Как вписать пирамиду в окружность

Пирамида, вписанная в сферу
Как вписать пирамиду в окружностьПирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу
Как вписать пирамиду в окружностьРадиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды
Как вписать пирамиду в окружностьОтношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

Как вписать пирамиду в окружность

Видео:ПОСТРОИТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК [construction a regular pentagon]Скачать

ПОСТРОИТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК [construction a regular pentagon]

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу

Определение 1. Пирамидой, вписанной в сферу, называют такую пирамиду, все вершины которой лежат на сфере (рис. 1).

Определение 2. Если пирамида вписана в сферу, то сферу называют описанной около пирамиды.

Как вписать пирамиду в окружность

Как вписать пирамиду в окружность

Как вписать пирамиду в окружность

Теорема 1. Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность.

Доказательство. Докажем сначала, что, если пирамида вписана в сферу, то около ее основания можно описать окружность. Для этого рассмотрим рисунок 2.

Как вписать пирамиду в окружность

Как вписать пирамиду в окружность

Как вписать пирамиду в окружность

На рисунке 2 изображена пирамида SA1A2 . An , вписанная в сферу. Плоскость основания пирамиды пересекает сферу по окружности, в которую вписан многоугольник A1A2 . An – основание пирамиды. Доказано.

Теперь предположим, что около основания A1A2 . An пирамиды SA1A2 . An можно описать окружность. Докажем, что в этом случае около пирамиды SA1A2 . An можно описать сферу. С этой целью обозначим центр окружности, описанной около многоугольника A1A2 . An , символом O’ и проведем прямую p, проходящую через точку O’ и перпендикулярную к плоскости многоугольника A1A2 . An (рис. 3).

Как вписать пирамиду в окружность

Как вписать пирамиду в окружность

Как вписать пирамиду в окружность

Рассмотрим плоскость β, проходящую через середину отрезка SAn и перпендикулярную к этому отрезку. Если обозначить буквой O точку пересечения плоскости β с прямой p, то точка O и будет центром сферы, описанной около пирамиды SA1A2 . An . Для того, чтобы это доказать, рассмотрим следующий рисунок 4.

Как вписать пирамиду в окружность

Как вписать пирамиду в окружность

Как вписать пирамиду в окружность

Итак, мы доказали, что точка O находится на одном и том же расстоянии от всех вершин пирамиды SA1A2 . An . Отсюда вытекает, что точка O является центром сферы, описанной около пирамиды SA1A2 . An .

Для завершения доказательства теоремы остается лишь доказать, что плоскость β и прямая p действительно пересекаются. Если предположить, что это не так, то из такого предположения будет следовать, что плоскость β и прямая p параллельны, а, значит, точка S лежит в плоскости A1A2 . An , что противоречит определению пирамиды.

Следствие 1. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу.

Следствие 2. Если у пирамиды все боковые ребра равны, то около нее можно описать сферу.

Указание. Основание перпендикуляра, опущенного из вершины такой пирамиды на плоскость ее основания, является центром описанной около основания окружности. Посмотреть доказательство.

Видео:Вычисление радиуса сферы, вписанной в правильную треугольную пирамидуСкачать

Вычисление радиуса сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду

Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды

Задача 1. Высота правильной n — угольной пирамиды равна h , а длина ребра основания равна a . Найти радиус сферы, описанной около пирамиды.

Решение. Рассмотрим правильную n — угольную пирамиду SA1A2 . An и обозначим буквой O центр описанной около пирамиды сферы, а символом O’ – центр основания пирамиды. Проведем плоскость SO’An (рис. 5).

Как вписать пирамиду в окружность

Как вписать пирамиду в окружность

Буквой R на рисунке 5 обозначен радиус описанной около пирамиды сферы, а буквой r – радиус описанной около основания пирамиды окружности. По теореме Пифагора для треугольника O’OAn получаем

Как вписать пирамиду в окружность(1)

Как вписать пирамиду в окружность

из формулы (1) получаем соотношение

Как вписать пирамиду в окружность(2)

Ответ. Как вписать пирамиду в окружность

Следствие 3. Радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Как вписать пирамиду в окружность

Следствие 4. Радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром a , равен

Как вписать пирамиду в окружность

Следствие 5. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Как вписать пирамиду в окружность

Следствие 6. Радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Как вписать пирамиду в окружность

Видео:Пирамида и шар. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Пирамида и шар. Практическая часть. 11 класс.

Отношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

Задача 2. Около правильной n — угольной пирамиды с высотой h и ребром основания a описана сфера. Найти отношение объемов пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды.

Как вписать пирамиду в окружность

Воспользовавшись формулой (2), выразим объем шара, ограниченного описанной около пирамиды сферой, через высоту и ребро основания пирамиды:

Как вписать пирамиду в окружность

Как вписать пирамиду в окружность

Как вписать пирамиду в окружность

Как вписать пирамиду в окружность

Ответ. Как вписать пирамиду в окружность

Следствие 7. Отношение объема правильной треугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды, равно

Как вписать пирамиду в окружность

Следствие 8. Отношение объема правильного тетраэдр с ребром a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данного тетраэдра, равно

Как вписать пирамиду в окружность

Следствие 9. Отношение объема правильной четырехугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Как вписать пирамиду в окружность

Следствие 10. Отношение объема правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Видео:Шар, вписанный в пирамиду, или пирамида, описанная около шара.Скачать

Шар, вписанный в пирамиду, или пирамида, описанная около шара.

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:ТЕМА 5. ПОСТРОЕНИЕ ШЕСТИГРАННОЙ ПРИЗМЫ, КОНУСА И ЧЕТЫРЕХГРАННОЙ ПИРАМИДЫ.Скачать

ТЕМА 5.  ПОСТРОЕНИЕ ШЕСТИГРАННОЙ ПРИЗМЫ, КОНУСА И ЧЕТЫРЕХГРАННОЙ ПИРАМИДЫ.

Вписанная в шар пирамида

Когда в задаче дана вписанная в шар пирамида, при ее решении будет полезна следующая теоретическая информация.

Если пирамида вписана в шар, то все ее вершины лежат на поверхности этого шара (на сфере), соответственно, расстояния от центра шара до вершин равны радиусу шара.

Каждая грань вписанной в шар пирамиды является вписанным в некоторую окружность многоугольником. Основания перпендикуляров, опущенных из центра шара на плоскости граней, являются центрами этих описанных окружностей. Таким образом, центр описанного около пирамиды шара — точка пересечения перпендикуляров к граням пирамиды, проведенных через центры описанных около граней окружностей.

Чаще центр описанного около пирамиды шара рассматривают как точку пересечения перпендикуляра, проведенного к основанию через центр описанной около основания окружности, и серединного перпендикуляра к боковому ребру (серединный перпендикуляр лежит в плоскости, проходящей через это боковое ребро и первый перпендикуляр (проведенный к основанию). Если около основания пирамиды нельзя описать окружность, то эта пирамида не может быть вписана в шар. Отсюда следует, что около треугольной пирамиды всегда можно описать шар, а вписанная в шар четырехугольная пирамида с параллелограммом в основании может иметь основанием прямоугольник либо квадрат.

Центр описанного около пирамиды шара может лежать внутри пирамиды, на поверхности пирамиды (на боковой грани, на основании), и вне пирамиды. Если в условии задачи не сказано, где именно лежит центр описанного шара, желательно рассмотреть, как могут повлиять на решение различные варианты его расположения.

Около любой правильной пирамиды можно описать шар. Его центр — точка пересечения прямой, содержащей высоту пирамиды, и серединного перпендикуляра к боковому ребру.

Как вписать пирамиду в окружность

При решении задач на вписанную в шар пирамиду чаще всего рассматривают некоторые треугольники.

Как вписать пирамиду в окружность

Начнем с треугольника SO1C. Он равнобедренный, поскольку две его стороны равны как радиусы шара: SO1=O1С=R. Следовательно, O1F — его высота, медиана и биссектриса.

Прямоугольные треугольники SOC и SFO1 подобны по острому углу S. Отсюда

Как вписать пирамиду в окружность

SO=H — высота пирамиды, SC=b — длина бокового ребра, SF=b/2, SO1=R, OC=r — радиус окружности, описанной около основания пирамиды.

Как вписать пирамиду в окружность

Как вписать пирамиду в окружность

В прямоугольном треугольнике OO1C г гипотенуза O1C=R, катеты OC=r, OO1=H-R. По теореме Пифагора:

Как вписать пирамиду в окружность

Как вписать пирамиду в окружность

Как вписать пирамиду в окружность

Если продолжить высоту SO, получим диаметр SM. Треугольник SCM — прямоугольный (так как вписанный угол SCM опирается на диаметр). В нем OC — высота, проведенная к гипотенузе, SO и OM — проекции катетов SC и CM на гипотенузу. По свойствам прямоугольного треугольника,

Как вписать пирамиду в окружность

и еще раз, только другим путем:

Как вписать пирамиду в окружность

Эти рассуждения верны не только для правильной пирамиды, но также для пирамиды , основание высоты которой является центром описанной около основания пирамиды окружности.

Видео:ПРАВИЛЬНЫЙ РАЗБОЙ ПИРАМИДЫ В РУССКОМ БИЛЬЯРДЕСкачать

ПРАВИЛЬНЫЙ РАЗБОЙ ПИРАМИДЫ В РУССКОМ БИЛЬЯРДЕ

Нахождение радиуса шара (сферы), вписанного в правильную пирамиду

В данной публикации представлены формулы, с помощью которых можно найти радиус шара (сферы), вписанного в правильную пирамиду: треугольную, четырехугольную, шестиугольную и тетраэдр.

Видео:Быстро находим радиус описанной сферыСкачать

Быстро находим радиус описанной сферы

Формулы расчета радиуса шара (сферы)

Приведенная ниже информация применима только к правильным пирамидам. Формула для нахождения радиуса зависит от вида фигуры, рассмотрим самые распространенные варианты.

Правильная треугольная пирамида

Как вписать пирамиду в окружность

    a – ребро основания пирамиды, т.е. это равные отрезки AB, AC и BC;

Если известны значения этих величин, то найти радиус (r) вписанного шара/сферы можно по формуле:

Как вписать пирамиду в окружность

Частный случай правильной треугольной пирамиды – это правильный тетраэдр. Для него формула нахождения радиуса выглядит следующим образом:

Как вписать пирамиду в окружность

Правильная четырехугольная пирамида

Как вписать пирамиду в окружность

  • a – ребро основания пирамиды, т.е. AB, BC, CD и AD;
  • EF – высота пирамиды (h).

Радиус (r) вписанного шара/сферы рассчитывается так:

Как вписать пирамиду в окружность

Правильная шестиугольная пирамида

Как вписать пирамиду в окружность

  • a – ребро основания пирамиды, т.е. AB, BC, CD, DE, EF, AF;
  • GL – высота пирамиды (h).

Радиус (r) вписанного шара/сферы вычисляется по формуле:

📺 Видео

Шар, вписанный в усеченную пирамиду.A ball inscribed in a truncated pyramid.Скачать

Шар, вписанный в усеченную пирамиду.A ball inscribed in a truncated pyramid.

Деление окружности на пять равных частей. Урок 7. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Деление окружности на пять равных частей. Урок 7. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Решение C2 - сфера, вписанная в пирамиду. Подготовка к ЕГЭ по математике 2014Скачать

Решение C2 - сфера, вписанная в пирамиду. Подготовка к ЕГЭ по математике 2014

Развертка пирамидыСкачать

Развертка пирамиды

Как нарисовать пирамиду?Скачать

Как нарисовать пирамиду?

Построение пятиугольника циркулемСкачать

Построение пятиугольника циркулем

ПРАВИЛА БИЛЬЯРДА: Русский бильярд для начинающих - расстановка шаров, разбой пирамиды, штрафыСкачать

ПРАВИЛА БИЛЬЯРДА: Русский бильярд для начинающих - расстановка шаров, разбой пирамиды, штрафы

Урок-1 по Невке. Построение серий в динамичную пирамиду.Скачать

Урок-1 по Невке. Построение серий в динамичную пирамиду.

Пирамида, вписанная в шар, или, шар, описанный около пирамиды.Скачать

Пирамида, вписанная в шар, или, шар, описанный около пирамиды.

Шестиугольник в изометрииСкачать

Шестиугольник в изометрии

Как создать ШАР \ ПИРАМИДУ \ КОНУС в Компас 3D v20 homeСкачать

Как создать ШАР \\ ПИРАМИДУ \\ КОНУС в Компас 3D v20 home

Шар, вписанный в правильную треугольную пирамидуСкачать

Шар, вписанный в правильную треугольную пирамиду

ЕГЭ Задание 14 Пирамида вписана в сферуСкачать

ЕГЭ Задание 14 Пирамида вписана в сферу
Поделиться или сохранить к себе: