Когда пересекаются две окружности

Взаимное расположение окружностей

Выясним, каким может быть взаимное расположение двух окружностей.

Две окружности могут пересекаться, не пересекаться либо касаться друг друга.

I. Пересекающиеся окружности имеют две общие точки.

Когда пересекаются две окружности

Когда пересекаются две окружности

Расстояние между центрами двух пересекающихся окружностей больше разности, но меньше суммы их радиусов:

Когда пересекаются две окружности

II. Не пересекающиеся окружности не имеет общих точек.

Когда пересекаются две окружности

Если одна окружность лежит внутри другой, то расстояние между центрами меньше разности их радиусов:

Когда пересекаются две окружности

Когда пересекаются две окружностиЕсли одна окружность находится вне другой, расстояние между центрами больше суммы их радиусов:

Когда пересекаются две окружностиR + r]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

III. Касающиеся окружности имеют одну общую точку — точку касания.

Когда пересекаются две окружности

При внешнем касании расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:

Когда пересекаются две окружности

Когда пересекаются две окружности

При внутреннем касании расстояние между центрами равно разности радиусов:

Когда пересекаются две окружности

Концентрические окружности разного радиуса не пересекаются. Расстояние между центрами концентрических окружностей равно нулю: O1O2=0.

Видео:Две окружности пересекаются, если радиус одной ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Две окружности пересекаются, если радиус одной ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.

Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.

Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.

Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.

Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO1).

Теорема.

Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.

Пусть окружности O и O1 имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO1.

Опустим из A на прямую OO1 перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA1, равное AB. Докажем теперь, что точка A1 принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O1 лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA1 через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A1. То же можно сказать и о точке O1. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A1.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A1 (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.

Следствие.

Общая хорда (AA1) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.

Теоремы.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.

2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.

Признаки различных случаев относительного положения окружностей.

Пусть имеем две окружности с центрами O и O1, радиусами R и R1 и расстоянием между центрами d.

Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:

Когда пересекаются две окружности

1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R1 .

2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R1, так как точка касания лежит на линии центров O O1.

3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R1, потому что в треугольнике OAO1 сторона OO1 меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R — R1, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO1.

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,

d R + R1, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.

2. Если d = R + R1, то окружности касаются извне.

3. Если d R — R1, то окружности пересекаются.

4. Если d = R — R1, то окружности касаются изнутри.

5. Если d R Е R1. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.

Видео:Теорема о числе точек пересечения двух окружностейСкачать

Теорема о числе точек пересечения двух окружностей

Геометрия. 9 класс

Две окружности могут пересекаться, не пересекаться либо касаться друг друга.
Перейдем к анализу возможных случаев расположения двух окружностей.
Рассмотрим окружность с центром О1 и окружность с центром О2. Тогда расстояние между их центрами равно О1О2.
I. Пересекающиеся окружности имеют две общие точки.
Расстояние между центрами двух пересекающихся окружностей больше разности, но меньше суммы их радиусов:
II. Не пересекающиеся окружности не имеет общих точек.

Если одна окружность лежит внутри другой, то расстояние между центрами меньше разности их радиусов:
Если одна окружность находится вне другой, расстояние между центрами больше суммы их радиусов:
III. Касающиеся окружности имеют одну общую точку – точку касания.
При внешнем касании расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:
При внутреннем касании расстояние между центрами равно разности радиусов:
Если центры окружностей совпадают, то такие окружности называются концентрическими.
Концентрические окружности разного радиуса не пересекаются: О1О2 = 0
В случае равенства радиусов они совпадают.
Если же радиусы этих окружностей не равны, то одна из них лежит внутри другой – образуется кольцо.

Кольцом называют фигуру, заключенную между концентрическими окружностями.

Видео:Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать

Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |

НАШИ ПАРТНЁРЫ

Когда пересекаются две окружности Когда пересекаются две окружности Когда пересекаются две окружности Когда пересекаются две окружности Когда пересекаются две окружности Когда пересекаются две окружности

© Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа»

📽️ Видео

54 Две окружностиСкачать

54 Две окружности

Две окружности на плоскости. Математика. 6 класс.Скачать

Две окружности на плоскости. Математика. 6 класс.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Две окружности пересекаются в точках A и B Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностеСкачать

Две окружности пересекаются в точках A и B  Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружносте

Геометрия Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второйСкачать

Геометрия Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй

Алгоритмы. Пересечение окружностейСкачать

Алгоритмы. Пересечение окружностей

Окружность и круг, 6 классСкачать

Окружность и круг, 6 класс

Задача. Две окружности касаются внутренним образом.Скачать

Задача. Две окружности касаются внутренним образом.

Две окружности. ОГЭ. Задача 26. Дополнительные построенияСкачать

Две окружности. ОГЭ. Задача 26. Дополнительные построения

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностей

ОГЭ Задание 25 Две окружностиСкачать

ОГЭ Задание 25 Две окружности

Две окружности/ Повторяем углыСкачать

Две окружности/ Повторяем углы

Взаимное расположение окружностей. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружностей. 7 класс.

Планиметрия 11 |mathus.ru|  расстояние между центрами пересекающихся окружностейСкачать

Планиметрия 11 |mathus.ru|  расстояние между центрами пересекающихся окружностей

Параметр про две окружности | Физтех-2019. Математика | Борис Трушин |Скачать

Параметр про две окружности | Физтех-2019. Математика | Борис Трушин |

Геометрия 8 класс. Если две хорды окружности пересекаются, то AE·BE=DE·CEСкачать

Геометрия 8 класс. Если две хорды окружности пересекаются, то AE·BE=DE·CE

Геометрия Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этихСкачать

Геометрия Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этих
Поделиться или сохранить к себе: