Касательная прямая к окружности 8 класс

О чем эта статья:

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

• окружность с центральной точкой А;
• прямая а — касательная к ней;
• радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Урок геометрии в 8-м классе «Касательная к окружности»

Разделы: Математика

Цели:

• ввести понятие касательной, точки касания,
• рассмотреть свойство касательной и её признак и показать их применение при решении задач в природе и технике.

Образовательные:

1. Обеспечить овладение основными алгоритмическими приёмами построения касательной к окружности,
2. Сформировать умения применять теоретические знания к решению задач.

Воспитательные:

1. Развивать мышление и речь учащихся,
2. Работать над формированием умений наблюдать, подмечать закономерности, обобщать, проводить рассуждения по аналогии,
3. Привитие интереса к математике.

Практические: сформировать умение строить касательную к окружности, рассмотреть примеры в природе и технике.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование:

• Карточки с заданиями,
• Циркуль, треугольник, линейка
• Мультимедийный проектор, слайды,
• Модель “Дуб и кот”, маркер.

Оформление кабинета:

• Рисунки детей “У лукоморья дуб зелёный…”
• Плакат с высказыванием Козьмы Пруткова

“Наука изощряет ум; ученье вострит память”

I. Организационный момент. (1мин.)

Постановка целей урока.

Ребята этот урок мы посвятим изучению свойства касательной к окружности, научимся строить её. Рассмотрим применение касательной для построения кривых.

II. Повторение изученного материала. (4минут)

1) У каждого ученика карточка с копиркой.

Учащиеся сдают листочки с ответами.

Учитель зачитывает предложение полностью, ученик у которого ответ неверный ставит “минус”, верный – “плюс”.

III. Подготовка к восприятию нового материала. (5минут)

В тетради начертить окружность произвольного радиуса с центром в точке О, провести три прямые, так чтобы получилось разное количество общих точек у прямой и окружности.

Один ученик выполняет задание у доски.

Обозначим прямые и полученные точки: d r нет общих точек d=r 1 общая точка

IV. Объяснение нового материала. (7минут)

На этом уроке мы рассмотрим свойства окружности и прямой c.

1. Работа с учебником.

На страница 159 найти и прочитать определение касательной к окружности.

Определение. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Назвать на рисунке точку касания и прямую касательную к окружности.

(C— точка касания, прямая с – касательная к окружности)

Какими же свойствами обладает эта прямая? Чтобы ответить на этот вопрос —

проведите отрезок соединяющий центр окружности и точку касания, измерьте получившийся угол. (90)

— Что можно сказать о касательной и радиусе? — Они перпендикулярны.

2. Прочтите теорему.

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Доказательство разбирается в ходе беседы.

Учащиеся делают новый чертёж.

Допустим, что прямая р не перпендикулярна к радиусу ОА(На рисунке сделать построение другим цветом). Сравните расстояние от центра окружности до прямой р с радиусом окружности.

Назовите перпендикуляр к прямой р ОВ

-Расстояние от точки О до прямой р , это ОВ, меньше радиуса окружности ОА, который в данном случае будет являться наклонной по отношению к прямой р, а расстояние от точки О до прямой р – перпендикуляр, а, как известно, любая наклонная больше перпендикуляра, проведённого из той же точки к той же прямой, т. е. ОВ (2минуты)

1. Глубоко вдохните, зажмурив глаза как можно сильнее. Напрягите мышцы шеи, лица, головы. Задержите дыхание на 2-3 секунды, потом быстро выдохните, широко раскрыв на выдохе глаза. Повторить 5 раз.
2. Закройте глаза, помассируйте надбровные дуги и нижние части глазниц круговыми движениями — от носа к вискам.
3. Закройте глаза, расслабьте брови. Повращайте глазными яблоками слева направо и справа налево. Повторить 10 раз.
4. Поставьте большой палец руки на расстоянии 25-30 см. от глаз, смотрите двумя глазами на конец пальца 3-5 секунд, закройте один глаз на 3-5 секунд, затем снова смотрите двумя глазами, закройте другой глаз. Повторить 10 раз.
5. Положите кончики пальцев на виски, слегка сжав их. 10 раз быстро и легко моргните. Закройте глаза и отдохните, сделав 2-3 глубоких вдоха. Повторить 3 раза.

3. Построение касательной. (4 минуты)

Ученик, подготовленный заранее, объясняет построение касательной к окружности в заданной точке. Учащиеся выполняют построение в тетради.

Дано: окружность, О — центр, А — лежит на окружности.

Построить касательную к окружности в точке А.

Построение:

1. ОА – прямая.
2. От точки А отложим ОА=ОА.
3. Из точек О и О проведём окружности, радиусом большим ОА.
4. Через точки пересечения окружностей проведём прямую а.

Прямая а будет касательной по определению.

4. Построение эвольвенты. (10 минут)

Ученик читает отрывок из “Руслана и Людмилы”

У Лукоморья дуб зелёный
Златая цепь на дубе том.
И днём и ночью кот учёный
Всё ходит по цепи кругом.

Нам эти строки знакомы с детства, мы никогда не задумывались над тем, какую линию вычерчивает кот.

Как вы думаете, что это за линия? (Чаще всего ученики отвечают – окружность)

Два ученика, выходят к столу, на котором расположен ватман, макет дуба и небольшой котёнок (мягкая игрушка), к которому прикреплен маркер, привязанный к “дубу”.

Один ученик придерживает “дуб”, а второй передвигает игрушку “по цепи кругом”. На ватмане вычерчивается кривая.

Учитель показывает слайды построения эвольвенты. Приложение №2. Слайд 3.

Таким образом для построения этой кривой надо хорошо уметь строить касательную в заданной точке.

Ученикам раздаются карточки на которых написан порядок построения эвольвенты. Приложение №1.

После выполнения построения — лучшие работы оцениваются.

С этой же кривой связана и биология . (2 минуты)

1. Ученик рассказывает о берёзовом долгоносике, демонстрируя разрез листа и сворачивает его.

2. Ученик рассказывает о практическом применение касательной к окружности.

КОВШОВАЯ ГИДРОТУРБИНА (ПЕЛТОНА ТУРБИНА)

Гидротурбина, у которой вода (пар) на лопасти (ковши) рабочего колеса поступает через сопла по касательной к окружности, проходящей через середину ковша. Применяют при напорах св. 500 м. Мощность до 110 МВт. Патент на ковшовую гидротурбину в 1889 получил американский инженер А. Пелтон.

VI. Подведение итогов.

Оценки выставляются с учётом диктанта, активности на уроке, за построение эвольвенты. Рефлексия. Приложение №1.

VII. Домашнее задание.

П. 69, вопросы 1-4, №634, решить задачи по готовым чертежам, дополнительную задачу.

Литература:

1. Н. Ф. Гаврилова Поурочные разработки по геометрии 8 класс. Москва “ВАКО”, 2005.
2. А. Азевич. Кривые мудрого жучка.
3. Я. И. Перельман. Занимательная алгебра. “Тезис”, Екатеринбург, 1994
4. С. Акимова. Занимательная математика. Нескучный учебник. Тригон, С-Петербург,1997.

Видео:КАСАТЕЛЬНАЯ к ОКРУЖНОСТИ 8 класс геометрия АтанасянСкачать

Урок по геометрии «Касательная к окружности» 8 кл.
план-конспект урока по геометрии (8 класс)

• Ввести понятия касательной, точки касания, отрезков касательных, проведённых из одной точки.

• Рассмотреть свойство касательной и её признак и показать их применение при решении задач.

• Рассмотреть свойство отрезков касательных, проведённых из одной точки и показать его применение в процессе решения задач, направленных на выявление понимания содержания теоремы на уровне узнавания и формально-логическом уровне.

• Способствовать формированию приёмов критического мышления, анализа и синтеза.

• Воспитание коммуникативной культуры, приобретение опыта самостоятельной работы.

Оборудование: компьютер, презентация, проектор с экраном, доска, тесты.

2. Актуализация опорных знаний.

3. Мотивация введения данного понятия.

4. Введение теоремы о касательной к окружности.

5. Анализ предложенных утверждений (выявление понимания содержания теоремы).

6. Доказательство теоремы.

8. Подведение итогов и задание ДЗ.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Скачать:

Видео:КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ в точке ЗАДАЧИ 8 классСкачать

Предварительный просмотр:

МБОУ «Апраксинская СОШ»

Урок по геометрии, 8 класс

“Касательная к окружности”

Подготовила и провела: Алякина Е.И.

Тема урока: Касательная к окружности, ее свойства.

Урок объяснения нового материала.

• Ввести понятия касательной, точки касания, отрезков касательных, проведённых из одной точки.
• Рассмотреть свойство касательной и её признак и показать их применение при решении задач.
• Рассмотреть свойство отрезков касательных, проведённых из одной точки и показать его применение в процессе решения задач, направленных на выявление понимания содержания теоремы на уровне узнавания и формально-логическом уровне.
• Способствовать формированию приёмов критического мышления, анализа и синтеза.
• Воспитание коммуникативной культуры, приобретение опыта самостоятельной работы.

Оборудование: компьютер, презентация, проектор с экраном, доска, тесты.

Видео:Геометрия 8 класс : Касательная к окружностиСкачать

План урока:

1. Орг. момент.
2. Актуализация опорных знаний.
3. Мотивация введения данного понятия.
4. Введение теоремы о касательной к окружности.
5. Анализ предложенных утверждений (выявление понимания содержания теоремы).
6. Доказательство теоремы.
7. Разбор задач.
8. Подведение итогов и задание ДЗ.

Видео:Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИСкачать

Ход урока:

I. Организационный момент.

“ Ни 30 лет, ни 30 столетий не оказывают никакого влияния на ясность или на красоту геометрических истин”. Кэрролл Л.

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока .

II. Актуализация знаний учащихся

1. Устный опрос. (Цель: вызвать интерес к изучению темы)

1. Верите ли вы, что самая простая из кривых линий – окружность?

2. Верите ли вы, что древние индийцы считали самым важным элементом окружности радиус, хотя не знали такого слова?

3. Верите ли вы, что впервые термин “радиус” встречается лишь в 16 веке?

4. Верите ли вы, что в переводе с латинского радиус означает “луч”?

5. Верите ли вы, что при заданном периметре именно окружность ограничивает наибольшую площадь?

6. Верите ли вы, что в русском языке слово “круглый” означает высшую степень чего-либо?

7. Верите ли вы, что выражение “ходить по кругу” когда-то означало “прогресс”?

8. Верите ли вы, что хорда в переводе с греческого означает “струна”?

9. Верите ли вы, что определение “касательной” уже есть в первом учебнике геометрии — “Начала” Евклида?

В Древней Греции круг и окружность считались венцом совершенства. Действительно в каждой своей точке окружность “устроена” одинаково, что позволяет ей как бы двигаться “по себе”. На плоскости этим свойством обладает еще лишь прямая. Одно из интереснейших свойств круга состоит в том, что он при заданном периметре ограничивает максимальную площадь.

В русском языке слово “круглый” тоже стало означать высокую степень чего-либо: “круглый отличник”, “круглый сирота” и даже “круглый дурак”.

Если вы когда-либо пробовали получить информацию от бюрократической организации, вас, скорее всего “погоняли по кругу”. Фраза “ходить по кругу” обычно не ассоциируется с прогрессом. Но в период индустриальной революции, выражение “ходить по кругу” очень точно отражало прогресс. Шкивы и механизмы давали машинам возможность увеличить производительность и значит сократить рабочую неделю.

Без понятия круга и окружности было бы трудно говорить о круговращении жизни. Круги повсюду вокруг нас. Окружности и циклы идут, взявшись за руки. Циклы получаются при движении по кругу. Мы изучаем циклы земли, они помогают нам разобраться, когда надо сажать растения и когда мы должны вставать.

Представление об окружности даёт линия движения модели самолёта, прикреплённого шнуром к руке человека, также обод колеса, спицы которого соответствуют радиусам окружности.

Термин “хорда” (от греческого “струна”) был введён в современном смысле европейскими учёными в XII-XIII веках.

Определение касательной как прямой, имеющей с окружностью только одну общую точку, встречается впервые в учебнике “Элементы геометрии” французского математика Лежандра (1752-1833 гг.). В “Началах” Евклида даётся следующее определение: прямая касается круга, если она встречает круг, но при продолжении не пересекает его.

2. Сформулируйте геометрические определения понятий, используя ключевые слова.

🎦 Видео

8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

Касательная к окружности | Геометрия 7-9 класс #69 | ИнфоурокСкачать

Касательная к окружности. 8 классСкачать

Геометрия 8 класс. Касательная к окружностиСкачать

ОГЭ за одну минуту | ОГЭ, математика, задание 16 (окружность и касательная)Скачать

Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.Скачать

Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Касательная к окружности. Видеоурок 18. Геометрия 8 классСкачать

Урок 46. Касательная к окружности (8 класс)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№25 - Взаимное расположение прямой и окружности.)Скачать

Геометрия. 8 класс. Урок 02 Касательные к окружностиСкачать

Угол между хордой и касательнойСкачать