В (х; у; z). Так как точка В лежит в плоскости Оху, то z=0. Тогда Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(х — 1 ;у — 1; — 1).

По условию задачи векторы Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(х — 1 ;у — 1; — 1) и Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(1, 2, 3) коллинеарны. Следовательно, их координаты пропорциональны.

Тогда получаем следующие пропорции Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Откуда находим Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Итак,Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называют компланарными векторами (рис. 27). Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Векторы Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(1; 0; 0), Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(0; 1; 0) и Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(0; 0; 1) называют ортами (рис. 28).

Любой вектор Координаты прямоугольного треугольника в пространствеможно единственным образом разложить по ортам, то есть представить в виде Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(рис. 29).

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Точно также, если заданы три нeкомпланарных вектора Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, то любой вектор Координаты прямоугольного треугольника в пространствеможно единственным образом представить в виде:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Здесь Координаты прямоугольного треугольника в пространственекоторые действительные числа. Тогда говорят, что вектор разложен по заданным векторам.

Скалярное произведение векторов

Углом между ненулевыми векторами Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространственазывают угол между направленными отрезками векторов Координаты прямоугольного треугольника в пространстве= Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространстве=Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, исходящих из точки О (рис. 30).

Угол между векторами Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространствеобозначают так Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Скалярным произведением векторов Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространственазывают произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Скалярное произведение обозначают Координаты прямоугольного треугольника в пространствеили Координаты прямоугольного треугольника в пространстве. По определению Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(1)

Из определения следует, что если скалярное произведение векторов Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространстверавно нулю, то эти векторы перпендикулярны и наоборот.

В физике работа A, выполненная при движении тела на расстоянии Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, под воздействием силы Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(рис. 31), равна скалярному произведению силы Координаты прямоугольного треугольника в пространствена расстояниеКоординаты прямоугольного треугольника в пространстве: Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Свойство. Если Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(b1; b2; b3), то (Координаты прямоугольного треугольника в пространствеКоординаты прямоугольного треугольника в пространстве) = Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Доказательство. Приложим векторы Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространствек началу

координат О (рис.32). Тогда Координаты прямоугольного треугольника в пространстве= Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространстве= (b1; b2; b3).

Если векторы неколлинеарны, то получаем треугольник АВО , для которого справедлива теорема косинусов.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Тогда Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Однако, Координаты прямоугольного треугольника в пространстве,Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

и Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Следовательно,Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Самостоятельно докажите, что и в случае, когда данные векторы коллинеарны Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, также выполняется

это равенство. Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Свойства скалярного произведения векторов

1. Координаты прямоугольного треугольника в пространстве— переместительное свойство.

2. Координаты прямоугольного треугольника в пространстве— распределительное свойство.

3. Координаты прямоугольного треугольника в пространстве— сочетательное свойство.

4.Если векторы а и b являются сонаправленными коллинеарными

векторами, то Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, так как соs 0° = 1.

5.Если же векторы противоположно направлены, то Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, так как cos l80° = -1.

6. Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

7. Если вектор Координаты прямоугольного треугольника в пространствеперпендикулярен вектору Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, то Координаты прямоугольного треугольника в пространстве. Следствия: а) Длина вектора Координаты прямоугольного треугольника в пространстве; (1) b) косинус угла между векторами

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве: Координаты прямоугольного треугольника в пространстве; (2)

с) условие перпендикулярности векторов Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(3)

Пример:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве— заданные точки. Найдите косинус угла между векторами Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Решение:

Найдём длины векторов Координаты прямоугольного треугольника в пространстве:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве,

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве,

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Пример:

Найдите угол между векторами Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Решение:

Координаты прямоугольного треугольника в пространствеИтак, Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Пример:

Найдите Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, если Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи угол между векторамиКоординаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространстверавен Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Решение:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Пример:

Найдите координаты и длины векторов 1)Координаты прямоугольного треугольника в пространстве; 2)Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, если Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Решение:

Подставим в выражения искомых векторов разложения векторов Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространствепо координатам:

1)Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве. Следовательно,Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

ТогдаКоординаты прямоугольного треугольника в пространстве.

2)Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространствеКоординаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Следовательно, Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Тогда Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Пример:

Найдите произведениеКоординаты прямоугольного треугольника в пространстве, если угол между векторами Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространстверавен 30° и Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Решение:

Сначала найдём поизведение векторов Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространстве:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Затем перемножим заданные выражения как многочлены

и, пользуясь распределительным свойством умножения

вектора на число, получим:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Учитывая, что Координаты прямоугольного треугольника в пространстве,

Координаты прямоугольного треугольника в пространственайдём искомое произведение

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Преобразование и подобие в пространстве

Геометрические преобразования в пространстве

Если каждую точку заданной в пространстве фигуры F изменить одним и тем же способом, то получим фигуру F1. Если при этом преобразовании различные точки первой фигуры переходят в различные точки второй, то говорят о преобразовании геометрической фигуры.

Если рассматривать все пространства как геометрическую фигуру, то также можно говорить о преобразовании геометрической фигуры.

Понятие геометрического преобразование в пространстве вводят также как на плоскости. Следовательно, свойства некоторых рассматриваeмых ниже видов преобразований и их доказательства также подобны соответствующим им на плоскости. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

Движение и параллельный перенос

Преобразование фигур, при котором сохраняются расстояния между точками, называют движением. Можно привести следующие свойства движения. При движении прямая переходит в прямую, луч — в луч, отрезок — в равный ему отрезок, угол — в равный ему угол, треугольник — в равный ему треугольник, плоскость — в плоскость, тетраэдр — в равный ему тетраэдр.

В пространстве фигуры, которые можно перевести одну в другую при некотором движении называют равными фигурами.

Простейшим примером движения является параллельный перенос.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Пусть в пространстве даны вектор Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи произвольная точка Х

(рис. 44). Говорят, что точка Х перешла в точку X1 параллельным

переносом на вектор Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, если выполняется условие Координаты прямоугольного треугольника в пространстве. Если каждую точку фигуры F сдвинуть на вектор Координаты прямоугольного треугольника в пространствепри помощи параллельного переноса (рис. 45), то получим фигуру F1. Тогда говорят, что фигура F получена параллельным переносом фигуры F1 . При параллельном переносе каждая точка фигуры F сдвигается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Каждая точка подъёмного крана, изображённого на рисунке 46, параллельно перенесена на 40 м относительно начального положения.

Ясно, что параллельный перенос является движением. Поэтому прямая переходит в прямую, луч — в луч, плоскость — в плоскость,

Пусть точка Координаты прямоугольного треугольника в пространствефигуры F перешла в точку Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

фигуры F1 при помощи параллельного переноса

на вектор Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Тогда по определению получим:

Координаты прямоугольного треугольника в пространствеили

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Эти равенства называют формулами параллельного переноса.

Пример:

В какую точку перейдёт точка Р (-2; 4; 6) при параллельном переносе на вектор Координаты прямоугольного треугольника в пространстве= (3; 2; 5)?

Решение:

По вышеприведённым формулам параллельного переноса: Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Ответ: Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Центральная симметрия в пространстве

Если в пространстве Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, то есть точка О — середина отрезка АА1 то точки А и А1 называют симметричными относительно точки О.

Если в пространстве каждая точка фигуры F переходит в точку, симметричную относительно точки О (рис. 47), то такое преобразование называют симметрией относительно точки О. На рисунках 48, 49 изображёны фигуры симметричные относительно точки О. Симметрия относительно точки является движением.

Если при симметрии относительно точки О фигура F переходит в себя, то её называют центрально симметричной фигурой.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Например, диагонали параллелепипеда (рис. 50) относительно их точки пересечения О являются центрально симметричными фигурами.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Пример:

В какую точку перейдет точка A = (1; 2; 3) при симметрии относительно точки О (2; 4; 6)?

Решение:

Пусть А1 = (х; у; z) — искомая точка. По определению точка

О — середина отрезка АА1. Следовательно,

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Из этих уравнений получаем:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Ответ: Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Симметрия относительно плоскости

Точки А и А1 называют симметричными относительно плоскости а,

если плоскость перпендикулярна отрезку и делит его пополам (рис. 51). Фигуры F1, и F2 на рисунке 52 симметричны относительно

плоскости а. Очевидно, что наш силуэт и его отражение симметричны относительно плоскости зеркала (рис. 53).

Симметрия относительно плоскости а является движением. Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Поэтому при симметрии относительно плоскости а отрезок переходит в равный ему отрезок, прямая — в прямую, плоскость — в плоскость.

Если при симмeтрии относительно плоскости фигура F переходит в себя, то её называют фигурой симметричной относительно плоскости.

Например, изображённый на рисунке 54 куб, есть фигура, симметричная относительно плоскости а, проходящей через его диагонали АА1 и СС1.

Поворот и симметрия относительно оси

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Пусть в пространстве заданы точки А и А1 и прямая l. Если перпендикуляры АК и А1К, опущенные на прямую l, равны и образуют угол Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, то говорят, что точка А перешла в точку А1 в результате поворота на угол Координаты прямоугольного треугольника в пространствеотносительно прямой l (рис. 55).

Если каждую точку фигуры F повернуть на угол Координаты прямоугольного треугольника в пространствеотносительно прямой l, то получим новую фигуру F1 . Тогда говорят, что фигура F перешла в фигуру F1 с помощью поворота на угол Координаты прямоугольного треугольника в пространствеотносительно прямой l. На рисунке 56 мы видим фигуры, полученные таким поворотом. Например, повернув куб, изображённый на рисунке 57, на 180° относительно прямой l, получим новый куб.

Поворот относительно прямой также является движением.

Поворот на 180° относительно прямой l называют симметрией относительно прямой l.

Центр, ось и плоскость симметрии называют элементами симметрии. Точки, симметричные точке А (х; у; z) относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат, будут иметь следующие координаты:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Симметрия в природе и технике

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

В природе на каждом шагу можно встретить симметрию.

Например, множество живых существ, в частности тела человека и животных, листья растений и цветы устроены симметрично (рис. 58). Также в неживой природе есть элементы, например, снежинки, кристаллы соли. Молекулярное строение веществ тоже состоит из симметричных фигур. Это, конечно, неспроста, поскольку симметричные фигуры не только красивы, но и самые устойчивые.

Раз так, то можно считать, что красота и совершенство природы построены на основе симметрии. Взяв за основу природную красоту и совершенство, строители, инженеры и архитекторы создают строения и механизмы, здания и сооружения, технику и транспортные средства симметричными. В этой работе им очень помогает наука геометрия.

Подобие пространственных фигур

Пусть Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи преобразование переводят фигуру F1, в фигуру F2. Если

при этом преобразовании для произвольных точек X1 и Х2 фигуры F1 и соответствующих им точек Y1 и Y2 фигуры Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, то это преобразование называют преобразованием подобия (рис. 59).

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Как видим, понятие преобразования подобия в пространстве вводится также как на плоскости. Следовательно, рассматриваемые ниже виды подобия, их свойства и доказательства этих свойств подобны соответствующим на плоскости. Поэтому, мы не будем останавливаться на их доказательствах и рекомендуем провести их самостоятельно. Преобразование подобия в пространстве отображает прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок и угол в угол. Точно также это преобразование плоскость отображает в плоскость.

Если в пространстве одна из фигур перешла в другую с помощью преобразования подобия, то эти фигуры называют подобными.

Пусть в пространстве задана фигура F, точка О и число к Координаты прямоугольного треугольника в пространстве. Преобразование, переводящее произвольную точку X фигуры F в точку Х1 удовлетворяющую условию Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, называют гомотетией относительно центра О с коэффициентом Координаты прямоугольного треугольника в пространстве(рис. 61). Точку О называют центром гомотетии, а число Координаты прямоугольного треугольника в пространствекоэффициентом гомотетии. Если в результате такого преобразования каждой точки фигуры F получена фигура F1 то говорят, что фигура F гомотетична фигуре F1.

Вы видите, что определение гомотетии в пространстве аналогично соответствующему определению на плоскости. Следовательно, все свойства и их доказательства аналогичны. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Гомотетия относительно точки О с коэффициентом Координаты прямоугольного треугольника в пространствеявляется преобразованием подобия. Гомотетия с отличным от нуля коэффициентом Координаты прямоугольного треугольника в пространствепри Координаты прямоугольного треугольника в пространстве= 1 отображает фигуру F в себя, а при Координаты прямоугольного треугольника в пространстве=-1 в фигуру F1 симметричную фигуре F относительно точки О. В остальных случаях гомотетии не сохраняет расстояния между точками, т. е. не является движением. В результате гомотетии расстояние между точками увеличивается в одно и тоже число Координаты прямоугольного треугольника в пространствераз, т. е. меняются измерения фигуры, но сохраняется её форма. При гомотетии а) прямая отображается в параллельную ей прямую (рис. 62.а); b) плоскость — в параллельную ей плоскость (рис. 62.b), если они не проходят через центр гомотетии.

Если же прямая или плоскость проходят через центр гомотетии, то они отображаются в себя.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Иррациональные числа
  • Действительные числа
  • Решение уравнений высших степеней
  • Системы неравенств
  • Уравнения и неравенства
  • Уравнения и неравенства содержащие знак модуля
  • Уравнение
  • Метод математической индукции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:11 класс, 1 урок, Прямоугольная система координат в пространствеСкачать

11 класс, 1 урок, Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольные координаты (прямоугольная система координат)

Видео:Прямоугольная система координат в пространстве. 11 класс.Скачать

Прямоугольная система координат в пространстве. 11 класс.

Определение прямоугольной системы координат

Аффинная система координат называется прямоугольной , если ее базис ортонормированный. Выбирая стандартные базисы (см. разд.1.3.5), получаем:

— прямоугольную систему координат на прямой — это точка и единичный вектор на прямой. Точки и (рис.2.4) на координатной оси обозначаются и ;

— прямоугольную систему координат на плоскости — это точка и два взаимно перпендикулярных единичных вектора и на плоскости (вектор — первый базисный вектор, a — второй; пара векторов — правая). Координатные оси (абсцисс) и (ординат) разбивают плоскость на 4 части, называемые квадрантами (четвертями) (рис.2.5). Точка , например, принадлежит четверти;

— прямоугольную систему координат в пространстве — это точка и три попарно перпендикулярных единичных вектора (вектор — первый базисный вектор, — второй, а — третий; тройка векторов — правая). Координатные оси обозначаются: — ось абсцисс, — ось ординат, — ось аппликат. Координатные плоскости , проходящие через пары координатных осей, разбивают пространство на 8 октантов (рис.2.6). Точка , например, принадлежит октанту.

Прямоугольные системы координат обозначают также указанием начала координат и координатных осей, например, .

Координаты векторов и точек в прямоугольной системе координат называются прямоугольными координатами .

Координатами вектора в прямоугольной системе координат называются коэффициенты в разложении вектора по стандартному базису (см. разд. 1.3.5).

Координатами точки в прямоугольной системе координат называются координаты ее радиус-вектора в стандартном базисе. В пространстве это коэффициенты в разложении , на плоскости — коэффициенты в разложении , на прямой — коэффициент в разложении . Прямоугольные координаты точки (или ее радиус-вектора) можно представить координатным столбцом:

1. В прямоугольной системе координат расстояние между точками и находится по формуле

Для координатной плоскости и координатной прямой соответственно получаем

2. Ориентированной площадью треугольника называется его площадь , взятая со знаком плюс, если ориентация пары векторов правая, и со знаком минус, если ориентация — левая. Если на плоскости известны прямоугольные координаты вершин , треугольника , то его ориентированная площадь вычисляется по формуле

Действительно, по свойствам определителя (см. разд.П.6) получаем половину ориентированной площади параллелограмма, построенного на векторах и (см. разд.1.5.3):

3. Ориентированным объемом тетраэдра (треугольной пирамиды) называется её объем, взятый со знаком плюс, если ориентация тройки векторов правая, и со знаком минус, если ориентация — левая. Если известны прямоугольные координаты вершин , , , тетраэдра , то его ориентированный объем вычисляется по формуле

Действительно, вычитая первую строку определителя из остальных строк и раскладывая затем определитель по последнему столбцу, получаем , т.е. одну шестую ориентированного объема параллелепипеда, построенного на векторах .

Пример 2.2. Известны прямоугольные координаты вершин треугольника (рис.2.7). Требуется найти:

а) длину медианы ;

б) длину биссектрисы ;

в) высоту , опущенную из вершины .

Решение. а) Учитывая пункт 3 замечаний 2.1, находим координаты точки — середины стороны :

Учитывая пункт 1 замечаний 2.2, получаем:

б) Найдем координаты точки , которая делит сторону в отношении (свойство биссектрисы треугольника). Так как и , то, учитывая пункт 2 замечаний 2.1 , находим , т.е. .

в) Учитывая пункт 2 замечаний 2.2, находим ориентированную площадь треугольника :

Следовательно, площадь этого треугольника , тогда , поскольку .

Пример 2.3. Известны прямоугольные координаты вершин треугольной пирамиды . Требуется найти:

а) длину отрезка , соединяющего вершину пирамиды с точкой пересечения медиан грани (см. рис.2.3);

б) объем пирамиды.

Решение. а) Координаты точки найдены в примере 2.1: . Поэтому

б) Найдем ориентированный объем пирамиды по формуле пункта 3 замечаний 2.2. Вычитая первую строку из остальных строк и раскладывая определитель по последнему столбцу, получаем

Видео:Прямоугольная система координат в пространстве. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Прямоугольная система координат в пространстве. Практическая часть.  11 класс.

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:Координаты на плоскости и в пространстве. Вебинар | МатематикаСкачать

Координаты на плоскости и в пространстве. Вебинар | Математика

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве
Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Длина вектора Координаты прямоугольного треугольника в пространствев пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Произведение вектора на число:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Скалярное произведение векторов:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Косинус угла между векторами:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространстве. Для этого нужны их координаты.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Запишем координаты векторов:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

и найдем косинус угла между векторами Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространстве:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты точек A, B и C найти легко:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Из прямоугольного треугольника AOS найдем Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты вершины пирамиды: Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Найдем координаты векторов Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

и угол между ними:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Запишем координаты точек:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Найдем координаты векторов Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, а затем угол между ними:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

То есть A + C + D = 0.

Координаты прямоугольного треугольника в пространствеКоординаты прямоугольного треугольника в пространстве

Аналогично для точки K:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Получили систему из трех уравнений:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Решив систему, получим:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Вектор Координаты прямоугольного треугольника в пространстве— это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Координаты прямоугольного треугольника в пространствеимеет вид:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор Координаты прямоугольного треугольника в пространствеперпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Напишем уравнение плоскости AEF.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Берем уравнение плоскости Координаты прямоугольного треугольника в пространствеи по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Координаты прямоугольного треугольника в пространствеКоординаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF: Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Нормаль к плоскости AEF: Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Найдем угол между плоскостями:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор Координаты прямоугольного треугольника в пространствеили, еще проще, вектор Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты вектора Координаты прямоугольного треугольника в пространстве— тоже:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Получим:
Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Ответ: Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть Координаты прямоугольного треугольника в пространстве— вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), Координаты прямоугольного треугольника в пространстве— нормаль к плоскости α.

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Находим координаты вектора Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор Координаты прямоугольного треугольника в пространстве.

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Ответ: Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = Координаты прямоугольного треугольника в пространстве, AD = Координаты прямоугольного треугольника в пространстве. Высота параллелепипеда AA1 = Координаты прямоугольного треугольника в пространстве. Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

Координаты прямоугольного треугольника в пространствеКоординаты прямоугольного треугольника в пространстве

Решим эту систему. Выберем Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Тогда Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

Координаты прямоугольного треугольника в пространстве

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

📹 Видео

Частное положение точек. Точки принадлежащие к плоскостям проекции.Скачать

Частное положение точек. Точки принадлежащие к плоскостям проекции.

Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора. Видеоурок по геометрии 11 классСкачать

Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора. Видеоурок по геометрии 11 класс

46. Прямоугольная система координат в пространствеСкачать

46. Прямоугольная система координат в пространстве

Геометрия 11 класс (Урок№1 - Координаты в пространстве. Система координат.)Скачать

Геометрия 11 класс (Урок№1 - Координаты в пространстве. Система координат.)

Задача, которую боятсяСкачать

Задача, которую боятся

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ 11 классСкачать

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ  11 класс

Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Прямоугольная система координат. Координатная плоскость. 6 класс.Скачать

Прямоугольная система координат. Координатная плоскость. 6 класс.

Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Прямоугольная система координат в пространствеСкачать

Прямоугольная система координат в пространстве

Метод координат для ЕГЭ с нуля за 30 минут.Скачать

Метод координат для ЕГЭ с нуля за 30 минут.

Длина отрезкаСкачать

Длина отрезка

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика
Поделиться или сохранить к себе: