Конус с сечением прямоугольного треугольника

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Так как все образующие конуса равны, то его осевым сечением является равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются образующие конуса, а основанием — диаметр конуса. При этом все осевые сечения конуса — равные равнобедренные треугольники . На рисунке 168 осевым сечением конуса является треугольник ABP ( АР = ВР ). Угол АPВ называют углом при вершине осевого сечения конуса .

Конус, в осевом сечении которого правильный треугольник, называется равносторонним конусом.

Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, пересекает конус, но не проходит через его ось, то в сечении конуса также получается равнобедренный треугольник (см. рис. 168: △ DCP ).

Так как конус — тело вращения, то любое сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его оси (т. е. параллельной основанию конуса), есть круг, а сечение боковой поверхности конуса такой плоскостью — окружность этого круга; центром круга (окружности) является точка пересечения оси конуса и секущей плоскости (рис. 169).

Если секущая плоскость не параллельна плоскости основания конуса и не пересекает основание, то сечением боковой поверхности конуса такой плоскостью является эллипс (рис. 170). Поэтому эллипс называют коническим сечением .

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Конус с сечением прямоугольного треугольникаЕсли сечением цилиндрической поверхности плоскостью может быть либо окружность, либо эллипс, либо две параллельные прямые, то сечением конической поверхности плоскостью может быть либо окружность (секущая плоскость перпендикулярна оси конической поверхности вращения и не проходит через её вершину, рис. 171, a ), либо эллипс (секущая плоскость не перпендикулярна оси конической поверхности и пересекает все её образующие, рис. 171, б ), либо парабола (секущая плоскость параллельна только одной образующей конической поверхности, рис. 171, в ), либо гипербола (секущая плоскость параллельна оси конической поверхности, рис. 171, г ), либо пара пересекающихся прямых (секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности, рис. 171, д ). Поэтому невырожденные кривые второго порядка — окружность, эллипс, параболу и гиперболу называют коническими сечениями или коротко — кониками .

О конических сечениях можно прочитать в очерках «Элементарная геометрия», «Проективная геометрия» в конце этой книги. Конус с сечением прямоугольного треугольника

 ЗАДАЧА (3.047). Высота конуса равна радиусу R его основания. Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу: а) в 60 ° ; б) в 90 ° . Найти площадь сечения.

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Решени е. Рассмотрим случай а). Пусть плоскость α пересекает поверхность конуса с вершиной Р по образующим РА и РВ (рис. 172); △ АВР — искомое сечение. Найдём площадь этого сечения.

Хорда АВ окружности основания стягивает дугу в 60 ° , значит, △ AOB — правильный и АВ = R .

Если точка С — середина стороны АB, то отрезок PC — высота треугольника АВР. Поэтому S △ ABP = Конус с сечением прямоугольного треугольникаАВ • РC. Имеем: ОР = R (по условию); в △ A OB : ОС = Конус с сечением прямоугольного треугольника; в △ ОСР : CP = Конус с сечением прямоугольного треугольника= Конус с сечением прямоугольного треугольника.

Тогда S △ ABP = Конус с сечением прямоугольного треугольникаАВ • РС = Конус с сечением прямоугольного треугольника.

Ответ: а) Конус с сечением прямоугольного треугольника.

18.3. Касательная плоскость к конусу

Определение. Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса перпендикулярно осевому сечению, проведённому через эту образующую.

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Говорят, что плоскость α касается конуса по образующей РА (рис. 173): каждая точка образующей РА является точкой касания плоскости α и данного конуса.

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Через любую точку боковой поверхности конуса проходит только одна его образующая. Через эту образующую можно провести только одно осевое сечение и только одну плоскость, перпендикулярную плоскости этого осевого сечения. Следовательно, через каждую точку боковой поверхности конуса можно провести лишь одну плоскость, касательную к данному конусу в этой точке.

18.4. Изображение конуса

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Для изображения конуса достаточно построить: 1) эллипс, изображающий окружность основания конуса (рис. 174); 2) центр О этого эллипса; 3) отрезок ОР, изображающий высоту конуса; 4) касательные прямые РА и PB из точки Р к эллипсу (их проводят с помощью линейки на глаз).

Для достижения наглядности изображения невидимые линии изображают штрихами.

Необходимо заметить, что отрезок АВ, соединяющий точки касания образующих и окружности основания конуса, ни в коем случае не является диаметром основания конуса, т. е. этот отрезок не содержит центра О эллипса. Следовательно, △ АBP — не осевое сечение конуса. Осевым сечением конуса является △ ACP, где отрезок AC проходит через точку О, но образующая PC не является касательной к окружности основания.

18.5. Развёртка и площадь поверхности конуса

Пусть l — длина образующей, R — радиус основания конуса с вершиной Р .

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Поверхность конуса состоит из боковой поверхности конуса и его основания. Если эту поверхность разрезать по одной из образующих, например по образующей PA (рис. 175), и по окружности основания, затем боковую поверхность конуса развернуть на плоскости (рис. 176, a ), то получим развёртку поверхности конуса (рис. 176, б ), состоящую из: а) кругового сектора, радиус которого равен образующей l конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса; б) круга, радиус которого равен радиусу R основания конуса. Угол сектора развёртки боковой поверхности конуса называют углом развёртки конуса ; его численная величина равна отношению длины окружности основания конуса к его образующей (радиусу сектора развёртки):

α = Конус с сечением прямоугольного треугольника.

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через длину l его образующей и радиус R основания.

Площадь боковой поверхности — площадь кругового сектора радиуса длины l — вычисляется по формуле

S бок = Конус с сечением прямоугольного треугольникаα • l 2 , (1)

где α — величина угла (в радианах) сектора — развёртки. Учитывая, что α = Конус с сечением прямоугольного треугольника, получаем:

Таким образом, доказана следующая теорема.

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Теорема 27. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. ▼

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей его боковой поверхности и основания, т. е.

S кон = π Rl + π R 2 . (3)

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Следствие. Пусть конус образован вращением пря м оугольного треугольника ABC вокруг катета АС (рис. 177). Тогда S бок = π • BC • АВ. Если D — середина отрезка АВ, то AB = 2 AD, поэтому

S бок = 2 π ВС • AD. (4)

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Проведём DE ⟂ АB ( E ∈ l = AС ) . Из подобия прямоугольных треугольников ADE и ACB (у них общий угол А ) имеем

Конус с сечением прямоугольного треугольника= Конус с сечением прямоугольного треугольника⇒ BC • AD = DE • АС. (5)

Тогда соотношение (4) принимает вид

S бок = (2 π • DE ) • AC, (6)

т. е. площадь боковой поверхности конуса равна произведению высоты конуса на длину окружности, радиус которой равен длине серединного перпендикуляра, проведённого из точки на оси конуса к его образующей.

Это следствие будет использовано в п. 19.7.

18.6. Свойства параллельных сечений конуса

Конус с сечением прямоугольного треугольника Конус с сечением прямоугольного треугольника

Теоремa 28. Если конус пересечён плоскостью, параллельной основанию, то: 1) все образующие и высота конуса делятся этой плоскостью на пропорциональные части; 2) в сечении получается круг; 3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Доказательств о. 1) Пусть конус с вершиной Р и основанием F пересечён плоскостью α , параллельной плоскости β основания конуса и расположенной между Р и β (рис. 178).

Проведём высоту РО конуса, где точка О — центр круга F. Так как РО ⟂ β , α || β , то α ⟂ РО. Значит, в сечении конуса плоскостью α получается круг с центром в точке O 1 = α ∩ РО. Обозначим этот круг F 1 .

Рассмотрим гомотетию Конус с сечением прямоугольного треугольникас центром P, при которой плоскость β основания данного конуса отображается на параллельную ей плоскость α (при гомотетии плоскость, не проходящая через центр гомотетии, отображается на параллельную ей плоскость).

Так как при гомотетии её центр является неподвижной точкой, прямая, проходящая через центр гомотетии, отображается на себя, а пересечение двух фигур — на пересечение их образов, то гомотетия Конус с сечением прямоугольного треугольникаотображает основание F конуса на его параллельное сечение — круг F 1 , при этом центр О основания отображается на центр О 1 круга F 1 (почему?). Кроме того, если РХ — произвольная образующая конуса, где Х — точка окружности основания, то при гомотетии Конус с сечением прямоугольного треугольникаточка X отображается на точку X 1 = РX ∩ α . Учитывая, что отношение длин гомотетичных отрезков равно коэффициенту гомотетии, получаем:

Конус с сечением прямоугольного треугольника= Конус с сечением прямоугольного треугольника= k, (*)

где k — коэффициент гомотетии Конус с сечением прямоугольного треугольника, т. е. параллельное сечение конуса делит его образующие и высоту на пропорциональные части.

А поскольку гомотетия является подобием, то круг F 1 , являющийся параллельным сечением конуса, подобен его основанию.

Вследствие того что отношение площадей гомотетичных фигур равно квадрату коэффициента гомотетии и k = PO 1 : Р О , где РO 1 и PO — расстояния соответственно параллельного сечения и основания пирамиды от её вершины, то

S сечен : S основ = k 2 = Конус с сечением прямоугольного треугольника: PO 2 .

18.7. Вписанные в конус и описанные около конуса пирамиды

Определение. Пирамида называется вписанной в конус, если у них вершина общая, а основание пирамиды вписано в основание конуса. В этом случае конус называется описанным около пирамиды.

Для построения изображения правильной пирамиды, вписанной в конус:

— строят изображение основания пирамиды — правильного многоугольника, вписанного в основание конуса;

— соединяют отрезками прямых вершину конуса с вершинами построенного многоугольника;

— выделяют видимые и невидимые (штрихами) линии изображаемых фигур.

На рисунках 179—182 изображена вписанная в конус пирамида, в основаниях которой лежит:

— прямоугольный треугольник (см. рис. 179);

Видео:№550. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, еслиСкачать

№550. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, если

Конус в геометрии — элементы, формулы, свойства с примерами

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Конусом называется тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, проходящей через один из его катетов (рис. 126).

Конус с сечением прямоугольного треугольника

На рисунке 127 показано образование конуса при вращении прямоугольного треугольника Конус с сечением прямоугольного треугольникавокруг прямой Конус с сечением прямоугольного треугольника, которой принадлежит катет Конус с сечением прямоугольного треугольника. При этом ломаная Конус с сечением прямоугольного треугольникаописывает поверхность конуса, гипотенуза Конус с сечением прямоугольного треугольникабоковую поверхность, а катет Конус с сечением прямоугольного треугольникаоснование конуса (рис. 128). Саму гипотенузу Конус с сечением прямоугольного треугольниканазывают образующей конуса, неподвижную точку Конус с сечением прямоугольного треугольникавершиной конуса, прямую, проходящую через неподвижный катет Конус с сечением прямоугольного треугольника, — осью конуса, а перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на основание, — высотой конуса (рис. 129). Основание высоты конуса совпадает с центром основания конуса.

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Поверхность конуса можно развернуть на плоскость, в результате получится сектор, представляющий боковую поверхность конуса, и круг, представляющий основание конуса. На рисунке 130 представлены конус и его развертка.

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Теорема 5.

Боковая поверхность конуса равна произведению полуокружности его основания и образующей:

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Доказательство проведите самостоятельно, используя рисунок 130.

Важной пространственной конфигурацией, которая часто встречается в задачах, является сочетание конуса с плоскостью.

Если конус пересечь плоскостью, параллельной основанию, то получится круг (рис. 131), а если плоскостью, проходящей через вершину, то — равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 132).

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Осевое сечение конуса, т. е. сечение плоскостью, проходящей через ось конуса, является равнобедренным треугольником, у которого основание равно диаметру основания конуса (рис. 133).

Проведем через вершину конуса секущую плоскость и будем ее поворачивать вокруг прямой, перпендикулярной оси конуса (рис. 134). При этом основание треугольника-сечения будет укорачиваться, а его боковые стороны сближаться до того момента, пока не совпадут. Получим плоскость, целиком содержащую образующую и не имеющую с конусом других общих точек. Такая плоскость называется касательной плоскостью конуса.

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Теорема 6.

Если плоскость касается конуса по некоторой образующей, то ей перпендикулярна плоскость, проходящая через эту образующую и ось конуса.

Доказательство:

Пусть плоскость Конус с сечением прямоугольного треугольникакасается конуса с осью Конус с сечением прямоугольного треугольникапо образующей Конус с сечением прямоугольного треугольника(рис. 135). Докажем, что плоскость, содержащая эту образующую и ось Конус с сечением прямоугольного треугольника, перпендикулярна плоскости Конус с сечением прямоугольного треугольника.

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Проведем прямую Конус с сечением прямоугольного треугольника, которая перпендикулярна образующей Конус с сечением прямоугольного треугольника, пересекает ось конуса в точке Конус с сечением прямоугольного треугольника, отличной от вершины Конус с сечением прямоугольного треугольника. Через точку Конус с сечением прямоугольного треугольникапроведем плоскость Конус с сечением прямоугольного треугольника, перпендикулярную оси Конус с сечением прямоугольного треугольника, она пересечет конус по кругу с центром Конус с сечением прямоугольного треугольникаи плоскость Конус с сечением прямоугольного треугольника— по прямой Конус с сечением прямоугольного треугольника, касающейся окружности с центром Конус с сечением прямоугольного треугольника. Эта касательная по свойству касательной к окружности перпендикулярна радиусу Конус с сечением прямоугольного треугольникасоответствующей окружности. Но этот радиус является проекцией наклонной Конус с сечением прямоугольного треугольникана плоскость Конус с сечением прямоугольного треугольника, поэтому по теореме о трех перпендикулярах прямая Конус с сечением прямоугольного треугольникаперпендикулярна наклонной Конус с сечением прямоугольного треугольника, т. е. прямой Конус с сечением прямоугольного треугольника.

Таким образом, прямая Конус с сечением прямоугольного треугольникаперпендикулярна прямым Конус с сечением прямоугольного треугольникаи Конус с сечением прямоугольного треугольника, которые пересекаются и лежат в плоскости Конус с сечением прямоугольного треугольника, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая Конус с сечением прямоугольного треугольникаперпендикулярна плоскости Конус с сечением прямоугольного треугольника. Значит, плоскость Конус с сечением прямоугольного треугольника, содержащая прямую Конус с сечением прямоугольного треугольника, перпендикулярна плоскости Конус с сечением прямоугольного треугольника.

Теорема 6 выражает свойство касательной плоскости конуса.

Теорема 7.

Плоскость касается конуса, если она проходит через его образующую и перпендикулярна плоскости, проходящей через эту образующую и ось конуса.

Доказательство:

Пусть плоскость Конус с сечением прямоугольного треугольникапроходит через образующую Конус с сечением прямоугольного треугольникаконуса с осью Конус с сечением прямоугольного треугольникаи перпендикулярна плоскости Конус с сечением прямоугольного треугольника(рис. 136). Докажем, что плоскость Конус с сечением прямоугольного треугольникакасается конуса, т. е. что точки образующей Конус с сечением прямоугольного треугольника, и только они, являются общими точками конуса и плоскости Конус с сечением прямоугольного треугольника.

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Точки образующей Конус с сечением прямоугольного треугольникапринадлежат и конусу, и плоскости Конус с сечением прямоугольного треугольника. Пусть Конус с сечением прямоугольного треугольника— какая-либо точка плоскости Конус с сечением прямоугольного треугольникавне образующей Конус с сечением прямоугольного треугольника. Через эту точку проведем плоскость Конус с сечением прямоугольного треугольника, перпендикулярную оси Конус с сечением прямоугольного треугольника, она пересекает поверхность конуса по окружности Конус с сечением прямоугольного треугольникас центром Конус с сечением прямоугольного треугольника, образующую Конус с сечением прямоугольного треугольника— в некоторой точке Конус с сечением прямоугольного треугольникаи плоскость Конус с сечением прямоугольного треугольника— по прямой Конус с сечением прямоугольного треугольника. Пусть Конус с сечением прямоугольного треугольника— прямая, которая перпендикулярна плоскости Конус с сечением прямоугольного треугольникаи пересекает ось Конус с сечением прямоугольного треугольникав точке Конус с сечением прямоугольного треугольника. Тогда по теореме о трех перпендикулярах прямая Конус с сечением прямоугольного треугольника, проведенная в плоскости Конус с сечением прямоугольного треугольникачерез основание наклонной Конус с сечением прямоугольного треугольникаперпендикулярно к ней, перпендикулярна ее проекции Конус с сечением прямоугольного треугольника. Значит, Конус с сечением прямоугольного треугольника— касательная к окружности Конус с сечением прямоугольного треугольника, и поэтому точка Конус с сечением прямоугольного треугольниканаходится вне окружности Конус с сечением прямоугольного треугольника, а значит, и вне конуса.

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Теорема 7 выражает признак касательной плоскости конуса.

Пусть есть конус с вершиной Конус с сечением прямоугольного треугольника(рис. 137). Впишем в основание конуса многоугольник Конус с сечением прямоугольного треугольникаи через его вершины Конус с сечением прямоугольного треугольникапроведем образующие Конус с сечением прямоугольного треугольника. В результате получим тело Конус с сечением прямоугольного треугольника, являющееся пирамидой. Ее называют пирамидой, вписанной в конус, а сам конус — конусом, описанным около пирамиды.

Если основание конуса вписано в основание пирамиды, а боковая поверхность конуса касается боковых граней пирамиды, то говорят, что пирамида описана около конуса, или конус вписан в пирамиду (рис. 138).

Конус с сечением прямоугольного треугольникаКонус с сечением прямоугольного треугольника

Теорема 8.

Объем конуса равен третьей доле произведения площади Рис. 139 т его основания и высоты:

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Доказательство:

Пусть есть конус с осью Конус с сечением прямоугольного треугольника(рис. 139). В него впишем правильную пирамиду Конус с сечением прямоугольного треугольника, а около него опишем правильную пи-рамиду Конус с сечением прямоугольного треугольника. В соответствии с теоремой 4 объем первой пирамиды равен третьей доле произведения площади многоугольника Конус с сечением прямоугольного треугольникаи высоты Конус с сечением прямоугольного треугольникапирамиды, т. е. высоты конуса, а объем второй — произведению площади многоугольника Конус с сечением прямоугольного треугольникаи той же высоты. Объем самого конуса заключен между этими числами.

Будем увеличивать количество Конус с сечением прямоугольного треугольникасторон оснований пирамид. Тогда объем первой пирамиды будет увеличиваться, объем второй — уменьшаться, причем их разность стремится к нулю, если значение переменной Конус с сечением прямоугольного треугольниканеограниченно увеличивается. То число, к которому приближаются объемы обеих пирамид, принимается за объем конуса.

В описанном процессе высота Конус с сечением прямоугольного треугольникапирамиды не изменяется, а площади обоих многоугольников — Конус с сечением прямоугольного треугольникаи Конус с сечением прямоугольного треугольника— стремятся к площади Конус с сечением прямоугольного треугольникакруга, являющегося основанием конуса. Значит, объем Конус с сечением прямоугольного треугольникаконуса равен третьей доле произведения площади Конус с сечением прямоугольного треугольникаоснования конуса и его высоты Конус с сечением прямоугольного треугольника:

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Теорема 9.

Если конус пересечь плоскостью, параллельной его основанию, то:

  • а) образующая и высота разделяются на пропорциональные части;
  • б) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины.

Используя рисунок 140, докажите эту теорему самостоятельно.

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Секущая плоскость, параллельная основанию конуса, разделяет его на две части (рис. 141). Одна из этих частей также является конусом, а другая — телом, которое называется усеченным конусом.

Основание данного конуса и круг, полученный в сечении, называют основаниями усеченного конуса, а отрезок образующей данного конуса, заключенный между его основанием и секущей плоскостью, — образующей усеченного конуса (рис. 142). Высотой усеченного конуса называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного его основания к плоскости другого основания.

Усеченный конус можно получить вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, к которой прилежат прямые углы (рис. 143).

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Пример:

Найдем боковую поверхность усеченного конуса. Пусть есть усеченный конус, у которого радиусы оснований Конус с сечением прямоугольного треугольникаи Конус с сечением прямоугольного треугольникаравны Конус с сечением прямоугольного треугольникаи Конус с сечением прямоугольного треугольникасоответственно, а образующая Конус с сечением прямоугольного треугольникаравна Конус с сечением прямоугольного треугольника(рис. 144).

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Достроим его до полного конуса. Достроенная часть представляет собой конус, у которого радиус основания равен Конус с сечением прямоугольного треугольника. Пусть образующая Конус с сечением прямоугольного треугольникадостроенного конуса равна Конус с сечением прямоугольного треугольника.

Боковую поверхность Конус с сечением прямоугольного треугольникаусеченного конуса можно получить как разность боковых поверхностей Конус с сечением прямоугольного треугольникаи Конус с сечением прямоугольного треугольникаполного и достроенного конусов. Пусть Конус с сечением прямоугольного треугольникаи Конус с сечением прямоугольного треугольника— длины окружностей нижнего и верхнего оснований усеченного конуса.

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Найдем Конус с сечением прямоугольного треугольника, учитывая подобие треугольников Конус с сечением прямоугольного треугольникаи Конус с сечением прямоугольного треугольника:

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Таким образом, боковая поверхность усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей его оснований и образующей.

Пример:

Используя рисунок 144, можно, как и для усеченной пирамиды (см. параграф 9), доказать, что объем Конус с сечением прямоугольного треугольникаусеченного конуса равен третьей доле произведения высоты Конус с сечением прямоугольного треугольникаконуса и суммы площадей Конус с сечением прямоугольного треугольникаи Конус с сечением прямоугольного треугольникаоснований конуса и их среднего геометрического Конус с сечением прямоугольного треугольника:

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Сфера в геометрии
  • Шар в геометрии
  • Правильные многогранники в геометрии
  • Многогранники
  • Возникновение геометрии
  • Призма в геометрии
  • Цилиндр в геометрии
  • Пирамида в геометрии

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:№551. Осевое сечение конуса — правильный треугольник со стороной 2г. Найдите площадь сечения,Скачать

№551. Осевое сечение конуса — правильный треугольник со стороной 2г. Найдите площадь сечения,

Конус

Конус — это объемное тело, которое получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Возьмем прямоугольный треугольник АВС. Будем вращать этот треугольник вокруг катета АС.

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Прямая АСось косинуса.

Отрезок АСвысота конуса.

Основание конусакруг, образованный при вращении катета ВС.

Коническая поверхность (или боковая поверхность конуса) — поверхность, образованная при вращении гипотенузы АВ и состоящая из отрезков с общим концом А.

Образующие конусаотрезки, из которых составлена боковая поверхность конуса (на рисунке выше указаны образующие АВ, АВ1 и АВ2).

Определение

Конус — это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью.

Объем конуса

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Доказательство

Дано: конус с площадью основания S, высотой h и объемом V.

Доказать: V = Конус с сечением прямоугольного треугольникаSh.

Доказательство:

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим конус и пирамиду с площадями оснований S и высотами ЕН = h и РО = h соответственно, «стоящие» на одной плоскости Конус с сечением прямоугольного треугольника.

Проведем секущую плоскость Конус с сечением прямоугольного треугольника, параллельную плоскости Конус с сечением прямоугольного треугольникаи пересекающую высоты ЕН и РО в точках Н1 и О1 соответственно. В сечении конуса плоскостью Конус с сечением прямоугольного треугольникаполучится круг радиуса Н1А1.

Конус с сечением прямоугольного треугольникаЕН1А1 подобен Конус с сечением прямоугольного треугольникаЕНА по двум углам (Конус с сечением прямоугольного треугольникаЕ — общий, Конус с сечением прямоугольного треугольникаЕН1А1 = Конус с сечением прямоугольного треугольникаЕНА = 90 0 , т.к. в противном случае прямые НА и Н1А1, а значит, и плоскости Конус с сечением прямоугольного треугольникаи Конус с сечением прямоугольного треугольникапересекались бы, что противоречит условию). Поэтому Конус с сечением прямоугольного треугольника, откуда Конус с сечением прямоугольного треугольникаи площадь сечения конуса равна Конус с сечением прямоугольного треугольника.

Площадь сечения пирамиды равна Конус с сечением прямоугольного треугольника. По условию ЕН = РО = h, значит, ЕН1 = РО1 (т.к. ЕН1 = hНН1 и РО1 = hОО1, параллельные плоскости отсекают одинаковые отрезки НН1 и ОО1 от отрезков ЕН и РО, т.е. НН1 = ОО1).

Следовательно, площадь сечения конуса равна площади сечения пирамиды. Поэтому и его объем равен объему пирамиды, т.е. V = Конус с сечением прямоугольного треугольникаSh. Что и требовалось доказать.

Площадь боковой поверхности конуса

Рассмотрим конус с радиусом основания Конус с сечением прямоугольного треугольникаи образующей Конус с сечением прямоугольного треугольника.

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Представим, что его боковую поверхность разрезали по одной из образующих и развернули так, что получился круговой сектор.

Конус с сечением прямоугольного треугольника

Радиус этого сектора равен образующей конуса, т.е. равен Конус с сечением прямоугольного треугольника, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, т.е. равна 2Конус с сечением прямоугольного треугольникаКонус с сечением прямоугольного треугольника, Конус с сечением прямоугольного треугольника— градусная мера дуги сектора, тогда площадь данного сектора: Конус с сечением прямоугольного треугольника. (1)

Длина дуги окружности с градусной мерой Конус с сечением прямоугольного треугольникаи радиусом Конус с сечением прямоугольного треугольникаравна Конус с сечением прямоугольного треугольника. С другой стороны, длина этой дуги равна 2Конус с сечением прямоугольного треугольникаКонус с сечением прямоугольного треугольника, поэтому учитывая (1), получим: Конус с сечением прямоугольного треугольника.

Площадь боковой поверхности конуса равна площади ее развертки, т.е. Конус с сечением прямоугольного треугольника.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

🎦 Видео

Геометрия 11 класс (Урок№7 - Конус.)Скачать

Геометрия 11 класс (Урок№7 - Конус.)

Стереометрия | КонусСкачать

Стереометрия  | Конус

Задание 42. УСЕЧЕННЫЙ КОНУС. Часть 1Скачать

Задание 42. УСЕЧЕННЫЙ КОНУС. Часть 1

Простой расчёт развёртки конусаСкачать

Простой расчёт развёртки конуса

ГЕОМЕТРИЯ 11 класс: Конус Площадь конуса. Усеченный конусСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 11 класс: Конус  Площадь конуса. Усеченный конус

Конус. 11 класс.Скачать

Конус. 11 класс.

Понятие конуса. Видеоурок по геометрии 11 классСкачать

Понятие конуса. Видеоурок по геометрии 11 класс

Сечение конусаСкачать

Сечение конуса

Конус. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Конус. Практическая часть. 11 класс.

Решение задач на конусСкачать

Решение задач на конус

Как начертить КОНУС С ВЫРЕЗОМ (чертеж + аксонометрия)Скачать

Как начертить КОНУС С ВЫРЕЗОМ (чертеж + аксонометрия)

Конус путем вращения треугольникаСкачать

Конус путем вращения треугольника

Часть 2. ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ. Блок 10. Конус. Урок 3. Сечение плоскостью под углом к основанию.Скачать

Часть 2. ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ. Блок 10. Конус. Урок 3. Сечение плоскостью под углом к основанию.

сечение конусаСкачать

сечение конуса

2 3 проекция точки на конусеСкачать

2 3 проекция точки на конусе

Конус. Урок 8. Геометрия 11 классСкачать

Конус. Урок 8. Геометрия 11 класс

Построение линии пересечения поверхности конуса с проецирующей плоскостьюСкачать

Построение линии пересечения поверхности конуса с проецирующей плоскостью

Усеченный конус. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Усеченный конус.  Практическая часть. 11 класс.
Поделиться или сохранить к себе: