Какие треугольники не являются подобными

Подобные треугольники

Видео:Почему равные треугольники являются подобными?Скачать

Почему равные треугольники являются подобными?

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Какие треугольники не являются подобными

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Какие треугольники не являются подобными

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Какие треугольники не являются подобными II признак подобия треугольников

Какие треугольники не являются подобными

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Какие треугольники не являются подобными

Видео:Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой РепетиторСкачать

Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой Репетитор

Свойства подобных треугольников

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  • Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Какие треугольники не являются подобными
  • Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Видео:Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать

Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | Математика

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Какие треугольники не являются подобными

2. Треугольники Какие треугольники не являются подобнымии Какие треугольники не являются подобными, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия – Какие треугольники не являются подобными

Какие треугольники не являются подобными

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Какие треугольники не являются подобными

Какие треугольники не являются подобными

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

Видео:Подобные треугольники с нуля до ОГЭ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Подобные треугольники с нуля до ОГЭ | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

Признаки подобия и равенства треугольников. Свойства подобных треугольников

Треугольник является самой простой замкнутой фигурой на плоскости. При изучении школьного курса геометрии рассмотрению его свойств уделяют особое внимание. В данной статье раскроем вопрос признаков подобия и равенства треугольников.

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольников

Какие треугольники называются подобными, а какие равными?

Логично предположить, что две рассматриваемые фигуры будут равны между собой, если они имеют все одинаковые углы и длины сторон. Что касается подобия, то здесь дело обстоит немного сложнее. Два треугольника будут подобны тогда, когда каждый угол одного будет равен соответствующему углу другого, а стороны, лежащие напротив равных углов обеих фигур, будут пропорциональны. Ниже изображен рисунок, на котором представлены два подобных треугольника.

Какие треугольники не являются подобными Вам будет интересно: Полемизировать – это значит, спорить правильно

Какие треугольники не являются подобными

Используя этот рисунок, запишем в виде математических равенств данное выше определение: B = G, A = E, C = F, BA / GE = AC / EF = BC / GF = r, здесь одна латинская буква означает угол, а две буквы — длину стороны. Величина r носит название коэффициента подобия. Понятно, что если r = 1, то имеют место не только подобные, но и равные треугольники.

Видео:Решение задач на тему "Подобные треугольники". 8 классСкачать

Решение задач на тему "Подобные треугольники". 8 класс

Признаки подобия

Говоря о свойствах и признаках подобия и равенства треугольников, следует перечислить три основных критерия, по которым можно определить, являются ли рассматриваемые фигуры подобными или нет.

Какие треугольники не являются подобными

Итак, две фигуры будут подобными между собой, если выполняется одно из следующих условий:

  • Их два угла равны. Поскольку сумма углов треугольника эквивалентна 180o, то равенство первых двух из них автоматически означает, что одинаковыми будут и третьи. Используя рисунок выше, этот признак можно записать так: если B = G и A = E, то ABC и GEF являются подобными. Если же в этом случае будут равными хотя бы по одной стороне обоих фигур, тогда можно говорить о полной эквивалентности треугольников.
  • Две стороны пропорциональны и углы между ними одинаковые. Например, BA / GE = AC / EF и A = E, тогда GEF и ABC будут подобными. Заметим, что углы A и E лежат между соответствующими пропорциональными сторонами.
  • Все три стороны взаимно пропорциональны. Излагая математическим языком, получаем: BA / GE = AC / EF = BC / GF = r, тогда рассматриваемые фигуры тоже являются подобными.

    Отметим еще раз, что для доказательства подобия достаточно привести какой-либо один из представленных признаков. Логично, что все остальные будут выполняться также.

    Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

    Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

    Прямоугольные треугольники: когда они подобны, а когда равны?

    Говоря о признаках равенства и подобия прямоугольных треугольников, следует отметить сразу, что у каждого из них по одному углу уже равны (90o).

    Какие треугольники не являются подобными

    Последний факт приводит к следующей формулировке изложенных выше критериев подобия:

  • Если в двух треугольниках прямоугольных равен всего один угол, который не является прямым, то такие фигуры подобны между собой.
  • Если катеты пропорциональны между собой, тогда фигуры тоже будут подобны, поскольку угол между катетами является прямым.
  • Наконец, пропорциональности всего двух любых сторон для обоих прямоугольных треугольников достаточно для доказательства их подобия. Причина этого заключается в том, что стороны данных фигур связаны между собой теоремой Пифагора, поэтому пропорциональность 2-х из них приводит к пропорциональности с аналогичным коэффициентом подобия и для третьих сторон.

    Что касается равенства треугольников с прямыми углами, то здесь просто запомнить: если два каких-либо элемента (прямой угол не считается) обеих фигур равны, то равны и сами фигуры. Например, этими двумя элементами могут быть острый угол и катет, катет и гипотенуза или гипотенуза и острый угол.

    Видео:Подобные треугольникиСкачать

    Подобные треугольники

    Свойства треугольников подобных

    Из рассмотренных признаков подобия и равенства треугольников свойства можно выделить такие:

  • Периметры этих фигур относятся друг к другу как коэффициент подобия, то есть P1 / P2 = r, где P1 и P2 — периметры 1-го и 2-го треугольников, соответственно.
  • Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть: S1 / S2 = r2, где S1 и S2 — площади 1-го и 2-го треугольников, соответственно.

    Оба эти свойства можно доказать самостоятельно. Суть доказательства сводится к применению математической записи подобия между сторонами фигур. Здесь приведем лишь доказательство 1-го свойства.

    Какие треугольники не являются подобными

    Пусть a, b, c — длины сторон одного треугольника и a’, b’, c’ — стороны второго. Поскольку фигуры подобны, то можно записать: a = r * a’, b = r * b’, c = r * c’. Теперь эти выражения подставим в отношении их периметров, получим: P1 / P2 = (a + b + c) / (a’ + b’ + c’) = (r * a’ + r * b’ + r*c’) / (a’ + b’ + c’) = r(a’ + b’ + c’) / (a’ + b’ + c’) = r.

    Видео:Подобные треугольники - 8 класс геометрияСкачать

    Подобные треугольники - 8 класс геометрия

    Пример решения задачи

    Признаки подобия и равенства треугольников можно использовать для решения различных геометрических задач. Ниже приводится один из примеров.

    Имеются два треугольника. У одного из них стороны равны 7,6 см, 4,18 см и 6,65 см, а у другого 3,5 см, 2,2 см и 4 см. Необходимо определить, подобны ли эти фигуры.

    Поскольку даны значения трех сторон, то можно сразу проверить 3-й критерий подобия. Сложность здесь состоит в том, что нужно понять, между какими сторонами брать отношения. Тут следует воспользоваться простыми логическими рассуждениями: коэффициенты подобия могут быть равными, если делить самую маленькую сторону одного треугольника на аналогичную для другого и так далее. Поэтому имеем: 4,18 / 2,2 = 1,9; 6,65 / 3,5 = 1,9; 7,6 / 4 = 1,9. Проверив отношение всех сторон, можно с уверенностью сказать, что треугольники являются подобными, поскольку выполняется 3-й критерий.

    Видео:8 класс Отношение площадей подобных фигурСкачать

    8 класс  Отношение площадей подобных фигур

    Подобные треугольники

    Подобные треугольники — это треугольники, у которых все три угла равны, а все стороны одного треугольника в одно и то же число раз длиннее (или короче) сторон другого треугольника, то есть треугольники подобны если их углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

    Сходственные стороны — это стороны двух треугольников, лежащие против равных углов.

    Рассмотрим два треугольника Какие треугольники не являются подобнымиABC и Какие треугольники не являются подобнымиA1B1C1, у которых ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1:

    Какие треугольники не являются подобными

    Стороны AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1, лежащие напротив равных углов, называются сходственными сторонами. Следовательно, отношения сходственных сторон равны:

    AB=BC=AC= k,
    A1B1B1C1A1C1

    k — это коэффициент подобия ( число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников). Если k = 1, то треугольники равны, то есть равенство треугольников – это частный случай подобия.

    Подобие треугольников обозначается знаком

    : Какие треугольники не являются подобнымиABC

    Какие треугольники не являются подобнымиA1B1C1.

    Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Если обозначить площади двух подобных треугольников буквами S и S1, то:

    S= k 2 .
    S1

    Видео:ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ . §12 геометрия 8 классСкачать

    ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ . §12 геометрия 8 класс

    Первый признак подобия треугольников

    Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.

    Какие треугольники не являются подобными

    то Какие треугольники не являются подобнымиABC

    Какие треугольники не являются подобнымиA1B1C1.

    Видео:8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольниковСкачать

    8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольников

    Второй признак подобия треугольников

    Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

    Какие треугольники не являются подобными

    ЕслиAB=AC, ∠A = ∠A1,
    A1B1A1C1
    то Какие треугольники не являются подобнымиABC

    Какие треугольники не являются подобнымиA1B1C1.

    Видео:Контрольная работа | Геометрия | 8 класс | Подобные треугольники | Подробный разборСкачать

    Контрольная работа | Геометрия | 8 класс | Подобные треугольники | Подробный разбор

    Третий признак подобия треугольников

    Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

    📽️ Видео

    ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

    ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

    Лайфхак. Быстрая пропорция в подобных треугольниках.Скачать

    Лайфхак. Быстрая пропорция в подобных треугольниках.

    Подобные треугольникиСкачать

    Подобные треугольники

    Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

    Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

    №542. В подобных треугольниках ABC и KMN стороны АВ и КМ, ВС и MN являются сходственнымиСкачать

    №542. В подобных треугольниках ABC и KMN стороны АВ и КМ, ВС и MN являются сходственными

    Подобные треугольникиСкачать

    Подобные треугольники
  • Поделиться или сохранить к себе: