Какая часть треугольника закрашена (2 видео)

Мозаика тридиан

Содержание

Задача
Подсказка
Решение
Послесловие
Учитель информатики
Сайт учителя информатики. Технологические карты уроков, Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, полезный материал и многое другое.
Какую часть площадь закрашенного треугольника (рис. 192) составляет от площади треугольника ABD
Ответ
Какая часть треугольника закрашена
🔍 Видео

Видео:Какая часть площади квадрата закрашена?Скачать

Задача

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 1:2, будем называть тридианой. В треугольнике провели все шесть тридиан и закрасили получившиеся при этом части в шахматном порядке (рис. 1). Какая часть треугольника закрашена?

Видео:разбор заданий по математике. Какая часть отрезка закрашенаСкачать

Подсказка

Попытайтесь найти отношения, в которых тридианы делят друг друга. Вспомните теоремы об отношении площадей треугольников из школьного курса геометрии — они непременно помогут.

Видео:Найдите площадь закрашенной фигуры ★ 2 способа решения ★ Задание 3 ЕГЭ профильСкачать

Решение

Сначала докажем несколько вспомогательных утверждений о тридианах.

Будем говорить, что по отношению к стороне (AB) тридианы (AA_1) и (BB_2) — нижние, а тридианы (AA_2) и (BB_1) — верхние (рис. 2); аналогично для двух других сторон треугольника.

Тридианы обладают следующими свойствами:
1) верхние тридианы точкой пересечения делятся в отношении 3:1, считая от вершины;
2) нижние тридианы точкой пересечения делятся в отношении 3:2, считая от вершины;
3) верхняя тридиана делит нижнюю в отношении 6:1, считая от вершины;
4) нижняя тридиана делит верхнюю в отношении 3:4, считая от вершины.

Свойство 1 непосредственно вытекает из подобия треугольников (AOB) и (A_2OB_1): (AB: A_2B_1=3:1), а значит и (AO: OA_2=BO: OB_1=3:1) (рис. 3, слева).

Свойство 2 вытекает из подобия треугольников (AOB) и (A_1OB_2): здесь отношение (AB: A_1B_2) равно 3:2, следовательно, (AO: OA_1=BO: OB_2=3:2) (рис. 3, справа).

Для доказательства свойств 3 и 4 удобно площадь треугольника (ABC) принять за 1, а площади четырех закрашенных на рис. 4 треугольников обозначим (x), (y), (z) и (t).

Очевидно, что площадь треугольника (ABB_1) равна 2/3, поэтому (x+y=2/3). Площадь треугольника (ABA_1) равна 1/3, поэтому (y+z=1/3). Площадь треугольника (A_1BB_1) в 3 раза меньше площади треугольника (ABA_1), потому что у них общее основание (BA_1), а высоты, проведенные к этому основанию, отличаются в 3 раза (это следует из подобия получающихся при построении этих высот прямоугольных треугольников). Значит, площадь треугольника (A_1BB_1) равна 1/9, то есть (z+t=1/9). Кроме этого, треугольники (AB_1O) и (A_1B_1O) имеют общую высоту, поэтому отношение их площадей равно (AO: A_1O). Аналогично, и отношение площадей треугольников (ABO) и (A_1BO) тоже равно (AO: A_1O), значит, верно равенство (x/y=t/z).

(AO: A_1O=y: z=6:1) и (BO: B_1O=y: x=3:4). Свойства 3 и 4 доказаны.

Заметим, что каждая тридиана делится четырьмя другими тридианами на пять отрезков. Зная, в каком отношении тридианы делятся попарно, можно найти, в каком отношении эти пять отрезков делят каждую тридиану (рис. 5).

Проделаем это для тридианы (AA_1). Пусть она имеет длину (m). По отношению к стороне (AC) точка (K) является точкой пересечения нижней и верхней тридиан, поэтому (AK=frac37m). Точка (L) — это точка пересечения нижних тридиан по отношению к стороне (AB), поэтому (AL=frac35m). Значит, (KL=AL-AK=frac6m). Точка (M) — это точка пересечения верхних тридиан по отношению к стороне (AC), поэтому (AM=frac34m). Значит, (LM=AM-AL=fracm). Точка (N) — это точка пересечения нижней и верхней тридиан по отношению к стороне (AB), поэтому (AN=frac67m) и (A_1N=frac17m), значит, (MN=AN-AM=fracm).

Отсюда заключаем, что точки (K), (L), (M) и (N) делят тридиану (AA_1) в отношении (AK: KL: LM: MN: NA_1=frac37:frac:frac:frac:frac17). Приведя дроби к общему знаменателю, получим (AK: KL: LM: MN: NA_1=60:24:21:15:20).

Отметим, что все шесть тридиан точками пересечения с другими тридианами делятся в одинаковых отношениях 60:24:21:15:20. Следовательно, если положить (BB_1=p), то (BN=frac37p) и (FN=frac6p).

Одна из основных формул для вычислении площади треугольника гласит, что площадь равна произведению длин двух сторон на синус угла между ними ((S=absingamma)). Из нее легко следует, что если у двух треугольников есть равные углы, то их площади относятся так же, как произведения сторон, заключающих равные углы. Этот факт нам сейчас очень поможет, — применив его несколько раз, можно найти площади всех треугольников на рис. 6.

Покажем, например, как найти площадь треугольника (MNF). Для удобства на рисунке рядом с концом каждой тридианы в скобках указано обозначение ее длины. Треугольники (MNF) и (A_1BN) имеют равные вертикальные углы, а значит, их площади относятся так:

С помощью этого же факта покажем, что треугольники (MNF) и (DEF) равновелики. Найдем отношение их площадей, учитывая, что и они имеют равные вертикальные углы:

Аналогичными выкладками можно доказать, что и все остальные оранжевые треугольники на рис. 6 имеют одинаковую площадь. Получаем, что все они равновелики и их площадь равна 1/70 (за единицу, напомню, мы приняли площадь треугольника (ABC)).

Все из того же факта следует и то, что площади треугольников (DEF) и (A_2CD) связаны друг с другом так же, как и площади треугольников (MNF) и (A_1BN). Более того, это же верно и для остальных пар желтых и оранжевых треугольников, у которых есть вертикальные углы. Отсюда следует, что все желтые треугольники на рис. 6 тоже равновелики, их площадь равна (S_=frac).

Теперь можно найти сумму площадей всех желтых и оранжевых треугольников: она равна (6cdotfrac1+6cdotfrac=frac).

Искомая площадь является дополнением найденной желто-оранжево площади, поэтому она равна (1-frac=frac). Это и есть доля площади, которая закрашена.

Видео:Найдите площадь закрашенной части полукругаСкачать

Послесловие

Площадь синей части треугольника мы нашли, не вычисляя площадей закрашенных четырехугольников, пятиугольников и шестиугольника. А что, если найти их?

Начнем с центрального шестиугольника, но прежде отметим, что все шесть тридиан точками пересечения с другими тридианами делятся в одинаковых отношениях, поэтому части треугольника, закрашенные одним цветом на рис. 7, равновелики.

Обратим внимание на центральный треугольник розового цвета, образованный тремя тридианами (AA_1), (BB_1), (CC_1) (рис. 8, слева). Пусть его площадь равна (S). Нетрудно убедиться, что площади незакрашенных (белых) четырехугольников одинаковы. Обозначим их (d). Тогда, учитывая, что площадь треугольника (BCC_1) в 2 раза больше площади треугольника (ACC_1), можем записать равенство (S+2d+z=2(d+2z)), упростив которое получим (S=3z). То есть площадь розового треугольника равна сумме площадей желтых треугольников: (S=3cdot=frac17).

Таким образом мы доказали замечательный факт, который является частным случаем теоремы Рауса. В англоязычной литературе треугольник, образованный пересечением соответственных тридиан, так и называют — one-seventh area triangle. То, что он занимает одну седьмую от площади исходного треугольника, можно доказать и (почти) без вычислений. Достаточно взглянуть на рис. 9, чтобы убедиться в истинности этого факта (одинаковыми цифрами обозначены равные треугольники).

Если теперь из площади розового треугольника вычесть площади трех оранжевых треугольников, то получим площадь центрального шестиугольника (рис. 8, справа): она равна 1/10. Это — не менее замечательный факт, который в 1993 году был представлен математическому сообществу математиком Мэрион Уолтер (Marion Walter), и сформулирован в форме теоремы: площадь центрального шестиугольника, определяемого тридианами произвольного треугольника, равна 1/10 площади этого треугольника.

У меня к этому факту особое отношение. Дело в том, что в далеком 1994 году мне тоже удалось обнаружить эту геометрическую изюминку. В форме задачи я предложил ее научно-методической комиссии, которая занимается отбором задач на финал Всероссийской математической олимпиады школьников. Я был почти уверен, что такая красивая задача обязательно пройдет отбор, но ее отклонили. Руководитель комиссии Н. Х. Агаханов объяснил мне, что задача отличная, но, к сожалению, уже известная — на тот момент публикация о теореме Мэрион (ее обычно именно так называют — по имени автора) уже вышла (A. Cuoco et al., 1993. Marion’s theorem). Вот так я опоздал, и не стал обладателем именной теоремы в геометрии, но рад за свою коллегу из США.

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Учитель информатики

Видео:Геометрическая головоломка. Какая часть большого круга закрашена?Скачать

Сайт учителя информатики. Технологические карты уроков, Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, полезный материал и многое другое.

Видео:Площадь фигурыСкачать

Какую часть площадь закрашенного треугольника (рис. 192) составляет от площади треугольника ABD

§ 25. Понятие обыкновенной дроби

697. Какую часть площадь закрашенного треугольника (рис. 192) составляет от площади: 1) треугольника ABD

Ответ

1) треугольника ABD — 1/4 часть

2) четырёхугольника ABCD — 1/8 часть

3) четырёхугольника АВСЕ — 1/12 часть

Видео:Как найти площадь закрашенной фигуры? Несложная геометрическая задачаСкачать

Какая часть треугольника закрашена

Ответ:

Объяснение:

Площадь треугольника можно вычислить по следующей формуле:

1) Обозначим площадь закрашенного ∆-ка S1 (см. рис.1)

Очевидно, т.к. точки делят стороны «единичного» ∆ка на равные отрезки, а угол у единичного и у малого треугольника общий, то

и площадь S1 равна

2) Пусть площадь закрашенной фигуры (а это — треугольник, см. рис.) равна S1.

Тогда площадь исходного единичного треугольника будет равна:

площадь S1, плюс общая площадь трех незакрашенных треугольников (обозначим их площади S2, S3, S4); а с учетом того, что площадь единичного треугольника равна 1:

Треугольники 2, 3, 4 — образованы точно так же, как и треугольник в первой части задачи и соответственно их площади вычисляются точно так же:

Соответственно, искомая площадь составляет

3) Пусть площадь закрашенной фигуры (а это — шестиугольник, см. рис.) равна S1

Тогда площадь исходного единичного треугольника будет равна:

площадь S1, плюс общая площадь трех незакрашенных треугольников (пусть их площади будут S2, S3, S4); а с учетом того, что площадь единичного треугольника равна 1:

Площади треугольников 2, 3 — образованы точно так же, как и треугольник в первой части задачи и соответственно их площади вычисляются точно так же:

Но площадь треугольника 4 меньше: у него две стороны втрое меньше чем у исходного единичного, потому его площадь равна:

Следовательно, общая площадь незакрашенных частей равна:

А искомая площадь закрашенной фигуры S1 составляет