Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.
Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.
. Угол равен , где — центр окружности. Его сторона касается окружности. Найдите величину меньшей дуги окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол — прямой. Из треугольника получим, что угол равен градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги — тоже градуса.
. Найдите угол , если его сторона касается окружности, — центр окружности, а большая дуга окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.
Это чуть более сложная задача. Центральный угол опирается на дугу , следовательно, он равен градусов. Тогда угол равен . Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол — прямой. Тогда угол равен .
. Хорда стягивает дугу окружности в . Найдите угол между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку . Ответ дайте в градусах.
Проведем радиус в точку касания, а также радиус . Угол равен . Треугольник — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол равен градуса, и тогда угол равен градусов, то есть половине угловой величины дуги .
Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.
. К окружности, вписанной в треугольник , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны , , . Найдите периметр данного треугольника.
Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника складывается из периметров отсеченных треугольников.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Вот более сложная задача из вариантов ЕГЭ:
. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна . Его периметр равен . Найдите радиус этой окружности.
Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.
Соедините точку с вершинами . Получились треугольники и .
Очевидно, что площадь многоугольника .
Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?
Видео:Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен данной касательной. Доказательство. #геометрияСкачать
Касательная к окружности
Что такое касательная к окружности? Каково взаимное расположение касательной и радиуса?
a — касательная,
A — точка касания
Касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку — точку касания.
(Свойство касательной к окружности).
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Дано: окружность (O;R), R=OA,
a — касательная к окружности,
A — точка касания.
Доказательство проведем методом от противного.
Предположим, что радиус OA и прямая a не перпендикулярны.
Опустим из точки O на прямую a перпендикуляр OB.
Тогда OA — наклонная, проведенная из точки O на прямую a.
По свойству перпендикуляра и наклонной, любая наклонная больше перпендикуляра. Значит, OA>OB.
Получается, расстояние от точки O до прямой a — длина перпендикуляра OB — меньше радиуса. Из этого следует, что прямая a и окружность имеют две общие точки.
Противоречие получили, так как предположили, что радиус OA и касательная a не перпендикулярны. Значит, касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания:
Видео:КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА К РАДИУСУ, ПРОВЕДЕННОМУ В ТОЧКУ КАСАНИЯ. Теорема.Скачать
Касательная к окружности
Определение 1. Прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
На рисунке 1 прямая l является касательной к окружности с центром O, а точка M является точкой касания прямой и окружности.
 |
Видео:Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность | ГеометрияСкачать
Свойство касательной
Теорема 1 (Теорема о свойстве касательной). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному из центра окружности к точке касания прямой и окружности.
Доказательство. Пусть l касательная к окружности с центром O и M − точка касания прямой и окружности (Рис.1). Докажем, что ( small l ⊥ OM .)
Предположим, что радиус OM является наклонной к прямой l. Поскольку перпендикуляр, проведенной из точки O к прямой l меньше наклонной OM, от центра окружности до прямой l меньше радиуса окружности. Тогда прямая l и окружность имеют две общие точки (см. статью Взаимное расположение прямой и окружности). Но касательная не может иметь с окружностью две общие точки. Получили противоречие. Следовательно прямая l пенрпендикулярна к радиусу OM.
Рассмотрим две касательные к окружности с центром O, которые проходят через точку A и касаются окружности в точках B и C (Рис.2). Отрезки AB и AC называются отрезками касательных, проведенных из точки A.
 |
Теорема 2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через данную точку и центр окружности.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 2. По теореме 1 касательные AC и AB перпендикулярны радиусам OC и OB, соответственно. Тогда углы 3 и 4 прямые, а треугольники ACO и ABO, прямоугольные. Эти треугольники равны по катету (OC=OB) и гипотенузе (сторона AO− общая) (подробнее см. в статье Прямоугольный треугольник. Онлайн калькулятор). Тогда AB=AC и ( small angle 1=angle 2 .) Что и требовалось доказать.
Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Теорема, обратная теореме о свойстве касательной
Теорема 3. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащей на окружности и перпенжикулярна к этому радиусу, то эта прямая является касательной.
Доказательство. По условию теоремы данный радиус является перпендикуляром от центра окружности к данной прямой. То есть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку (теорема 2 статьи Взаимное расположение прямой и окружности). Но это означает, что данная прямая является касательной к окружности (Определение 1).
Видео:Радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательнойСкачать
Построение касательной к окружности
Задача 1. Через точку M окружности с центром O провести касательную этой окружности (Рис.3).
  |
Решение. Проведем прямую p через точки O и M. На прямой p из точки M отложим отрезок MN равной OM. Построим две окружности с центрами O и N и одинаковыми радиусами ON. Через точки пересечения этих окружностей проведем прямую l. Полученная прямая является касательным к окружности с центром O и радиусом OM.
Задача 2. Через точку A не принадлежащая к окружности с центром O провести касательную этой окружности (Рис.5).
  |
Решение. Проведем прямую p через точки O и A (Рис.6). Найдем среднюю точку отрезка OA и обозначим буквой K. Постоим окружность с центром K радиусом KO=KA. Найдем точки пересечения этой окружности с окружностью с центром O. Получим точки B и C. Через точки A и C проведем прямую m. Через точки A и B проведем прямую n. Прямые m и n являются касательными к окружности с центром O.
📽️ Видео
Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать
№635. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности.Скачать
8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать
Построение касательной к окружностиСкачать
Радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной #алгебра #егэ#математикаСкачать
Вариант 77, № 7. Свойство касательной. Теорема о касательных, проведенных из одной точки. Задача 1Скачать
Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать
Теорема о свойстве касательнойСкачать
КАСАТЕЛЬНАЯ к ОКРУЖНОСТИ 8 класс геометрия АтанасянСкачать
Касательная к окружности перпендикулярна ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ в точке ЗАДАЧИ 8 классСкачать
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Геометрия Топ-8 задач на окружность ОГЭСкачать
Касательная и секущая к окружности.Скачать
Касательные к окружности пересекаются в точке. Теорема и решение задач. Геометрия 7-8 классСкачать
