Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!
Ответы и объяснения 1
№2. Дано: Окр. О; Касательные к окр. NM и KM из точки М; ON = 9; OM = 18; Угол NMK — ? —— Решение: Sin NMO = ON/OM = 9/18 = 1/2. Угол NMO = 30°. Известно, что отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Значит, угол NMO равен углу OMK. Угол NMK равен сумме углов OMK и NMO. Угол NMK = 30°+30°=60°. Ответ: угол NMK = 60°.
№3. Дано: Окр. О; Касательная AC, AC пересекает Окр. = А; АВ — хорда; OA = AB; Угол BAC — ? —— Решение: Проведём радиус OB. Треугольник АОВ — равносторонний, т.к. ОА — радиус, ОВ — радиус, и АВ равен ОА. Угол А равен углу В, равен углу О, равен 180°/3 = 60°. Т.к. АС — касательная, то угол OAC = 90° = сумме углов OAB и BAC. Угол BAC = угол OAC — угол OAB = 90° — 60° = 30°. Ответ: угол BAC = 30°.
№6. Дано: Окр. О; Касательные МК и NK из точки К; ОК = 6; Угол MON = 120°; MK, NK — ? —— Решение: Т.к. отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности, то MK = NK и угол MKO равен углу OKN. Угол MON составляет сумму равных углов MKO и OKN. Значит, Угол MKO равен углу OKN, равен 120°/2 = 60°. tg MKO = OM/MK; tg 60° = √3; MK = ON = OM/tg30° = 6/√3 = 6√3/3 = 2√3 Ответ: MK = ON = 2√3.
№7. Дано: Окр. А; Треугольник АСВ; D принадлежит AB, AD — радиус; Е принадлежит АС, АЕ — радиус; CD — касательная; CD = 12; AB = 25; Угол ACB = 90°; AE — ? —— Решение: Т.к. CD — касательная, то в тр-ке ACB, CD — высота. Известно, что высота в прямоугольном треугольнике, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой. Значит, CD = √(AD*DB). Т.к. AD = r, а AB = 25, то DB = 25-r. Отсюда: CD = √(r*(25-r)), 12 = √(r*(25-r)). r*(25-r) = 144, r² — 25r + 144 = 0; D = 635 — 576 = 49, √D = ±7; 1) r = (25+7)/2 = 16; 2) r = (25-7)/2 = 9. Ответ: AE = 16, либо AE = 9.
Знаете ответ? Поделитесь им!
Как написать хороший ответ?
Чтобы добавить хороший ответ необходимо:
Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.
Этого делать не стоит:
Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!
Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Касательная к окружности
О чем эта статья:
Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать
Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.
Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).
Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.
Видео:Касательная к окружности | Геометрия 7-9 класс #69 | ИнфоурокСкачать
Свойства касательной к окружности
Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.
Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
окружность с центральной точкой А;
прямая а — касательная к ней;
радиус АВ, проведенный к касательной.
Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.
Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.
В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.
Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Задача
У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.
Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.
Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.
Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.
Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.
Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.
Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.
Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.
Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.
Задача 1
У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.
Решение
Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.
∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).
Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:
∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°
Итак, угол между касательными составляет 60°.
Задача 2
К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.
Решение
Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.
Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.
∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°
Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.
Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.
Задача 1
Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.
Решение
Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.
Найдем длину внешней части секущей:
МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)
МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64
Задача 2
Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.
Решение
Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.
В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.
Поскольку МВ = 2 МА, значит:
МА = МВ : 2 = (у + R) : 2
Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.
(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)
Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:
Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).
Ответ: MO = 10 см.
Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.
Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.
Задача 1
Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.
Решение
Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.
АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°
Задача 2
У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.
Решение
Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:
КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°
Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.
∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2
Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:
∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°
Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать
Помогите пж ( 8 класс) Касательная окружность
Помогите пж ( 8 класс) Касательная окружность
Семён Богокин
Геометрия 2019-01-13 00:32:26 1 1
2. Дано: Окр. О; Касательные к окр. NM и KM из точки М; ON = 9; OM = 18; Угол NMK — ? — Решение: Sin NMO = ON/OM = 9/18 = 1/2. Угол NMO = 30. Знаменито, что отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и сочиняют одинаковые углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Означает, угол NMO равен углу OMK. Угол NMK равен сумме углов OMK и NMO. Угол NMK = 30+30=60. Ответ: угол NMK = 60.
3. Дано: Окр. О; Касательная AC, AC пересекает Окр. = А; АВ — хорда; OA = AB; Угол BAC — ? — Решение: Проведём радиус OB. Треугольник АОВ — равносторонний, т.к. ОА — радиус, ОВ — радиус, и АВ равен ОА. Угол А равен углу В, равен углу О, равен 180/3 = 60. Т.к. АС — касательная, то угол OAC = 90 = сумме углов OAB и BAC. Угол BAC = угол OAC — угол OAB = 90 — 60 = 30. Ответ: угол BAC = 30.
6. Дано: Окр. О; Касательные МК и NK из точки К; ОК = 6; Угол MON = 120; MK, NK — ? — Решение: Т.к. отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, одинаковы и сочиняют одинаковые углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности, то MK = NK и угол MKO равен углу OKN. Угол MON сочиняет сумму одинаковых углов MKO и OKN. Значит, Угол MKO равен углу OKN, равен 120/2 = 60. tg MKO = OM/MK; tg 60 = 3; MK = ON = OM/tg30 = 6/3 = 63/3 = 23 Ответ: MK = ON = 23.
7. Дано: Окр. А; Треугольник АСВ; D принадлежит AB, AD — радиус; Е принадлежит АС, АЕ — радиус; CD — касательная; CD = 12; AB = 25; Угол ACB = 90; AE — ? — Решение: Т.к. CD — касательная, то в тр-ке ACB, CD — высота. Знаменито, что вышина в прямоугольном треугольнике, проведённая из верхушки прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой вышиной. Означает, CD = (AD*DB). Т.к. AD = r, а AB = 25, то DB = 25-r. Отсюда: CD = (r*(25-r)), 12 = (r*(25-r)). r*(25-r) = 144, r — 25r + 144 = 0; D = 635 — 576 = 49, D = 7; 1) r = (25+7)/2 = 16; 2) r = (25-7)/2 = 9. Ответ: AE = 16, либо AE = 9.
