Касательная к двум окружностям разного радиуса

897 Постройте общую касательную к двум данным окружностям.

Касательная к двум окружностям разного радиусаКасательная к двум окружностям разного радиусаКасательная к двум окружностям разного радиусаКасательная к двум окружностям разного радиусаКасательная к двум окружностям разного радиуса

Замечание. Мы рассмотрели случай, когда каждая из данных окружностей лежит вне другой. В этом случае окружности имеют четыре общих касательных, две из которых внешние, а две другие — внутренние (рис. 286, а). Ясно, что если одна из окружностей целиком

лежит внутри другой, то общих касательных у них нет (рис. 286, б).

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Если окружности имеют единственную общую точку, то общих касательных три (рис. 286, в) или одна (рис. 286, г). Наконец, если окружности имеют две общие точки, то общих касательных две (рис. 286, д). В каждом из этих случаев общие касательные могут быть построены одним из двух указанных методов. Впрочем, в ряде случаев касательную можно построить и проще — подумайте, как это сделать.

Касательная к двум окружностям разного радиуса Решебник по геометрии за 8 класс (Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина, 2005 год),
задача №897
к главе «Глава VIII. Окружность. Задачи повышенной трудности».

Видео:Внешняя касательная к двум окружностямСкачать

Внешняя касательная к двум окружностям

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям

Касательная к двум окружностям разного радиусаВзаимное расположение двух окружностей
Касательная к двум окружностям разного радиусаОбщие касательные к двум окружностям
Касательная к двум окружностям разного радиусаФормулы для длин общих касательных и общей хорды
Касательная к двум окружностям разного радиусаДоказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Видео:Построение внешней касательной к двум дугам окружностей. Урок11.(Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Построение внешней касательной к двум дугам окружностей. Урок11.(Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

ФигураРисунокСвойства
Две окружности на плоскостиКасательная к двум окружностям разного радиуса
Каждая из окружностей лежит вне другойКасательная к двум окружностям разного радиуса
Внешнее касание двух окружностейКасательная к двум окружностям разного радиуса
Внутреннее касание двух окружностейКасательная к двум окружностям разного радиуса
Окружности пересекаются в двух точкахКасательная к двум окружностям разного радиусаКасательная к двум окружностям разного радиуса
Каждая из окружностей лежит вне другой
Касательная к двум окружностям разного радиуса
Внешнее касание двух окружностей
Касательная к двум окружностям разного радиуса
Внутреннее касание двух окружностей
Касательная к двум окружностям разного радиуса
Окружности пересекаются в двух точках
Касательная к двум окружностям разного радиуса
Касательная к двум окружностям разного радиуса
Каждая из окружностей лежит вне другой
Касательная к двум окружностям разного радиуса

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей
Касательная к двум окружностям разного радиуса

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Касательная к двум окружностям разного радиуса

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Внутренняя касательная к двум окружностямКасательная к двум окружностям разного радиуса
Внутреннее касание двух окружностейКасательная к двум окружностям разного радиуса
Окружности пересекаются в двух точкахКасательная к двум окружностям разного радиуса
Внешнее касание двух окружностейКасательная к двум окружностям разного радиуса
Касательная к двум окружностям разного радиуса
Касательная к двум окружностям разного радиуса

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям
Касательная к двум окружностям разного радиуса
Внутренняя касательная к двум окружностям
Касательная к двум окружностям разного радиуса
Внутреннее касание двух окружностей
Касательная к двум окружностям разного радиуса
Окружности пересекаются в двух точках
Касательная к двум окружностям разного радиуса
Внешнее касание двух окружностей
Касательная к двум окружностям разного радиуса
Касательная к двум окружностям разного радиуса
Каждая из окружностей лежит вне другой
Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Видео:Построение внутренней касательной к двум дугам окружностей.Урок12.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Построение внутренней касательной к двум дугам окружностей.Урок12.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей
Каждая из окружностей лежит вне другой

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям разного радиуса

ФигураРисунокФормула
Внешняя касательная к двум окружностямКасательная к двум окружностям разного радиуса
Внутренняя касательная к двум окружностямКасательная к двум окружностям разного радиуса
Общая хорда двух пересекающихся окружностейКасательная к двум окружностям разного радиуса

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Внешняя касательная к двум окружностям
Касательная к двум окружностям разного радиуса
Внутренняя касательная к двум окружностям
Касательная к двум окружностям разного радиуса
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Касательная к двум окружностям разного радиуса

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Видео:Построение касательной двум окружностям внешнего касанияСкачать

Построение касательной двум окружностям внешнего касания

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Касательная к двум окружностям разного радиуса

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Видео:Построение общей внешней касательной к двум окружностямСкачать

Построение общей внешней касательной к двум окружностям

Построение общей внешней касательной к двум окружностям

Построение общей внешней касательной к двум окружностям . Даны две окружности (а это значит, что даны также и их центры O1 и O2). И требуется построить к ним общую внешнюю касательную, то есть такую касательную, что данные окружности лежат от неё по одну сторону. Радиус большей окружности — называем R, радиус меньшей окружности — r. И сначала внутри большей окружности построим вспомогательную окружность вокруг того же центра и радиуса (R-r). Затем построим из центра меньшей окружности вспомогательную касательную к вспомогательной окружности, и требуемая внешняя касательная будет параллельна вспомогательной касательной.

Отложим первый вспомогательный луч с началом в точке A. Замерим циркулем радиус большей окружности, и тем же раствором циркуля от начала первого луча отложим отрезок AB равный R. Теперь циркулем замерим радиус меньшей окружности, и тем же раствором циркуля от точки B отложим отрезок BC, равный r. Получился AC = R — r. Замерим AC циркулем, и тем же раствором циркуля построим первую вспомогательную окружность с центром в O1.

Теперь соединим отрезком центры O1 и O2. Произвольным раствором циркуля строим вторую вспомогательную дугу окружности с центром O1. И тем же раствором циркуля строим третью вспомогательную дугу окружности с центром O2 — так, чтобы третья дуга пересекала вторую в двух точках (называем их D и E). Соединяем D и E отрезком, который пересекает O1O2 в середине — эту точку называем F. Теперь замерим циркулем FO1 и этим раствором циркуля строим четвёртую вспомогательную окружность с центром в F на отрезке O1O2, как на диаметре. Эта четвёртая окружность пересекает первую вспомогательную окружность в двух точках (называем их G и H). Выбираем из этих двух точек ту, которая нам больше нравится (мне нравится точка H), и соединяем прямой с точкой O2. Прямая HO2 — это касательная к первой вспомогательной окружности, проходящая через центр маленькой данной окружности.

Прямая HO2 пересекла меньшую окружность в двух точках (называем их K и L). Эти точки равноотстоят от O2 и помогут нам построить перпендикуляр к HO2. Произвольным раствором циркуля проводим пятую вспомогательную дугу окружности с центром в K. Тем же раствором циркуля проводим шестую вспомогательную дугу окружности с центром в L — так, чтоб шестая дуга пересекала пятую в некоторой точке (называем точку M). Соединяем O2 и M прямой — эта прямая (перпендикуляр к HO2) пересекает меньшую данную окружность в некоторой точке (называем её N).

Теперь через N проведём прямую, параллельную вспомогательной касательной HO2. Произвольным раствором циркуля строим седьмую вспомогательную окружность с центром в точке N — так, чтоб седьмая окружность пересекала HO2 в двух точках (точки называем P и Q). Тем же раствором циркуля строим восьмую вспомогательную окружность с центром в P, и восьмая окружность пересекает вспомогательную касательную HO2 в двух точках (точки называем Z и S). Тем же раствором циркуля проводим девятую вспомогательную дугу окружности с центром в Z — так, чтобы девятая дуга пересекала седьмую окружность в некоторой точке (точку называем T). Соединяем N и Т прямой — эта прямая NT и будет требуемой общей внешней касательной к двум данным окружностям.

И вот почему: NT проходит через конец радиуса O2N, лежащий на окружности. Также по построению NT параллельна HO2 и перпендикулярна радиусу O2N — следовательно, NT — касательная к малой данной окружности. Теперь проведём радиус O1H и продлим его до пересечения с прямой TN (точку пересечения называем U). Радиус O1H перпендикулярен касательной O2H — значит, угол O2HU — прямой . Получилось, что в четырёхугольнике UHO2N есть три прямых угла — значит и четвёртый угол HUN прямой, и UHO2N — прямоугольник , в котором сторона HU равна противоположной стороне O2N, то есть радиусу r. Теперь можем найти длину отрезка O1U (состоящего из O1H и HU). Длина равна сумме длин O1H и HU, то есть (R — r) + r = R. Выходит, что U отстоит от O1 на R, то есть U лежит на большой данной окружности, а это значит, что TN, проходящая через U — проходит через конец радиуса O1U, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то есть TN — касательная к большой данной окружности. Построение закончено.

🎦 Видео

Внутренняя касательная к двум окружностямСкачать

Внутренняя касательная к двум окружностям

Касательная к двум окружностям разного диаметра.Скачать

Касательная к двум окружностям разного диаметра.

Касательные к окружностиСкачать

Касательные к окружности

Построение общей касательной к двум окружностямСкачать

Построение общей касательной к двум окружностям

Касательные к двум окружностям.Скачать

Касательные к двум окружностям.

1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

1 2 4  сопряжение окружностей

Касательная к двум окружностям разного диаметра.3 часть.Скачать

Касательная к двум окружностям разного диаметра.3 часть.

Построение касательной к окружностиСкачать

Построение касательной к окружности

Касательная к двум окружностям разного диаметра.2 часть.Скачать

Касательная к двум окружностям разного диаметра.2 часть.

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Внешнее сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой. Урок13.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Внешнее сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой. Урок13.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Построение касательной к окружности.Скачать

Построение касательной к окружности.

СОПРЯЖЕНИЕ ДУГ ОКРУЖНОСТЕЙ КАСАТЕЛЬНОЙ ЛИНИЕЙ [pairing 2 circles with a tangent line]Скачать

СОПРЯЖЕНИЕ ДУГ ОКРУЖНОСТЕЙ КАСАТЕЛЬНОЙ ЛИНИЕЙ [pairing 2 circles with a tangent line]

8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Строим касательную к окружности (Задача 3).Скачать

Строим касательную к окружности (Задача 3).
Поделиться или сохранить к себе: