Какую фигуру можно вписать в окружность

Вписанные и описанные многоугольники

Вписанным в круг многоугольником называется такой многоугольник, вершины которого лежат на окружности. Описанным около круга многоугольником называется такой многоугольник, стороны которого касаются окружности.

Описанной около многоугольника окружностью называется окружность, проходящая через его вершины. Вписанной в многоугольник окружностью называется окружность, касающаяся его сторон.

Какую фигуру можно вписать в окружность
Вписанный многоугольник
Какую фигуру можно вписать в окружность
Описанный многоугольник

Если многоугольник взят произвольно, то в него нельзя вписать и около него нельзя описать окружность. Только многоугольники соответствующие некоторым правилам можно описать окружностью или вписать в них окружность.

Содержание
  1. Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них
  2. Как вписать фигуры в окружность
  3. Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
  4. Вписанные четырёхугольники и их свойства
  5. Теорема Птолемея
  6. Вписанные и описанные многоугольники
  7. Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них
  8. Окружность
  9. Основные термины
  10. Касательная
  11. Свойства касательной
  12. Хорда
  13. Свойства хорд
  14. Свойства окружности
  15. Теорема о касательной и секущей
  16. Теорема о секущих
  17. Углы в окружности
  18. Свойства углов, связанных с окружностью
  19. Длины и площади
  20. Вписанные и описанные окружности
  21. Окружность и треугольник
  22. Окружность и четырехугольники
  23. Вписанные и описанные многоугольники — формулы, свойства и примеры с решением
  24. Понятие о вписанных и описанных многоугольниках
  25. Касательная к окружности
  26. Пример №1
  27. Пример №2
  28. Пример №3
  29. Взаимное расположение двух окружностей
  30. Пример №4
  31. Пример №5
  32. Пример №6
  33. Пример №7
  34. Центральные и вписанные углы
  35. Вписанные углы. Рассмотрим понятие вписанного угла
  36. Свойство пересекающихся хорд. Теорема о касательной и секущей
  37. 💥 Видео

Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Если в четырёхугольник можно вписать окружность

Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них

Для треугольника всегда возможны и вписанная окружность и описанная окружность.

Для четырехугольника окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы. Из всех параллелограммов только в ромб и квадрат можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг трапеции возможно описать окружность или в трапецию можно вписать окружность если трапеция равнобокая.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Как вписать фигуры в окружность

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Какую фигуру можно вписать в окружностьВписанные четырехугольники и их свойства
Какую фигуру можно вписать в окружностьТеорема Птолемея

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Какую фигуру можно вписать в окружность

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Какую фигуру можно вписать в окружность

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Какую фигуру можно вписать в окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Какую фигуру можно вписать в окружность

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаКакую фигуру можно вписать в окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаКакую фигуру можно вписать в окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииКакую фигуру можно вписать в окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаКакую фигуру можно вписать в окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникКакую фигуру можно вписать в окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Какую фигуру можно вписать в окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Какую фигуру можно вписать в окружность

Окружность, описанная около параллелограмма
Какую фигуру можно вписать в окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Какую фигуру можно вписать в окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Какую фигуру можно вписать в окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Какую фигуру можно вписать в окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Какую фигуру можно вписать в окружность
Окружность, описанная около параллелограмма
Какую фигуру можно вписать в окружность

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаКакую фигуру можно вписать в окружность

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииКакую фигуру можно вписать в окружность

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаКакую фигуру можно вписать в окружность

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникКакую фигуру можно вписать в окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Какую фигуру можно вписать в окружность

Какую фигуру можно вписать в окружность

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Какую фигуру можно вписать в окружность

Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Какую фигуру можно вписать в окружность

Докажем, что справедливо равенство:

Какую фигуру можно вписать в окружность

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Какую фигуру можно вписать в окружность

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Какую фигуру можно вписать в окружность

откуда вытекает равенство:

Какую фигуру можно вписать в окружность(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Вписанные и описанные многоугольники

Вписанным в круг многоугольником называется такой многоугольник, вершины которого лежат на окружности. Описанным около круга многоугольником называется такой многоугольник, стороны которого касаются окружности.

Описанной около многоугольника окружностью называется окружность, проходящая через его вершины. Вписанной в многоугольник окружностью называется окружность, касающаяся его сторон.

Какую фигуру можно вписать в окружность
Вписанный многоугольник
Какую фигуру можно вписать в окружность
Описанный многоугольник

Если многоугольник взят произвольно, то в него нельзя вписать и около него нельзя описать окружность. Только многоугольники соответствующие некоторым правилам можно описать окружностью или вписать в них окружность.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них

Для треугольника всегда возможны и вписанная окружность и описанная окружность.

Для четырехугольника окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы. Из всех параллелограммов только в ромб и квадрат можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг трапеции возможно описать окружность или в трапецию можно вписать окружность если трапеция равнобокая.

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Видео:№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд

Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Видео:Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружностьСкачать

Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность

Свойства окружности

  • Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  • Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  • Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

    Теорема о касательной и секущей

    Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

    Теорема о секущих

    Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

    Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

    9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

    Углы в окружности

    Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

    Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

    Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

    Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

    Свойства углов, связанных с окружностью

    Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

    Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

    Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

    Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

    Видео:Урок по теме ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬСкачать

    Урок по теме ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

    Длины и площади

    Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

    Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

    Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

    Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

    Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Вписанные и описанные окружности


    Окружность и треугольник

    центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

    где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

    центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

    здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.

    Окружность и четырехугольники

    около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

  • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
  • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
  • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Математика 6 класс.

    Вписанные и описанные многоугольники — формулы, свойства и примеры с решением

    Содержание:

    Рассмотрим вопрос о взаимном расположении прямой и окружности. Ранее уже отмечалось, что возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности:

    1. прямая имеет только две общие точки с окружностью;
    2. прямая имеет только одну общую точку с окружностью;
    3. прямая не имеет общих точек с окружностью.

    Если прямая имеет две общие точки с окружностью, то она называется секущей.

    Видео:Построение 8 угольника циркулемСкачать

    Построение 8 угольника циркулем

    Понятие о вписанных и описанных многоугольниках

    Взаимное расположение окружности со (О, R) с центром в точке О радиуса R и прямой I характеризуется соотношением между расстоянием d(0, I) от центра О окружности до прямой I и радиусом R окружности. Докажем это.

    1) Прямая I имеет только две общие точки с окружностью, если расстояние от центра окружности до прямой I меньше радиуса окружности, т. е. Какую фигуру можно вписать в окружность

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    Пусть прямая I не проходит через центр О окружности и расстояние Какую фигуру можно вписать в окружность. Обозначим OF Какую фигуру можно вписать в окружность— перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой I, тогда OF = m. Пусть точки А и В лежат на прямой I

    так, что Какую фигуру можно вписать в окружность. Докажем, что точки А и В принадлежат окружности.

    Действительно, так как по теореме Пифагора

    Какую фигуру можно вписать в окружностьКакую фигуру можно вписать в окружность

    Таким образом, точки А и В — общие точки прямой и окружности. Докажем, что других общих точек прямая I и окружность Какую фигуру можно вписать в окружностьне имеют.

    Предположим, что существует еще одна точка X — общая для окружности и прямой. Тогда центр окружности О равноудален от точек А, В, и X, а значит, он лежит на серединных перпендикулярах Какую фигуру можно вписать в окружностьк отрезкам АВ и ВХ, т. е. О — точка перессечения серединных перпендикуляровКакую фигуру можно вписать в окружность. Но так какКакую фигуру можно вписать в окружность,. Получили противоречие. Значит, наше предположение не верно и других общих точек прямой и окружности нет.

    Если прямая I проходит через центр О окружности, т. е. d(0, Z) = 0, то она пересекает окружность в двух точках, которые являются концами диаметра, лежащего на этой прямой.

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    2) Прямая I имеет только одну общую точку с окружностью, если расстояние от центра окружности до прямой I равно радиусу окружности, т. е. если d(0, I) = R.

    Пусть расстояние от центра окружности до прямой I равно радиусу окружности, а точка F — основание перпендикуляра, проведенного из центра окружности к прямой I (рис. 2). Тогда OF = R, а значит, точка F лежит на окружности. Других общих точек прямая и окружность не имеют. Действительно, для любой точки X прямой I, не совпадающей с точкой F, выполняется условие ОХ > OF, OF = R, так; как наклонная ОХ больше перпендикуляра OF.

    Следовательно, точка X не лежит на окружности.

    3) Прямая I не имеет общих точек с окружностью, если расстояние от центра О окружности до прямой I больше радиуса окружности, т. е. если d(0, I) > R.

    Пусть расстояние от центра О окружности до прямой I больше радиуса R. Обозначим буквой F основание перпендикуляра, проведенного из центра О окружности к прямой I (рис. 3). Тогда OF = d(0, I), d(0, I) > R.

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    Для любой точки X прямой выполняется условие Какую фигуру можно вписать в окружность, следовательно, точка X не лежит на окружности. Таким образом, в случае Какую фигуру можно вписать в окружностьпрямая и окружность не имеют общих точек.

    Касательная к окружности

    Рассмотрим случай, когда прямая и окружность имеют единственную общую точку. Прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью, имеет специальное название — касательная.

    Определение. Касательной к окружности называется прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.

    Единственная общая точка прямой и окружности называется точкой касания прямой и окружности.

    Если прямая I имеет единственную общую точку А с окружностью, то говорят, что прямая I касается окружности в точке А.

    Теорема 1 (о свойстве касательной). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности, проведенному в точку касания.

    1) Пусть прямая I касается окружности Какую фигуру можно вписать в окружностьДокажем, что Какую фигуру можно вписать в окружность

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    2) Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой I. Перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой I, меньше наклонной ОА, следовательно, расстояние от центра окружности до прямой

    меньше радиуса. Значит, прямая и окружность имеют две общие точки, что противоречит условию. Таким образом, прямая I перпендикулярна радиусу ОА.

    Рассмотрим следствия из данной теоремы.

    Пусть через точку А проведены две прямые, касающиеся окружности Какую фигуру можно вписать в окружностьТогда отрезки АВ и АС называются отрезками касательных, проведенными из точки А (рис. 5).

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    Следствие 1. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

    1) Пусть АВ и АС — отрезки касательных, проведенные из точки А (рис. 5). Для доказательства равенства АВ = АС рассмотрим треугольники АВО и АСО.

    2) По свойству касательной Какую фигуру можно вписать в окружностьи Какую фигуру можно вписать в окружность, т. е. треугольники АВО и АСО — прямоугольные.

    3)Какую фигуру можно вписать в окружность, так как АО — общая гипотенуза, а катеты О В и ОС равны как радиусы окружности. Отсюда следует, что АВ =АС.

    Следствие 1 доказано.

    Из равенства треугольников АВО и АСО вытекает также, что Какую фигуру можно вписать в окружность. Таким образом, получим еще одно следствие.

    Следствие 2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

    Теперь докажем признак, который позволяет устанавливать, в каком случае прямая касается окружности. Оказывается, для этого достаточно установить, что прямая перпендикулярна радиусу и проходит через его конец, лежащий на окружности.

    Теорема 2 (признак касательной). Если прямая перпендикулярна радиусу окружности и проходит через его конец, лежащий на окружности, то она касается этой окружности.

    1) Пусть прямая I проходит через точку А окружности и перпендикулярна радиусу О А (рис. 6). Для доказательства того, что прямая I касается окружности, достаточно доказать, что она имеет с этой окружностью единственную общую точку.

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    2) Так как точка А лежит на окружности и прямая I проходит через точку А, то А — общая точка прямой I и окружности.

    3) Других общих точек прямая I и окружность не имеют. Действительно, для любой точки Какую фигуру можно вписать в окружностьотрезок ОХ является наклонной, так как по условию Какую фигуру можно вписать в окружностьСледовательно, ОХ > ОА, т. е. точка X не принадлежит окружности.

    Таким образом, точка А — единственная общая точка прямой I и окружности, а, значит, прямая I — касательная к окружности.

    Пример №1

    Через точку А, находящуюся от центра О окружности на расстоянии 10 см, проведены две касательные АВ и АС, где Б и С — точки касания. Вычислите площадь Какую фигуру можно вписать в окружностьчетырехугольника АВОС, если АВ + АС = = 16 см ( рис. 7).

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    Решение:

    1) Площадь четырехугольника АВОС равна сумме площадей треугольников АВО и АСО.

    2) По свойству касательной Какую фигуру можно вписать в окружностьКакую фигуру можно вписать в окружность. Прямоугольные треугольники АВО и АСО равны по гипотенузе и катету (АО — общая, ОВ = ОС). Значит,

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    3) Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Следовательно, АВ=АС = 8 см. Теперь, применив теорему Пифагора, вычислимКакую фигуру можно вписать в окружностьКакую фигуру можно вписать в окружность

    Таким образом, Какую фигуру можно вписать в окружность

    Ответ: Какую фигуру можно вписать в окружность

    Пример №2

    Точка F — середина основания ВС равнобедренного треугольника АБС. Докажите, что прямая ВС является касательной к окружности Какую фигуру можно вписать в окружность(рис. 8, а, б).

    Какую фигуру можно вписать в окружностьКакую фигуру можно вписать в окружность

    Доказательство.

    1) Прямая ВС проходит через конец F радиуса окружности Какую фигуру можно вписать в окружность. Для доказательства того, что ВС является касательной, достаточно доказать, что Какую фигуру можно вписать в окружность

    2) В равнобедренном треугольнике AВС отрезок AF — медиана, проведенная к его основанию. Следовательно, Какую фигуру можно вписать в окружностьТаким образом, по признаку касательной прямая ВС касается окружности Какую фигуру можно вписать в окружность

    Что и требовалось доказать.

    Пример №3

    Точка А лежит вне окружности Какую фигуру можно вписать в окружностьПостройте прямую, которая касается окружности и проходит через точку А.

    1) Пусть прямая I, проходящая через точку А и касающаяся окружности Какую фигуру можно вписать в окружность, построена. Точка В — точка касания. Тогда по свойству касательной OB LAB (рис. 9, а). Следовательно, для построения искомой касательной необходимо построить точку В на окружности Какую фигуру можно вписать в окружностьтак, что Какую фигуру можно вписать в окружность.

    2) Рассмотрим окружность coj, диаметром которой является отрезок АО, т. е. Какую фигуру можно вписать в окружностьПусть В и С — точки пересечения окружностей Какую фигуру можно вписать в окружностьи Какую фигуру можно вписать в окружность(рис. 9, б). Заметим, что Какую фигуру можно вписать в окружность, как углы при основании равнобедренных треугольников ВО,О и ВО,А соответственно. Так как Какую фигуру можно вписать в окружность, то Какую фигуру можно вписать в окружностьЗначит, Какую фигуру можно вписать в окружность, т. е.Какую фигуру можно вписать в окружность. Аналогично доказывается, чтоКакую фигуру можно вписать в окружность. Отсюда по признаку

    касательной к окружности следует, что прямые АВ и АС являются касательными. Теперь понятна последовательность необходимых построений.
    Какую фигуру можно вписать в окружность

    1) Проводим отрезок О А, соединяющий центр О данной окружности и точку А (рис. 10, а).

    2) Строим середину Какую фигуру можно вписать в окружностьотрезка ОА: Какую фигуру можно вписать в окружностьТочки F и Е — точки пересечения окружностей Какую фигуру можно вписать в окружность

    гдеКакую фигуру можно вписать в окружность(рис. 10, б).

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    3) Строим окружность Какую фигуру можно вписать в окружность(рис. 10, в) и точки Б, С — точки пересечения данной и построенной окружностей.

    4) Прямые АВ и АС — искомые касательные к данной окружности.

    Доказательство. По построению Какую фигуру можно вписать в окружностьи Какую фигуру можно вписать в окружность(см. задачу № 251 учебного пособия «Геометрия, 7»), т. е. АВ1ОВ и АС 1ОВ. Следовательно, по признаку касательной АВ и АС — касательные.

    Взаимное расположение двух окружностей

    Рассмотрим вопрос о взаимном расположении двух окружностей в плоскости. Возможны следующие случаи взаимного расположения двух различных окружностей:

    1) окружности не имеют общих точек (в этом случае говорят, что они не пересекаются (рис. 11, а ));

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    2) окружности имеют две общие точки (в этом случае говорят, что окружности пересекаются (рис. 11, б));

    3) окружности имеют только одну общую точку, и одна из окружностей лежит внутри круга, ограниченного другой окружностью (в этом случае говорят, что они касаются внутренним образом (рис. 12, а ));

    4) окружности имеют только одну общую точку, и ни одна из окружностей не лежит внутри круга, ограниченного другой окружностью (в этом случае говорят, что они касаются внешним образом, (рис. 12, б)).

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    Пример №4

    Докажите, что если две окружности Какую фигуру можно вписать в окружностьи Какую фигуру можно вписать в окружностькасаются внешним образом, то расстояние между их центрами равно сумме их радиусов, т. е.Какую фигуру можно вписать в окружность

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    Доказательство.

    1) Пусть окружности Какую фигуру можно вписать в окружностькасаются внешним образом в точке А (рис. 13, а).

    2) Докажем, что точка А лежит на отрезке Какую фигуру можно вписать в окружностьДопустим, что точка А не лежит на отрезке Какую фигуру можно вписать в окружностьЗаметим, что в случае внешнего касания точка А не может лежать на продолжении отрезка Какую фигуру можно вписать в окружностьПусть точка касания А не лежит на отрезке Какую фигуру можно вписать в окружность(рис. 13, б). Тогда Какую фигуру можно вписать в окружность

    3) Пусть F — точка, симметричная точке А относительно прямой Какую фигуру можно вписать в окружность. Тогда Какую фигуру можно вписать в окружность, а значит, точка F принадлежит каждой окружности. Таким образом, окружности Какую фигуру можно вписать в окружностьимеют две общие точки А и F, что противоречит условию их касания. Следовательно, точка касания А лежит на отрезке Какую фигуру можно вписать в окружностьКакую фигуру можно вписать в окружностьКакую фигуру можно вписать в окружность

    4) Докажем, что Какую фигуру можно вписать в окружностьТочка А лежит на отрезке Какую фигуру можно вписать в окружностьзначит, Какую фигуру можно вписать в окружность

    Справедливо и обратное утверждение.

    Пример №5

    Докажите, если расстояние между центрами двух окружностей, лежащих в плоскости, равно сумме их радиусов, то такие окружности касаются внешним образом.

    1) Пусть даны две окружности Какую фигуру можно вписать в окружностьи известно, что Какую фигуру можно вписать в окружностьДокажем, что окружности касаются внешним образом.

    2) На отрезкеКакую фигуру можно вписать в окружностьрассмотрим точку А такую, что Какую фигуру можно вписать в окружностьТогда Какую фигуру можно вписать в окружность. Таким образом, точка А принадлежит каждой из данных окружностей.

    3) Докажем, что окружности не имеют других общих точек. Действительно, на прямой Какую фигуру можно вписать в окружностьтаких точек нет. Предположим, что существует точка X вне прямой Какую фигуру можно вписать в окружностьпринадлежащая каждой окружности. Тогда Какую фигуру можно вписать в окружностьи Какую фигуру можно вписать в окружностьВ треугольнике Какую фигуру можно вписать в окружностьдлина стороныКакую фигуру можно вписать в окружностьравна сумме длин сторон Какую фигуру можно вписать в окружность, что невозможно.

    4) Таким образом, предположение о существовании еще одной точки, принадлежащей окружностям Какую фигуру можно вписать в окружностьи Какую фигуру можно вписать в окружность, приводит к противоречию. Следовательно, других общих точек, кроме точки А, не существует, т. е. окружности касаются.

    5) Докажем, что окружности касаются внешним образом. Для любой точки F окружностиКакую фигуру можно вписать в окружностьвыполняется условие Какую фигуру можно вписать в окружностьТаким образом, либо точка F лежит вне окружности Какую фигуру можно вписать в окружностькогда Какую фигуру можно вписать в окружность, либо эта точка принадлежит обеим окружностям, если Какую фигуру можно вписать в окружностьНо в этом случае точка F есть точка А касания окружностей. Следовательно, окружность Какую фигуру можно вписать в окружностьрасположена вне части плоскости, ограниченной окружностью Какую фигуру можно вписать в окружность. Аналогично можно доказать, что окружность Какую фигуру можно вписать в окружностьрасположена вне части плоскости, ограниченной окружностью Какую фигуру можно вписать в окружность. Теперь доказано, что окружности Какую фигуру можно вписать в окружностьи Какую фигуру можно вписать в окружностькасаются внешним образом.

    Пример №6

    Докажите, что две окружности касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами равно модулю разности их радиусов.

    Другими словами, если окружности Какую фигуру можно вписать в окружностькасаются внутренним образом, то Какую фигуру можно вписать в окружностьИ наоборот, если выполняется равенство Какую фигуру можно вписать в окружность, то окружности касаются внутренним образом.

    Пример №7

    Две окружности с центрами в точках О и К, радиусы которых равны 16 см и 9 см соответственно, касаются внешним образом в точке С. К окружностям проведена общая касательная АВ, где точки А и В — точки касания.

    Общая касательная, проведенная через точку С, пересекает касательную АВ в точке Т (рис. 14, а). Вычислите длину отрезка СТ.

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    Решение:

    Для решения задачи воспользуемся тем, что отрезки касательных, проведенные к окружности из одной точки, равны, а радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной. Учтем также, что окружности касаются внешним образом, а значит, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.

    1) Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то ТС = ТА = ТВ, т. е. Какую фигуру можно вписать в окружность. Значит, нам необходимо вычислить длину отрезка АВ.

    2) Так как окружности касаются внешним образом, то ОК = ОС + СК = 16 + 9 = 25 (см).

    3) Рассмотрим четырехугольник ODBK. Пусть Какую фигуру можно вписать в окружностьи Какую фигуру можно вписать в окружность(рис. 14, б). Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, тоКакую фигуру можно вписать в окружность, т. е. треугольник BAD — прямоугольный. Следовательно,

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    4) Четырехугольник ODBK — параллелограмм, так как его противолежащие стороны параллельны, значит, DB = ОК = = 25 см. Кроме того, DA = ОА — OD = ОА — КВ =16-9 = 7 (см).

    Тогда Какую фигуру можно вписать в окружностьСледовательно,Какую фигуру можно вписать в окружность

    Ответ: ТС = 12 см.

    Центральные и вписанные углы

    В данном параграфе изучим понятия центрального и вписанного углов.

    Определение. Центральным углом окружности называется угол с вершиной в центре этой окружности.

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    Например, на рисунке 18, а изображен центральный угол TOF, который меньше развернутого угла, а на рисунке 18, б — центральный угол SOD — больше развернутого угла.

    Любые две различные точки А и В окружности служат концами двух дуг. Для различия этих дуг на каждой из них отмечается некоторая промежуточная точка. Например, если на дугах отмечены точки F и Т, то в этом случае дуги обозначаются Какую фигуру можно вписать в окружностьи данная запись читается так: «дуга АТВ и дуга AFB» (рис. 19, а). Если понятно, о какой из двух дуг идет речь, употребляется также обозначение Какую фигуру можно вписать в окружность

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    Дуга АВ окружности называется полуокружностью, если ее концы служат концами диаметра этой окружности.

    Например, на рисунке 19, б изображены полуокружности ALB и АС В.

    Пусть точки А и Б не являются концами диаметра окружности с центром в точке О. Тогда лучи ОА и ОБ служат сторонами двух центральных углов, один из которых меньше, а другой больше развернутого угла (рис. 20, а).
    Какую фигуру можно вписать в окружность

    Дуга АВ окружности Какую фигуру можно вписать в окружностьи центральный угол АОВ, внутри которого лежит эта дуга, называются соответствующими.

    Если дуга окружности лежит внутри соответствующего ей центрального угла, который меньше развернутого угла, то говорят, что эта дуга меньше полуокружности.

    Если дуга окружности лежит внутри соответствующего ей центрального угла, который больше развернутого угла, то говорят, что дуга больше полуокружности.

    Например, на рисунке 20, а изображены дуга AFB, которая меньше полуокружности, и дуга АТВ — больше полуокружности.

    Для сравнения дуг окружности вводится понятие градусной меры дуги окружности.

    Дадим определение градусной меры дуги окружности.

    Определение. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей центрального угла.

    Градусная мера дуги АВ, как и сама дуга, обозначается Какую фигуру можно вписать в окружность

    Таким образом, если дуга АВ окружности меньше полуокружности, a Какую фигуру можно вписать в окружность— соответствующий ей центральный угол, то Какую фигуру можно вписать в окружность(см. рис. 20, а).

    Если дуга АВ является полуокружностью, то ее градусная мера равна 180° (рис. 20, б).

    Градусная мера дуги АТВ, которая больше полуокружности и дополняет дугу АВ, меньшую полуокружности, до окружности, равна 360° Какую фигуру можно вписать в окружность, где угол АОВ соответствует дуге АВ (рис. 20, в).

    Понятие градусной меры дуги позволяет определить понятие равенства дуг окружности.

    Две дуги одной и той же окружности называются равными, если равны их градусные меры.

    Если градусная мера дуги АВ равна 33°, то пишут Какую фигуру можно вписать в окружность= 33°. Читают: «Градусная мера дуги АВ равна 33°», или кратко «Дуга АВ равна 33°».

    Рассмотрим примеры. Пусть диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Окружность Какую фигуру можно вписать в окружностьпересекает стороны ВС и CD квадрата в точках F и L соответственно. Тогда Какую фигуру можно вписать в окружность, а градусная мера дуги FO, которая меньше полуокружности, равна 45°. Градусная мера дуги FLO, которая больше полуокружности, равна Какую фигуру можно вписать в окружность Какую фигуру можно вписать в окружность(рис. 21, а).

    Рассмотрим еще один пример. Пусть точка О — центр окружности, отрезок АВ — хорда окружности, равная ее радиусу, а отрезок АС — диаметр окружности (рис. 21, б).
    Какую фигуру можно вписать в окружность

    Тогда градусная мера дуги АВ, которая меньше полуокружности, равна 60°, так как треугольник АОВ — равносторонний, а значит, градусная мера соответствующего ей центрального угла АОВ равна 60°. Градусная мера дуги ВС, которая меньше полуокружности, равна 120°, так как градусная мера соответствующего ей центрального угла ВОС равна 120°.

    Можем вычислить градусную меру дуги ВАС, которая больше полуокружности: Какую фигуру можно вписать в окружность= 240°.

    Вписанные углы. Рассмотрим понятие вписанного угла

    Определение. Угол называется вписанным в окружность, если он меньше развернутого угла, вершина его лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

    Например, на рисунке 22, а изображен вписанный угол TOF. Если точки А, В и С лежат на окружности, то каждый из угол ABC, ВСА, САВ является вписанным (рис. 22, б).

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    Пусть Какую фигуру можно вписать в окружность— вписанный угол, при этом Г и В — точки пересечения его сторон с окружностью, a TF — дуга, которая лежит внутри этого вписанного угла. В этом случае говорят, что вписанный угол TOF опирается на дугу TF (см. рис. 22, а).

    Например, на рисунке 22, в изображены вписанные углы ВАС, ВОС и BFC, которые опираются на одну и ту же дугу ВС.

    Теперь докажем теорему о вписанном угле.

    Теорема 1(о вписанном угле). Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры, дуги, на которую он опирается.

    Пусть вписанный в окружностьКакую фигуру можно вписать в окружностьугол ABC опирается на дугу АС.

    Докажем, что Какую фигуру можно вписать в окружностьРассмотрим три возможных случая. Центр О окружности лежит: 1) на одной из сторон угла; 2) во внутренней области угла; 3) во внешней области угла.

    Первый случай. Центр О окружности лежит на одной из сторон угла ABC, например на стороне ВС (рис. 23).

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    1) Дуга АС меньше полуокружности, следовательно, Какую фигуру можно вписать в окружность

    2) Угол АОС — внешний угол равнобедренного треугольника АОВ, значит, Какую фигуру можно вписать в окружность

    3) Так как углы при основании равнобедренного треугольника АОВ равны, то Какую фигуру можно вписать в окружность

    4) Так как Какую фигуру можно вписать в окружность, тоКакую фигуру можно вписать в окружность

    Второй случай. Центр О окружности лежит во внутренней области угла.

    1) Пусть D — точка пересечения луча ВО и дуги АС (рис. 24). Тогда по доказанному в первом случае

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    Какую фигуру можно вписать в окружностьКакую фигуру можно вписать в окружность

    Таким образом, Какую фигуру можно вписать в окружность

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    Третий случай. Центр О окружности лежит во внешней области угла ABC.

    1) Пусть D — точка пересечения луча ВО с окружностью (рис. 25). Тогда согласно доказанному в первом случае
    Какую фигуру можно вписать в окружностьКакую фигуру можно вписать в окружность

    Таким образом, Какую фигуру можно вписать в окружность

    Из данной теоремы получим следующие следствия.

    Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 26, а).

    Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой (рис. 26, б).

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    Рассмотрим пример. Пусть хорда АВ соединяет концы дуги AFB и равна радиусу окружности со (О, R). Тогда градусная мера каждого из вписанных углов, опирающихся на дугу AFB, равна 30° (рис. 26, в). Действительно, градусная мера центрального угла АОВ равна 60°, значит, Какую фигуру можно вписать в окружность. Каждый из указанных углов опирается на дугу AFB, следовательно, градусная мера каждого из них равнаКакую фигуру можно вписать в окружность

    Теорема 2 (об угле между хордой и касательной).

    Градусная мера угла, сторонами которого служат касательная и хорда, равна половине градусной меры дуги, расположенной внутри этого угла.

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    Доказательство.

    Первый случай. Пусть угол FAB — острый (рис. 27, о.).

    1) Проведем диаметр АС. Тогда вписанный угол СВ А опирается на полуокружность, значит, по следствию 2 он прямой, т. е. Какую фигуру можно вписать в окружность

    2) Треугольник СВА — прямоугольный, следовательно, Какую фигуру можно вписать в окружность

    3) Так как диаметр АС перпендикулярен касательной FA, то Какую фигуру можно вписать в окружностьТаким образом, Какую фигуру можно вписать в окружностьТак как вписанный угол АСВ опирается на дугу Какую фигуру можно вписать в окружность

    Следовательно, Какую фигуру можно вписать в окружность

    Второй случай. Пусть угол FAB — тупой (рис. 27, б). Проведем диаметр СА. Тогда

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    но дуга ВСА лежит внутри тупого угла FAB.

    Свойство пересекающихся хорд. Теорема о касательной и секущей

    Теорема 3 (об отрезках пересекающихся хорд). Если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.
    Какую фигуру можно вписать в окружность

    1) Проведем хорды АС и BD (рис. 28, б). Рассмотрим треугольники АОСи DOB.

    2) Заметим, что Какую фигуру можно вписать в окружностьтак как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу СВ. Кроме того, Какую фигуру можно вписать в окружность, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу AD.

    3) Треугольник АОС подобен треугольнику DOB по первому признаку подобия треугольников, так как Какую фигуру можно вписать в окружностьи Какую фигуру можно вписать в окружность

    4) Из подобия треугольников АОС и DOB следует, что

    Какую фигуру можно вписать в окружность

    Значит, Какую фигуру можно вписать в окружность

    Пусть через точку S, лежащую вне окружности, проведена секущая, которая пересекает окружность в точках С и Б, и SC

    При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

    Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

    Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

    Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

    Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

    💥 Видео

    9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

    9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольник

    Вписанная и описанная окружности.Скачать

    Вписанная и описанная окружности.

    Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

    Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

    Кто нибудь знает при каких условиях в трапецию можно вписать окружность Как описать тест УчителюСкачать

    Кто нибудь знает при каких условиях в трапецию можно вписать окружность Как описать тест Учителю

    Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

    Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика
  • Поделиться или сохранить к себе: