Вписанные и центральные углы |
Углы, образованные хордами, касательными и секущими |
Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью |
- Вписанные и центральные углы
- Теоремы о вписанных и центральных углах
- Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
- Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
- Касательная к окружности образуют угол 120
- Касательные к окружности 120
- Касательные к окружности 120
- Касательная к окружности
- Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
- Свойства касательной к окружности
- Задача
- Задача 1
- Задача 2
- Задача 1
- Задача 2
- Задача 1
- Задача 2
- На рисунке из точки А к окружности с центром О проведены касательные АВ и АС (В а С — точки касания), ∠BOC = 120°, а длина дуги ВМС равна 12 см.
- Ваш ответ
- решение вопроса
- Похожие вопросы
- 📽️ Видео
Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Вписанные и центральные углы
Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).
Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).
Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Видео:ЕГЭ 2017 | Задание 3 | Касательные CA и CB к окружности ... ✘ Школа ПифагораСкачать
Теоремы о вписанных и центральных углах
Фигура | Рисунок | Теорема | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |
Вписанный угол | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Фигура | Рисунок | Теорема | Формула |
Угол, образованный пересекающимися хордами | |||
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга | |||
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания | |||
Угол, образованный касательной и секущей | |||
Угол, образованный двумя касательными к окружности |
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами |
Формула: |
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга |
Формула: |
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания |
Формула: |
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей |
Формула: |
Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности |
Формулы: |
Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать Доказательства теорем об углах, связанных с окружностьюТеорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5). Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана. Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6). В этом случае справедливы равенства и теорема 1 в этом случае доказана. Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7). В этом случае справедливы равенства что и завершает доказательство теоремы 1. Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 8. Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 9. Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 10. Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства что и требовалось доказать Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 11. Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 12. Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство Видео:Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать Касательная к окружности образуют угол 120Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах. Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122°. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах. Треугольник АВС равнобедренный, так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Следовательно, угол ВAC равен 0,5(180° − 122°) = 29°. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине заключенной между ними дуги, поэтому искомая дуга равна 2 · 29° = 58°. Приведем другое решение. Пусть искомая длина меньшей дуги АВ равна х, тогда длина большей дуги АВ равна 360° − х. Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен половине высекаемых ими дуг, откуда имеем: 0,5(360° − 2x) = 122°. Тогда x = 58°. Видео:Построение касательной к окружностиСкачать Касательные к окружности 120Видео:Секретная теорема из учебника геометрииСкачать Касательные к окружности 120Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах. Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122°. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах. Треугольник АВС равнобедренный, так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Следовательно, угол ВAC равен 0,5(180° − 122°) = 29°. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине заключенной между ними дуги, поэтому искомая дуга равна 2 · 29° = 58°. Приведем другое решение. Пусть искомая длина меньшей дуги АВ равна х, тогда длина большей дуги АВ равна 360° − х. Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен половине высекаемых ими дуг, откуда имеем: 0,5(360° − 2x) = 122°. Тогда x = 58°. Видео:ОГЭ математика. Задание 16. Окружность. Касательная.Скачать Касательная к окружностиО чем эта статья: Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разницаВ самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу. Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку. Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ). Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой. Видео:ЗАДАНИЕ 1 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). ХОРДА, КАСАТЕЛЬНАЯ И СЕКУЩАЯ.Скачать Свойства касательной к окружностиВыделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку. Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны. Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ. Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС. В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания. Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ. Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом. ЗадачаУ нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ. Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°. Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла. ∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62° Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°. Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны. Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD. Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°. Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны. Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам. Задача 1У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные. Решение Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA. ∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°). Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами: ∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60° Итак, угол между касательными составляет 60°. Задача 2К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК. Решение Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным. Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК. ∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65° Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть. Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения. Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей. Задача 1Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA. Решение Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС. Найдем длину внешней части секущей: МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см) МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64 Задача 2Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO. Решение Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R. В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R. Поскольку МВ = 2 МА, значит: МА = МВ : 2 = (у + R) : 2 Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС. (у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R) Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим: Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см). Ответ: MO = 10 см. Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними. Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC. Задача 1Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой. Решение Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ. АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64° Задача 2У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK. Решение Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно: КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168° Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный. ∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то: ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6° Видео:Касательные САМ и СВО к окружности образуют угол АСВ, равный 78Скачать На рисунке из точки А к окружности с центром О проведены касательные АВ и АС (В а С — точки касания), ∠BOC = 120°, а длина дуги ВМС равна 12 см.Видео:Построение касательной к окружности.Скачать Ваш ответВидео:Касательные к окружности | Задачи 11-20 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 классСкачать решение вопросаВидео:ЕГЭ Математика Задание 6#27880Скачать Похожие вопросы
Популярное на сайте: Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так. Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 📽️ ВидеоЗадача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128Скачать Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность | ГеометрияСкачать Угол между касательной и хордой.Скачать Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать #4 Самое сложное задание 16 ОГЭ 2021. Углы в окружности. Касательная к окружности.Скачать Угол между хордой и касательной. 9 класс.Скачать |