Как взять двойной интеграл по окружности

Вычисление двойных интегралов: теория и примеры
Содержание
  1. Что значит вычислить двойной интеграл?
  2. Сведение двойного интеграла к повторному
  3. Случай прямоугольной области
  4. Случай криволинейной или треугольной области
  5. Вычислить двойной интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение
  6. x-правильная и неправильная, y-правильная и неправильная области интегрирования
  7. Смена порядка интегрирования
  8. Вычисление площади и объёма с помощью двойных интегралов
  9. Так что же такое двойной интеграл?
  10. Двойной интеграл с примерами решения и образцами выполнения
  11. Геометрический и физический смысл двойного интеграла
  12. Масса плоской пластинки
  13. Основные свойства двойного интеграла
  14. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
  15. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
  16. Приложения двойного интеграла
  17. Объем тела
  18. Площадь плоской фигуры
  19. Масса плоской фигуры
  20. Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры
  21. Моменты инерции плоской фигуры
  22. Двойной интеграл
  23. Как взять двойной интеграл по окружности
  24. 💡 Видео

Видео:Двойной интеграл / Как находить двойной интеграл через повторный (двукратный) / Два способаСкачать

Двойной интеграл / Как находить двойной интеграл через повторный (двукратный) / Два способа

Что значит вычислить двойной интеграл?

Двойные интегралы – это обобщение понятия определённого интеграла для функции двух переменных, заданной как z = f(x, y) .

Записывается двойной интеграл так:

Как взять двойной интеграл по окружности.

Здесь D – плоская фигура, ограниченная линиями, выражения которых (равенства) даны в задании вычисления двойного интеграла. Слева и справа – равенствами, в которых слева переменная x , а сверху и снизу – равенствами, в которых слева переменная y . Это место и далее – одно из важнейших для понимания техники вычисления двойного интеграла.

Вычислить двойной интеграл — значит найти число, равное площади упомянутой фигуры D .

Пока мы не касаемся определения двойного интеграла, а будем учиться его вычислять. Понять, что такое двойной интеграл, проще, когда решены несколько задач на его вычисление, поэтому определение двойного интеграла вы найдёте в конце этого урока. Чуть забегая вперёд, можно лишь отметить, что определение двойного интеграла также связано с упоминавшейся фигурой D .

В случае если фигура D представляет собой прямоугольник, все линии, ограничивающие её – это прямые линии. Если фигура D — криволинейна, то слева и справа она ограничена прямыми, а сверху и снизу – кривыми линиями, заданными равенствами, которые даны в задании. Бывают и случаи, когда фигура D – треугольник, но о таких случаях чуть дальше.

Для вычисления двойного интеграла нужно, таким образом, рассортировать линии, огранивающие фигуру D , которая имеет строгое название – область интегрирования. Рассортировать на левые и правые и на верхние и нижние. Это потребуется при сведении двойного интеграла к повторному интегралу – методе вычисления двойного интеграла.

Случай прямоугольной области:

Как взять двойной интеграл по окружности

Случай криволинейной области:

Как взять двойной интеграл по окружности

А это уже решение знакомых нам определённых интегралов, в которых заданы верхний и нижний пределы интегрирования. Выражения, задающие линии, которые ограничивают фигуру D , будут пределами интегрирования для обычных определённых интегралов, к которым мы уже подходим.

Видео:Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатах

Сведение двойного интеграла к повторному

Случай прямоугольной области

Пусть дана функция двух переменных f(x, y) и ограничения для D : D = <(x; y) | axb; cyd> , означающие, что фигуру D слева и справа ограничивают прямые x = a и x = b , а снизу и сверху — прямые y = c и y = d . Здесь a, b, c, d — числа.

Пусть для такой функции существует двойной интеграл

Как взять двойной интеграл по окружности.

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид

Как взять двойной интеграл по окружности.

Здесь пределы интегрирования a, b, c, d — числа, о которых только что упоминалось.

Сначала нужно вычислять внутренний (правый) определённый интеграл, затем — внешний (левый) определённый интеграл.

Можно и поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид

Как взять двойной интеграл по окружности.

Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала — внутренний (правый) интеграл, затем — внешний (левый).

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

Как взять двойной интеграл по окружности,

Как взять двойной интеграл по окружности.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

Как взять двойной интеграл по окружности.

На чертеже строим область интегрирования:

Как взять двойной интеграл по окружности

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая игрек константой. Пользуемся формулой 7 из таблицы интегралов. Получаем.

Как взять двойной интеграл по окружности.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого), пользуясь для каждого слагаемого той же формулой 7:

Как взять двойной интеграл по окружности

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл

Как взять двойной интеграл по окружности,

Как взять двойной интеграл по окружности.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

Как взять двойной интеграл по окружности.

На чертеже строим область интегрирования:

Как взять двойной интеграл по окружности

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

Как взять двойной интеграл по окружности

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Как взять двойной интеграл по окружности

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Случай криволинейной или треугольной области

Пусть снова дана функция двух переменных f(x, y) , а ограничения для D : уже несколько другого вида:

Как взять двойной интеграл по окружности.

Эта запись означает, что фигуру D слева и справа ограничивают, как и в случае прямолинейной области — прямые x = a и x = b , но снизу и сверху — кривые, которые заданы уравнениями Как взять двойной интеграл по окружностии Как взять двойной интеграл по окружности. Иными словами, Как взять двойной интеграл по окружностии Как взять двойной интеграл по окружности— функции.

Пусть для такой функции также существует двойной интеграл

Как взять двойной интеграл по окружности.

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид

Как взять двойной интеграл по окружности.

Здесь пределы интегрирования a и b — числа, а Как взять двойной интеграл по окружностии Как взять двойной интеграл по окружности— функции. В случае треугольной области одна из функций Как взять двойной интеграл по окружностиили Как взять двойной интеграл по окружности— это уравнение прямой линии. Такой случай будет разобран в примере 3.

Как и в случае прямолинейной области, сначала нужно вычислять правый определённый интеграл, затем — левый определённый интеграл.

Точно так же можно поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид

Как взять двойной интеграл по окружности.

Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала — внутренний (правый) интеграл, затем — внешний (левый).

Пример 3. Вычислить двойной интеграл

Как взять двойной интеграл по окружности,

Как взять двойной интеграл по окружности.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

Как взять двойной интеграл по окружности.

На чертеже строим область интегрирования и видим, что она треугольная:

Как взять двойной интеграл по окружности

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

Как взять двойной интеграл по окружности

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого). Сначала представляем этот интеграл в виде суммы интегралов:

Как взять двойной интеграл по окружности.

Вычисляем первое слагаемое:

Как взять двойной интеграл по окружности

Вычисляем второе слагаемое:

Как взять двойной интеграл по окружности

Вычисляем третье слагаемое:

Как взять двойной интеграл по окружности

Получаем сумму, которая и будет решением данного двойного интеграла:

Как взять двойной интеграл по окружности.

Пример 4. Вычислить двойной интеграл

Как взять двойной интеграл по окружности,

Как взять двойной интеграл по окружности.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

Как взять двойной интеграл по окружности.

На чертеже строим область интегрирования:

Как взять двойной интеграл по окружности

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

Как взять двойной интеграл по окружности.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Как взять двойной интеграл по окружности

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Видео:Двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Двойной интеграл в полярных координатах

Вычислить двойной интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Вычислить двойной интеграл

Как взять двойной интеграл по окружности,

если область D ограничена прямыми

Как взять двойной интеграл по окружности.

Пример 6. Вычислить двойной интеграл

Как взять двойной интеграл по окружности,

если область D ограничена прямыми

Как взять двойной интеграл по окружности.

Видео:Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатамСкачать

Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатам

x-правильная и неправильная, y-правильная и неправильная области интегрирования

Случается, область интегрирования двойного интеграла ограничена такими линиями, что возникает необходимость разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно. Это случаи, когда:

1) область интегрирования представляет собой фигуру, имеющую в виде нижней или верхней (левой или правой) границы две или более двух прямых или кривых линий;

2) область интегрирования представляет собой фигуру, границу которой прямые пересекают более чем в двух точках.

Если вышесказанное относится к левой или правой границе области интегрирования, то есть ограничениях, заданных линиями, выраженными через x, то область интегрирования называется x-неправильной. Если же прямая y = y 0 пересекает соответствующую границу лишь в одной точке и если границей служит лишь одна прямая или кривая, то область интегрирования называется x-правильной

Аналогично, если границу, заданную линиями, выраженными через y, прямая x = x 0 пересекает более чем в одной точке или если границей служат более одной прямой или кривой, то область интегрирования называется y-неправильной. Вывести теперь признаки y-правильной области, надо полагать, совсем просто.

До сих пор мы рассматривали примеры с x-неправильными и y-правильными областями интегрирования. Теперь рассмотрим случаи, когда условие правильности нарушается.

Пример 7. Вычислить двойной интеграл Как взять двойной интеграл по окружности, область интегрирования которого ограничена линиями y = x , xy = 1 , y = 2 .

Как взять двойной интеграл по окружности

Решение. Область интегрирования является y-неправильной, так как её нижнюю границу нельзя задать одной линией y = y(x) . Как видно на рисунке выше, нижняя граница складывается из y = x (тёмно-бордовая) и xy = 1 (зелёная). Поэтому прямой x = 1 (чёрная) можем разбить область интегрирования на две части — Как взять двойной интеграл по окружностии Как взять двойной интеграл по окружности.

Вычисляется этот двойной интеграл так:

Как взять двойной интеграл по окружности

Видео:Математика без ху!ни. Двойные интегралы. Часть1. Как вычислять.Скачать

Математика без ху!ни. Двойные интегралы. Часть1. Как вычислять.

Смена порядка интегрирования

Как уже отмечалось выше, после приведения двойного интеграла к повторному интегралу, можно поменять переменные x и y ролями, или, говоря иначе, поменять порядок интегрирования.

Смена порядка интегрирования образно может быть описана следующими словами О’Генри: «Так ведёт себя обитатель джунглей — зверь, попав в клетку, и так ведёт себя обитатель клетки — человек, заблудившись в джунглях сомнений». Результат, так же по О’Генри один и тот же: «Чалмерс разорвал письмо на тысячу мельчайших клочков и принялся терзать свой дорогой ковёр, расхаживая по нему взад и вперёд». (О’Генри. Шехерезада с Мэдисон-сквера.)

Тогда, если левый интеграл у нас по переменной x, а правый — по y, то после смены порядка интегрирования всё будет наоборот. Тогда пределы интегрирования для «нового» игрека нужно «позаимствовать» у «старого» икса, а пределы интегрирования для «нового» икса получить в виде обратной функции, разрешив относительно икса уравнение, задававшее предел для игрека.

Пример 8. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

Как взять двойной интеграл по окружности.

Решение. После смены порядка интегрирования интеграл по игреку станет левым, а интеграл по иксу — правым. Пределы интегрирования для «нового» игрека позаимствуем у «старого» икса, то есть нижний предел равен нулю, а верхний — единице. Пределы интегрирования для «старого» игрека заданы уравнениями Как взять двойной интеграл по окружностии Как взять двойной интеграл по окружности. Разрешив эти уравнения относительно икса, получим новые пределы интегрирования для икса:

Как взять двойной интеграл по окружности(нижний) и Как взять двойной интеграл по окружности(верхний).

Таким образом, после смены порядка интегрирования повторный интеграл запишется так:

Как взять двойной интеграл по окружности.

После смены порядка интегрирования в двойном интеграле нередко область интегрирования превращается в y-неправильную или x-неправильную (см. предыдущий параграф). Тогда требуется разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно.

Поскольку разбиение области интегрирования на части представляет определённые трудности для многих студентов, то не ограничимся примером, приведённым в предыдущем параграфе, а разберём ещё пару примеров.

Пример 9. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

Как взять двойной интеграл по окружности.

Решение. Итак, область интегрирования данного повторного интеграла ограничена прямыми y = 1 , y = 3 , x = 0 , x = 2y .

При интегрировании в другом порядке нижняя граница области состоит из двух прямых: AB и BC , которые заданы уравнениями y = 1 и y = x/2 , что видно на рисунке ниже.

Как взять двойной интеграл по окружности

Выход из такой неопределённости состоит в разбиении области интегрирования на две части. Делить область интегрирования будет прямая . Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию. Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет равным сумме двух интегралов:

Как взять двойной интеграл по окружности

Естественно, таким же будет решение двойного интеграла, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.

Пример 10. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

Как взять двойной интеграл по окружности.

Решение. Итак, область интегрирования повторного интеграла ограничена прямыми x = 0 , x = 2 и кривыми Как взять двойной интеграл по окружностии Как взять двойной интеграл по окружности.

Как видно на рисунке ниже, прямая, параллельная оси 0x , будет пересекать нижнюю границу области интегрирования более чем в двух точках.

Как взять двойной интеграл по окружности

Поэтому разобьём область интегрирования на три части прямыми, которые на рисунке начерчены чёрным. Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию. Пределы для трёх новых областей интегрирования будут следующими.

Для Как взять двойной интеграл по окружности:

Как взять двойной интеграл по окружности

Для Как взять двойной интеграл по окружности:

Как взять двойной интеграл по окружности

Для Как взять двойной интеграл по окружности:

Как взять двойной интеграл по окружности

Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет равным сумме трёх интегралов:

Как взять двойной интеграл по окружности

Той же сумме трёх интегралов будет равен и двойной интеграл, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.

И всё же обстоятельства непреодолимой силы нередко мешают студентам уже на предыдущем шаге — расстановке пределов интегрирования. Тревога и смятение не лишены некоторого основания: если для разбиения области интегрирования на части обычно достаточно приглядеться к чертежу, а для решения повторного интеграла — таблицы интегралов, то в расстановке пределов интегрирования нужен некоторый опыт тренировок. Пробежим пример, в котором остановимся только на расстановке пределов интегрирования и — почти на автомате — на разбиении области и опустим само решение.

Пример 11. Найти пределы интегрирования двойного интеграла, если область интегрирования D задана следующим образом:

Решение. В явном виде (через x и y «без примесей») линии, ограничивающие область интегрирования, не заданы. Так как для икса ими чаще всего оказываются прямые, касающиеся в одной точке верхней и нижней границ, выраженных через игрек, то пойдём именно по этому пути. Тем более, что при смене порядка интегирования мы получим область интегрирования с такой же площадью. Разрешим неравенства относительно игрека и получим:

Строим полученные линии на чертёже. Пределами интегрирования по иксу действительно служат линии x = 0 и x = 2 . Но область интегрирования оказалась y-неправильной, так как её верхнюю границу нельзя задать одной линией y = y(x) .

Как взять двойной интеграл по окружности

Поэтому разобьём область интегрирования на две части при помощи прямой x = 1 (на чертеже — чёрного цвета).

Теперь данный двойной интеграл можем записать как сумму двух повторных интегралов с правильно расставленными пределами интегрирования:

Как взять двойной интеграл по окружности.

Видео:Объем через двойной интегралСкачать

Объем через двойной интеграл

Вычисление площади и объёма с помощью двойных интегралов

В этом параграфе даны примеры, в которых двойной интеграл равен отрицательному числу. Но, как отмечалось в теоретической справке в начале урока, площадь области интегрирования равна самому двойному интегралу. А если двойной интеграл — отрицательное число, то площадь равна его модулю.

Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла имеет более универсальный характер, чем вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определённого интеграла. С помощью двойного интеграла можно вычислять площади не только криволинейной трапеции, но и фигур, расположенных произвольно по отношению к к координатным осям.

Пример 12. Вычислить площадь области, ограниченной линиями y² = x + 1 и x + y = 1 .

Решение. Область интегрирования представляет собой фигуру, ограниченную слева параболой y² = x + 1 , а справа прямой y = 1 — x . (рисунок ниже).

Как взять двойной интеграл по окружности

Решая как систему уравнения этих линий, получаем точки их пересечения: Как взять двойной интеграл по окружности. Ординаты этих точек — — 2 и 1 будут соответственно нижним и верхним пределами интегрирования по игреку. Итак, площадь фигуры найдём как двойной интеграл, сведённый к повторному:

Как взять двойной интеграл по окружности.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл:

Как взять двойной интеграл по окружности.

Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Как взять двойной интеграл по окружности

Как видим, решение двойного интеграла — отрицательное число. За площадь данной плоской фигуры принимается модуль этого числа, то есть 4/9.

Объём криволинейного цилиндра, ограниченного сверху поверхностью Как взять двойной интеграл по окружности, снизу плоскостью z = 0 и с боковых сторон цилиндрической поверхностью, у которой образующие параллельны оси 0z , а направляющей служит контур области, вычисляется также по формуле двойного интеграла. То есть, с помощью двойного интеграла можно вычислять объёмы тел.

Пример 13. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями x = 0 , y = 0 , z = 0 и x + y + z = 1 (рисунок ниже).

Как взять двойной интеграл по окружности

Расставляя пределы интегрирования, получаем следующий повторный интеграл:

Как взять двойной интеграл по окружности.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл:

Как взять двойной интеграл по окружности.

Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Как взять двойной интеграл по окружности

Вновь видим, что решение двойного интеграла — отрицательное число. За объём данного тела принимается модуль этого числа, то есть 1/6.

Видео:Изменение порядка интегрирования в повторном интегралеСкачать

Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле

Так что же такое двойной интеграл?

Мы уже знаем, что представляет собой область D. Пусть z = f(x, y) — некоторая функция двух переменных, определённая и ограниченная в этой области. Разобъём область D произвольно на n частей, не имеющих общих точек, с площадями Как взять двойной интеграл по окружности. В каждой из этих частей выберем произвольную точку Как взять двойной интеграл по окружностии составим сумму

Как взять двойной интеграл по окружности,

которую назовём интегральной суммой. Диаметром области D условимся называть наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Учитывается также наибольший из диаметров частичных областей.

Определение. Если интегральная сумма при неограниченном возрастании числа n разбиений области D и стремлении наибольшего из диаметров частичных областей к нулю имеет предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.

Если областью интегрирования является окружность или часть окружности, то двойной интеграл проще вычислить в полярных координатах. Обобщением понятия двойного интеграла для функции трёх переменных является тройной интеграл.

Видео:Математический анализ, 41 урок, Вычисление двойных интеграловСкачать

Математический анализ, 41 урок, Вычисление двойных интегралов

Двойной интеграл с примерами решения и образцами выполнения

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Пусть в замкнутой обласКак взять двойной интеграл по окружностити D плоскости Оху задана непрерывная функция z = f(x;y). Разобьем область D на п «элементарных областей» Как взять двойной интеграл по окружностиплощади которых обозначим через Как взять двойной интеграл по окружностиа диаметры (наибольшее расстояние между точками области) — через Как взять двойной интеграл по окружности(см. рис. 214).

Как взять двойной интеграл по окружности

В каждой области Как взять двойной интеграл по окружностивыберем произвольную точку Как взять двойной интеграл по окружностиумножим значение Как взять двойной интеграл по окружностифункции в этой точке на Как взять двойной интеграл по окружностии составим сумму всех таких произведений:

Как взять двойной интеграл по окружности

Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x; у) в области D.

Рассмотрим предел интегральной суммы (53.1), когда п стремится к бесконечности таким образом, что Как взять двойной интеграл по окружностиЕсли этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области D и обозначается

Как взять двойной интеграл по окружности

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

Как взять двойной интеграл по окружности

В этом случае функция f(x;y) называется интегрируемой в области D; Dобласть интегрирования; х и у — переменные интегрирования; dx dy (или dS) — элемент площади.

Для всякой ли функции f(x; у) существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь без доказательства.

Теорема:

Достаточное условие интегрируемости функции. Если функция z = f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.

Замечания:

  1. Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.
  2. Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в области D функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область D на площадки прямыми, параллельными координатным осям (см. рис. 215). При этом Как взять двойной интеграл по окружностиравенство (53.2) можно записать в виде

Как взять двойной интеграл по окружностиКак взять двойной интеграл по окружности

Как взять двойной интеграл по окружности

Видео:18. Признаки сравнения несобственных интегралов 2 рода (первый признак)Скачать

18. Признаки сравнения несобственных интегралов 2 рода (первый признак)

Геометрический и физический смысл двойного интеграла

Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу. Объем цилиндрического тела

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностьюКак взять двойной интеграл по окружности, снизу — замкнутой областью D плоскости Оху, с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см. рис. 216). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности z = f(x; у) на плоскость Оху) произвольным образом на п областей Как взять двойной интеграл по окружности, площади которых равны A Как взять двойной интеграл по окружностиРассмотрим цилиндрические столбики с основаниями ограниченные сверху кусками поверхности z = f(x;y) (на рис. 216 один из них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием Как взять двойной интеграл по окружностичерез Как взять двойной интеграл по окружности, получим

Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности

Возьмем на каждой площадке Di произвольную точку Как взять двойной интеграл по окружностии заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием Как взять двойной интеграл по окружностии высотой Как взять двойной интеграл по окружностиОбъем этого цилиндра приближенно равен объему Как взять двойной интеграл по окружностицилиндрического столбика, т. е. Как взять двойной интеграл по окружностиТогда получаем:

Как взять двойной интеграл по окружности

Это равенство тем точнее, чем больше число п и чем меньше размеры «элементарных областей» Как взять двойной интеграл по окружности,. Естественно принять предел суммы (53.3) при условии, что число площадок Как взять двойной интеграл по окружностинеограниченно увеличивается Как взять двойной интеграл по окружностиа каждая площадка стягивается в точку Как взять двойной интеграл по окружностиза объем V цилиндрического тела, т. е.

Как взять двойной интеграл по окружности

или, согласно равенству (53.2),

Как взять двойной интеграл по окружности

Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

Масса плоской пластинки

Требуется найти массу m плоской пластинки D. зная, что ее поверхностная плотность Как взять двойной интеграл по окружностиесть непрерывная функция координат точки (х; у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей Как взять двойной интеграл по окружностиплощади которых обозначим через Как взять двойной интеграл по окружности. В каждой области Как взять двойной интеграл по окружностивозьмем произвольную точку Как взять двойной интеграл по окружностии вычислим плотность в ней: Как взять двойной интеграл по окружности

Если области D, достаточно малы, то плотность в каждой точке Как взять двойной интеграл по окружностимало отличается от значения Как взять двойной интеграл по окружностиСчитая приближенно плотность в каждой точке области Как взять двойной интеграл по окружностипостоянной, равной Как взять двойной интеграл по окружности, можно найти ее массу Как взять двойной интеграл по окружностиТак как масса m всей пластинки D равна Как взять двойной интеграл по окружностиДля ее вычисления имеем приближенное равенство

Как взять двойной интеграл по окружности

Точное значение массы получим как предел суммы (53.5) при условии Как взять двойной интеграл по окружности

Как взять двойной интеграл по окружности

или, согласно равенству (53.2),

Как взять двойной интеграл по окружности

Итак, двойной интеграл от функции Как взять двойной интеграл по окружностичисленно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию Как взять двойной интеграл по окружностисчитать плотностью этой пластинки в точке (х; у). В этом состоит физический смысл двойного интеграла.

Видео:Топ метод вычисления интегралов. Формула интегрирования по частям. Высшая математикаСкачать

Топ метод вычисления интегралов. Формула интегрирования по частям. Высшая математика

Основные свойства двойного интеграла

Можно заметить, что процесс построения интеграла в области D дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла функции одной переменной на отрезке (см. § 35). Аналогичны и свойства этих интегралов и их доказательства (см. § 38). Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми.

Как взять двойной интеграл по окружности

3.Если область D разбить линией на две области Как взять двойной интеграл по окружноститакие, что Как взять двойной интеграл по окружностиа пересечение Как взять двойной интеграл по окружностисостоит лишь из линии, их разделяющей (см. рис. 217), то

Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности

4.Если в области D имеет место неравенство Как взять двойной интеграл по окружностито и Как взять двойной интеграл по окружностиЕсли в области D функции f(x;y) и Как взять двойной интеграл по окружностиудовлетворяют неравенству Как взять двойной интеграл по окружностито и

Как взять двойной интеграл по окружности

6.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой Как взять двойной интеграл по окружности— соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D.

7.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точкаКак взять двойной интеграл по окружности, что Как взять двойной интеграл по окружностиВеличину

Как взять двойной интеграл по окружности

называют средним значением функции f(x; у) в области D.

Видео:Площадь круга через интегралСкачать

Площадь круга через интеграл

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл Как взять двойной интеграл по окружностигде функция Как взять двойной интеграл по окружностинепрерывна в области D. Тогда, как это было показано в п. 53.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x;y). Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. (41.6)) было показано, что

Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности

где S(x) — площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, а х = а, х = b — уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.

Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми x = a и x = b и кривымиКак взять двойной интеграл по окружности, причем функции Как взять двойной интеграл по окружностинепрерывны и таковы, что Как взять двойной интеграл по окружностидля всех Как взять двойной интеграл по окружности(см. рис. 218). Такая область называется правильной в направлении оси Оу: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух точках.

Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси Как взять двойной интеграл по окружности

Как взять двойной интеграл по окружности

В сечении получим криволинейную трапецию ABCD, ограниченную линиями

Как взять двойной интеграл по окружности

Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла

Как взять двойной интеграл по окружности

Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:

Как взять двойной интеграл по окружности

С другой стороны, в п. 53.2 было доказано, что объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции Как взять двойной интеграл по окружностипо области D. Следовательно,

Как взять двойной интеграл по окружности

Это равенство обычно записывается в виде

Как взять двойной интеграл по окружности

Формула (53.7) представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы (53.7) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции f(x;y) по области D. При этом Как взять двойной интеграл по окружностиназывается внутренним интегралом.

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.

Если же область D ограничена прямыми Как взять двойной интеграл по окружностикривыми

Как взять двойной интеграл по окружности

для всех Как взять двойной интеграл по окружностит. е. область Dправильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело плоскостью у = const, аналогично получим:

Как взять двойной интеграл по окружности

Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем у постоянным.

Замечания:

  1. Формулы (53.7) и (53.8) справедливы и в случае, когдаКак взять двойной интеграл по окружности
  2. Если область D правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (53.7), так и по формуле (53.8).
  3. Если область D не является правильной ни «по x», ни «по у», то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении осиОх или оси Оу.
  4. Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.

Пример:

Вычислить Как взять двойной интеграл по окружностигде область D ограничена линиями уКак взять двойной интеграл по окружности

Как взять двойной интеграл по окружности

Решение:

На рисунке 220 изображена область интегрирования D. Она правильная в направлении оси Ох. Для вычисления данного двойного интеграла воспользуемся формулой (53.8):

Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности

Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла можно воспользоваться формулой (53.7). Но для этого область D следует разбить на две области: Как взять двойной интеграл по окружности. Получаем:

Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности

Ответ, разумеется, один и тот же.

Видео:Двойные интегралы в полярных координатахСкачать

Двойные интегралы в полярных координатах

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного интеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.

Определим преобразование независимых переменных х и у (замену переменных) как

Как взять двойной интеграл по окружности

Если функции (53.9) имеют в некоторой области D* плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

Как взять двойной интеграл по окружности

а функция f(х; у) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:

Как взять двойной интеграл по окружности

Функциональный определитель (53.10) называется определителем Якоби или якобианом (Г. Якоби — немецкий математик). Доказательство формулы (53.11) не приводим.

Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат х и у полярными координатами Как взять двойной интеграл по окружности

В качестве инь возьмем полярные координаты Как взять двойной интеграл по окружностиОни связаны с декартовыми координатами формулами Как взять двойной интеграл по окружности(см. п. 9.1).

Правые части в этих равенствах — непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется из (53.10) как

Как взять двойной интеграл по окружности

Формула замены переменных (53.11) принимает вид:

Как взять двойной интеграл по окружности

где D* — область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если

область D* имеет вид, изображенный на рисунке 221 (ограничена лучами Как взять двойной интеграл по окружностии кривыми Как взять двойной интеграл по окружностигде Как взять двойной интеграл по окружностит. е. область D* правильная: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть формулы (53.12) можно записать в виде

Как взять двойной интеграл по окружности

Внутренний интеграл берется при постоянном Как взять двойной интеграл по окружности

Как взять двойной интеграл по окружности

Замечания:

  1. Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид Как взять двойной интеграл по окружностиобласть Dесть круг, кольцо или часть таковых.
  2. На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены Как взять двойной интеграл по окружностиуравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области D в область D* не выполняют, а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по Как взять двойной интеграл по окружности(исследуя закон изменения Как взять двойной интеграл по окружноститочки Как взять двойной интеграл по окружностипри ее отождествлении с точкой (х; у) области D).

Пример:

Вычислить Как взять двойной интеграл по окружностигде область D — круг Как взять двойной интеграл по окружности

Решение: Применив формулу (53.12), перейдем к полярным координатам:

Как взять двойной интеграл по окружности

Область D в полярной системе координат определяется неравенствами (см. рис. 222) Как взять двойной интеграл по окружностиЗаметим: область D —круг — преобразуется в область D* — прямоугольник. Поэтому, согласно формуле (53.13), имеем:

Как взять двойной интеграл по окружности

Видео:Перейти к полярным координатам в двойном интегралеСкачать

Перейти к полярным координатам в двойном интеграле

Приложения двойного интеграла

Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.

Объем тела

Как уже показано (п. 53.2), объем цилиндрического тела находится по формуле

Как взять двойной интеграл по окружности

где z = f(x;y) — уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

Площадь плоской фигуры

Если положить в формуле (53.4) f(x;y) = 1, то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой Н = 1. Объем такого цилиндра, как известно, численно равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади S области D:

Как взять двойной интеграл по окружности

или, в полярных координатах,

Как взять двойной интеграл по окружности

Масса плоской фигуры

Как уже показано (п. 53.2), масса плоской пластинки D с переменной плотностью Как взять двойной интеграл по окружностинаходится по формуле

Как взять двойной интеграл по окружности

Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры

Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу (см. п. 41.6) могут быть вычислены по формулам

Как взять двойной интеграл по окружности

а координаты центра масс фигуры по формулам

Как взять двойной интеграл по окружности

Моменты инерции плоской фигуры

Моментом инерции материальной точки массы m относительно оси l называется произведение массы m на квадрат расстояния d точки до оси, т. е. Как взять двойной интеграл по окружностиМоменты инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам:

Как взять двойной интеграл по окружности

Момент инерции фигуры относительно начала координат — по формуле Как взять двойной интеграл по окружности

Замечание:

Приведенными примерами не исчерпывается применение двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного интеграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п. 57.3).

Пример:

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

Как взять двойной интеграл по окружности

Решение: Данное тело ограничено двумя параболоидами (см. рис. 223). Решая систему

Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности

находим уравнение линии их пересечения:

Как взять двойной интеграл по окружности

Искомый объем равен разности объемов двух цилиндрических тел с одним основанием (круг Как взять двойной интеграл по окружности) и ограниченных сверху соответственно поверхностями Как взять двойной интеграл по окружностиИспользуя формулу (53.4), имеем

Как взять двойной интеграл по окружности

Переходя к полярным координатам, находим:

Как взять двойной интеграл по окружности

Пример:

Найти массу, статические моменты Как взять двойной интеграл по окружностии координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом Как взять двойной интеграл по окружностии координатными осями (см. рис. 224). Поверхностная плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.

Как взять двойной интеграл по окружности

Решение: По формуле (53.6) находим массу пластинки. По условию, Как взять двойной интеграл по окружности— коэффициент пропорциональности.

Как взять двойной интеграл по окружности

Находим статические моменты пластинки:

Как взять двойной интеграл по окружности

Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы

Как взять двойной интеграл по окружности

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.

Двойной интеграл

Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Как взять двойной интеграл по окружности

Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями ∫∫(5x+y)dxdy D: y=x^3, y=0, x=3.Скачать

Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями ∫∫(5x+y)dxdy   D: y=x^3, y=0, x=3.

Как взять двойной интеграл по окружности

В двойном интеграле Как взять двойной интеграл по окружностиКак взять двойной интеграл по окружности, где G — круг, ограниченный окружностью x 2 + y 2 = 2x, перейти к полярным координатам с полюсом в точке O(0, 0) и вычислить полученный интеграл.

Круг G изображен на Рис. 1, а.

Как взять двойной интеграл по окружностиКак взять двойной интеграл по окружностиКак взять двойной интеграл по окружностиКак взять двойной интеграл по окружности

Уравнения, связывающие ( x, y) и полярные координаты ( ρ, φ) с полюсом в точке O(0, 0), имеют вид

причем наглядно видно, что в качестве промежутка изменения φ можно взять сегмент —π/2 ≤ φπ/2. Подставляя выражения (1) в уравнение окружности, получим ρ 2 = 2ρ cos φ, откуда ρ = 0 или ρ = 2 cos φ. Эти две кривые на плоскости (ρ, φ) при —π/2 ≤ φπ/2 ограничивают область g (см. Рис. 1, б), являющуюся прообразом области G при отображении (1). Якобиан Как взять двойной интеграл по окружностиотображения (1) равен ρ. Отметим, что Как взять двойной интеграл по окружностина границе ρ = 0 области g, однако формула

Как взять двойной интеграл по окружностиКак взять двойной интеграл по окружностиКак взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности(2)

замены переменных применима. Подынтегральная функция x 2 + y 2 в новых переменных равна ρ 2 . По формуле (2) имеем

Как взять двойной интеграл по окружности

Полученный двойной интеграл по области g сводим к повторному:

Как взять двойной интеграл по окружности Как взять двойной интеграл по окружности(3)

и вычисляем повторный интеграл, применяя формулу Ньютона-Лейбница:

Как взять двойной интеграл по окружностиКак взять двойной интеграл по окружностиКак взять двойной интеграл по окружности

Как взять двойной интеграл по окружностиКак взять двойной интеграл по окружностиКак взять двойной интеграл по окружностиКак взять двойной интеграл по окружности

Замечание 1. Расстановку пределов интегрирования в повторном интеграле (3) можно произвести, рассматривая не область g, а изменение полярных координат в исходной области G. На Рис. 1(в) видно, что при каждом значении φ из промежутка [-π/2, π/2] переменная ρ изменяется от 0 (значение ρ в полюсе) до 2 cos φ (значение ρ на окружности, уравнение которой в полярных координатах имеет вид ρ = 2 cos φ). Таким образом, пределы интегрирования по φ — от —π/2 до π/2, а по ρ — от 0 до 2 cos φ.

Замечание 2. Обычно замена переменных в двойном интеграле производится с целью упрощения области интегрирования. Если в данном примере перейти к полярным координатам с полюсом не в точке O(0, 0), а в точке A(1, 0) (центре круга), т. е. по формулам x — 1 = ρ cos φ, y = ρ sin φ, то прообразом круга G окажется прямоугольник (наиболее простая область) σ = <(ρ, φ): 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ 2π> (см. Рис. 1, г). Выражение для подынтегральной функции примет вид x 2 + y 2 = 1 + 2ρ cos φ + ρ 2 . В этом случае, используя формулу (2) и сводя двойной интеграл к повторному, получим

💡 Видео

Семинар 4. Двойной интеграл.Скачать

Семинар 4. Двойной интеграл.

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.

Двойной интеграл (ч.25). Вычисление в полярных координатах. Высшая математика.Скачать

Двойной интеграл (ч.25).  Вычисление в полярных координатах. Высшая математика.

Двойной интеграл. Вычисление в полярных координатахСкачать

Двойной интеграл. Вычисление в полярных координатах

ТФКП. ИНТЕГРАЛ ПО ДУГЕ ОКРУЖНОСТИ от неаналитической функции. Метод замены переменной.Скачать

ТФКП. ИНТЕГРАЛ ПО ДУГЕ ОКРУЖНОСТИ от неаналитической функции. Метод замены переменной.
Поделиться или сохранить к себе: