Как удержать козу в треугольнике (4 видео)

Как удержать козу в треугольнике

Удержите непривязанную козу с помощью собак в треугольнике

Известны длины сторон треугольника, ~~высота прыжка козы~~, скорость перемещения козы ~~и максимальное время движения с этой скоростью~~, скорость перемещения собаки ~~и максимальное время движения с этой скоростью~~. В начальный момент времени коза находится в произвольной внутренней точке треугольника. Собак нужно привязывать на веревке к колышку или к кольцам на веревках, привязанных к колышкам и аналогичным конструкциям. На рисунке ниже приведено очевидное решение задачи с бесконечным количеством собак.

Чему равно минимальное количество собак, способных удержать козу в треугольнике, и каким образом их нужно привязать?

Видео:Для чего козы лезут на огромную стенуСкачать

Исследовательская работа по математике «Задача голодной козы»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Пожарская средняя общеобразовательная школа»

Исследовательская работа по математике

«Задача голодной козы»

Руководитель: , учитель математики.

Введение……………………………………………………стр. 3 Обоснование актуальности…………………………стр. 3 Цели и задачи………………………………………..стр. 3 Основная часть……………………………………………..стр. 3 Объект и предмет исследования……………………стр. 3 История появления задач…………………………. стр. 3 Обзор задач по теме…………………………………стр. 5 Проведение исследования…………………………..стр. 6 Заключение…………………………………………………стр. 7 Список использованной литературы……………………. стр. 9 Приложение………………………………………………..стр. 10

1.1 Обоснование актуальности.

Еще с детства все знают задачу про волка, козу и капусту, в которой крестьянину нужно на лодке перевести на другой берег реки волка, козу и капусту с условием, что в лодке могут находиться только крестьянин либо с волком, либо с козой, либо с капустой, но если волка оставить с козой, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту.

Данная задача является логической, и, чтобы ее решить, нужно попробовать различные способы перевозки.

Задачи с козами, как оказалось, очень популярны не только в логике, но и в геометрии. А геометрический материал тяжело дается для понимания как среднему звену, так и старшему. Поэтому важно представлять его опытным путем.

Козы прожорливы и съедают все, до чего могут дотянуться. Если привязать козу очень просто, веревкой к колышку, она «съест круг». А как привязать ее так, чтобы она съела эллипс, квадрат или треугольник? Просто так не скажешь. А можно ли с помощью метода голодной козы построить на местности с помощью системы веревок и колышков различные геометрические фигуры?

1.2 Цели и задачи.

Цель: исследование теории голодной козы и построение с ее помощью геометрических фигур на местности.

Изучить историю появления задач с козами; Рассмотреть различные задачи, связанные с передвижением козы при помощи веревок и колышков; Построить на местности различные геометрические фигуры при помощи колышков и веревок.
Основная часть.

2.1 Объект и предмет исследования.

Объектом исследования является изучение логических задач и построение геометрических фигур на местности.

Предмет исследования – построение геометрических фигур на местности при помощи колышков и веревок.

2.2 История появления задач.

Прежде, чем найти задачи с козами и понять, как их решить, интересным стал факт появления самой простой детской задачки: “Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. Но лодка такова, что в ней может поместиться только крестьянин, а с ним или один волк, или одна коза, или одна капуста. Но если оставить волка с козой, то волк съест козу, а если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Как перевез свой груз крестьянин?”

И как оказалось это действительно интересно.

Решение известно всем, кто хоть раз пытался решить эту логическую задачу: “Решение: Ясно, что приходится начать с козы. Крестьянин, перевезши козу, возвращается и берет волка, которого перевозит на другой берег, где его и оставляет, но зато берет и везет обратно на первый берег козу. Здесь он оставляет ее и перевозит к волку капусту. Вслед затем, возвратившись, он перевозит козу, и переправа оканчивается благополучно” (решение из книги “Книга 1” труда “В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Опыт математической хрестоматии: Книга для семьи и школы” (СПб.: Тип. , 1911. — С. 75–76)[1].

Данная задача бессчетное число раз публиковалась в самых различных отечественных газетах, журналах и сборниках. При этом почти во всех работах упоминается только одно решение. А ведь есть и альтернативный путь!

Вначале крестьянин опять-таки перевозит козу. Но вторым он не обязательно должен забирать волка! Можно взять капусту, отвезти ее на другой берег, оставить там и вернуть на первый берег козу. Затем перевезти на другой берег волка, вернуться за козой и снова отвести ее на другой берег. В этом случае количество рейсов (7) точно такое же, как и в опубликованном выше варианте.

Очень интересен вопрос о времени возникновения данной головоломки и ее первоисточнике. в книге “Математическая смекалка”[2] говорит вскользь: “Это. старинная задача; встречается в сочинениях VIII века”.

Вначале может показаться, что мы имеем дело с опечаткой, ведь первая или одна из первых отечественных публикаций задачи “Волк, коза и капуста” датирована концом ХVIII века. В фондах Российской Исторической библиотеки сохранилась книга “Гадательная арифметика для забавы и удовольствия” (СПб., 1789)[3]. На титульном листе значится: “На ижд. изд. И. Краснопольского”, что означает “на иждивении издателя И. Краснопольского”. В раритете на 62 страницах сорок одна занимательная задача. На с. 42–43 читаем: “Некоторый мужик, везши с собою волка, козу и капусту приехал к реке, у берегу коей нашел столь малую лодку, что она кроме его и одного чего-нибудь из везомых им, поднимать не могла. И так спрашивается, каким образом переправить оных через реку так, чтобы волк не съел козы, а коза капусты?” Далее приводится один вариант решения (первый).

Интересно, что в пособии болгарских авторов “Математический фольклор” (М.: Знание, 1987. — С. 180)[4] задача о волке, козе и капусте помещена в раздел “Из математического фольклора других стран” с пометкой в скобках “Россия”.

По мнению ряда историков, задача имеет западные корни. В. Аренс указывает, что авторство хрестоматийной задачи приписывается Алкуину (атематические игры и развлечения. — СПб.: Физика, 1911. — С. 20)[5].

В. Литцман, предлагая читателям познакомиться с задачей о переправе в книге “Веселое и занимательное о числах и фигурах” (М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 189)[6], вскользь пишет: “У Алкуина мы находим следующий рассказ”.

Что же в наши дни известно об этой незаурядной личности? Алкуин (735–804) был ученым монахом и математиком из Ирландии, автором ряда учебников по математике. благоволил к ученым и всячески поощрял развитие наук. За королевским круглым столом нередко проводились состязания в решении хитроумных головоломок, в которых Алкуин имел возможность проявить свои незаурядные способности.

Из других головоломок Алкуина наибольшую известность получили задачи:

1) о гончей и зайце;

2) о покупке свиней;

3) о трех наследниках и 21 бочке;

4) о ста мерах пшеницы;

Но только головоломка о волке, козе и капусте до сих пор поражает воображение и детей, и взрослых. Эту и некоторые другие задачи Алкуин поместил в свой трактат “Задачи для оттачивания ума юношей”, написанный, как было принято в то время, латиницей.

В латинском манускрипте под №ХVIII легендарная задача. Сразу бросается в глаза, что решение одно — то самое, которое приводится в большинстве пособий. Но сама головоломка имеет иное название: “Задача о человеке, козе и волке”! А ее условие (если переводить близко к оригиналу) таково:

“Один человек должен был перевезти через реку волка, козу и кочан капусты. И не удалось ему найти другого судна, кроме как такого, которое могло выдержать только двоих из них. Задача, таким образом, заключалась в том, как всех перевезти на другой берег целыми и невредимыми. Скажите, кто способен: каким путем они могут перебраться на другой берег невредимыми” (перевод с латинского выполнен ).

Обзор задач по теме.

В процессе поисков истории задач с козами и самих задач, были найдены довольно интересные задачи, связанные с построением геометрических фигур на местности [10].

Привяжите козу на лугу так, чтобы она съела круг. Какой участок съест коза, если ее привязать между двумя колышками? (Веревка привязана к двум колышкам и продернута сквозь ошейник козы.) Родион прогуливается по лугу, держа козу на поводке длиной 1м. Его путь имеет вид прямоугольника со сторонами 3 и 5м. Какой участок луга съест коза? Привяжите козу с помощью веревок и колышков так, чтобы она могла съесть траву только внутри участка такой формы: Натянем на лугу веревку между двумя колышками. У второй веревки привяжем один конец к ошейнику козы, а на втором сделаем петлю, свободно скользящую по веревке. Какой участок выест коза? Удержите козу с помощью веревок и колышков

в) в прямоугольнике (для прямоугольника решить двумя разными способами).

В процессе исследования встала проблема: где и как правильно провести измерения, ведь ни поля с травой, ни, тем более, козы на привязи нет?

Решили обойтись моделью. Смоделировали поле в спортивном зале, огородили площадку необходимого размера в соответствии с условиями задачи. В качестве колышков использовали спортивный инвентарь, а в качестве козы и ее сопровождающего выступили сами.

Далее встал вопрос: какие задачи опытным путем посильно решить для нашего возраста, ведь с геометрией в 5 классе мало знакомы.

Решили начать с самой простой на наш взгляд задачи.

Привяжите козу на лугу так, чтобы она съела круг.

Наши рассуждения: коза, привязанная одной веревкой к колышку будет ходить вокруг него, то есть по кругу. Внутри круга она тоже сможет свободно передвигаться. Значит, она съест траву на участке, равном площади круга. Радиус этого круга будет равен длине взятой веревки. За пределы круга она выйти не сможет, потому что ей не хватит длины веревки.

Значит она съест участок травы площадью: , где R – радиус окружности (длина веревки).

У нас была веревка длиной 2 метра. Значит решение нашей задачи:

А что будет, если привязывать козу не одним, а двумя колышками?

Какой участок съест коза, если ее привязать между двумя колышками? (Веревка привязана к двум колышкам, натянута и продернута сквозь ошейник козы.)

Решение: Она съест ровно отрезок, концами которого являются колышки. Траву в любой точке этого отрезка она съесть сможет; если же она смогла бы съесть траву в ещё какой-нибудь точке, не лежащей на этом отрезке, то верёвка, за которую она привязана, должна была бы прогнуться, однако по условию задачи она натянута, так что больше никуда добраться коза не сможет.

Рассмотрим еще одну задачу, которая нам больше всего понравилась на первый взгляд, поскольку форма участка, который должна съесть коза, очень своеобразна.

Привяжите козу с помощью веревок и колышков так, чтобы она могла съесть траву только внутри участка такой формы:

Решение: Эта область — пересечение двух кругов. Привяжем козу как в первой задаче, чтобы она не могла выйти из первого круга, к центру первого круга на верёвке, длина которой равна радиусу этого круга. Одновременно с этим привяжем козу другой верёвкой, длина которой равна радиусу второго круга, к центру этого круга. В итоге коза не сможет выйти из первого круга, потому что привязана к его центру, и из второго круга, потому что привязана и к центру второго круга. То есть, она всегда будет находиться в пересечении этих двух

Таким образом, изучив данные виды задач и проведя исследования, мы пришли к выводу, что на местности можно построить практически любую геометрическую фигуру при помощи колышков и веревок. Не всегда под рукой могут оказаться приборы для измерения и построения фигур, а вот веревку и колышек всегда можно легко найти.

Теоретическая значимость исследования заключена в следующем: исследована история появления логических задач про коз и их передвижение, рассмотрены несколько задач построения геометрических фигур на местности при помощи веревок и колышков.

Практическая значимость работы состоит в том, что, имея фантазию, логическое мышление и несколько простых приспособлений, о которых говорилось выше, и без использования громоздких инструментов можно построить геометрические фигуры. Это может пригодиться каждому, кто, например, занимается благоустройством своего дома или участка. Так можно быстро, красиво и оригинально оформить клумбы около дома или соорудить песочницу для ребенка необычной формы. А самое главное, это совсем незатратно. Повторимся, для этого нужна лишь фантазия.

В качестве практического выхода нашего проекта мы создали небольшую брошюру с задачами на построение геометрических фигур при помощи колышков и веревок, которая может быть использована как на уроках математики при изучении геометрического материала, так и на кружковых занятиях.

Благодаря нашему исследованию, мы поняли и осознали необходимость самостоятельной деятельности. Благодаря ей мы развиваем наше мышление, учимся рассуждать и строить логические цепочки действий, а также овладеваем навыками работы в группе. Без помощи учителя наша работа естественно не обошлась, он нас подталкивал к действиям, подсказывал, что нужно делать в каждый момент времени, если мы были в затруднении, помогал нам высчитывать площади съеденного участка травы (ввел формулу площади круга и числа «Пи»).

Но в целом мы достигли поставленной нами цели: исследовали теорию голодной козы и построили с ее помощью геометрические фигуры на местности.

Список использованной литературы:

1. “В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Опыт математической хрестоматии: Книга для семьи и школы” (СПб.: Тип. , 1911)

2. В. Литцмана “Веселое и занимательное в фигурах и числах: Математические развлечения” (М. — Пт.: Изд. , 1923)

3. “Гадательная арифметика для забавы и удовольствия” (СПб., 1789)

4.“Математический фольклор” (М.: Знание, 1987)

5.атематические игры и развлечения. — СПб.: Физика, 1911.

6.В. Литцман “Веселое и занимательное о числах и фигурах” (М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963)

7. Головоломки из близкой дали // Компьютерра. — 2000. — № 1.

8., Старинные задачи — М.: Просвещение, 1994.

9., Занимательные задачи по математике — М.: ВЛАДОС, 1999.

Видео:Содержание коз. Опыт почти горожанина // FORUMHOUSEСкачать

Конспект занятия кружка дополнительного образования по математике «Теория голодной козы»»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Конспект занятия «Теория голодной козы»

Учебная задача: познакомить с методами решения позиционных задач на основе «Теории голодной

— углубить знания обучающихся по теме: «Пересечение геометрических фигур»;

— познакомить с содержанием и способами применения «Теории голодной козы».

— создать условия для того, чтобы обучающиеся освоили метод решения позиционных задач на основе «Теории голодной козы».

— воспитание аккуратности, усидчивости, прилежности;
— формирование личностных позитивных качеств школьников;
— создание атмосферы сотрудничества учителя и учащихся;
— воспитание трудолюбия, чувства коллективизма;
— привитие интереса к изучаемому предмету.

I . Организационный момент

1. Этап. Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала.

1 слайд Появляется рисунок с козой.

— Какие ассоциации вызывает коза? Почему занятие может быть посвящено козам? Какие задачи можно решать, связанные с козой? (Козы – очень прожорливые животные. Они съедают всю траву, до которой могут дотянуться. Поэтому их держат на привязи. Можно исследовать, какой участок травы съест коза при определённых обстоятельствах).

— Назовём наше занятие – «Теория голодной козы».

На слайде появляется тема занятия «Теория голодной козы».

— Как вы думаете, какая цель занятия? (Научиться решать задачи на основе «Теории голодной козы»).

2 Этап. Мотивация учебной деятельности. Создание проблемной ситуации.

2 слайд 3 слайд

Ребята, ещё в 1974 году в физико-математическом журнале «Квант» была опубликована выдержка из тетради, кем-то забытой в вечерней школе.

«. Козы прожорливы и съедают все, до чего могут дотянуться. Мой приятель ловко использовал это обстоятельство. Он жил в деревне и хорошо знал грибные места. Но когда приходили друзья и спрашивали, куда пойти завтра за грибами, он отвечал: «Коза покажет». В самом деле, к вечеру его коза съедала траву на участке в форме стрелки, направленной к самому грибному месту. Мне стало интересно, как это у него получается. Вчера я рассказал об умной козе моему соседу-математику, и вот, что он мне ответил: «Это совсем не так сложно, как ты думаешь». А как думаете вы – это сложно или нет? И как заставить козу съесть участок травы в виде стрелки?

(Обучающиеся выдвигают свои гипотезы).

— А как удержать козу а) в прямоугольнике; б) в полукруге, в) треугольнике?

На слайде появляются эти геометрические фигуры.

3. Этап. Изучение нового материала. Организация деятельности учащихся по освоению учебной информации на уровне «знание» и «понимание».

— Давайте разбираться с самого начала.

1) Нарисуйте участок луга, который выест коза, привязанная десятиметровой верёвкой к одиноко стоящему на лугу колышку. (Если в поле привязать козу к колышку десятиметровой верёвкой, то она съест траву, конечно, в круге радиуса 10 метров).

— Но если козу привязать к колышку десятиметровой веревкой, то она, вытянув шею, доберется до травы, которая растет дальше, чем в десяти метрах. Шея-то у нее длинная!? (Высказывания детей).

— Мы упрощаем дело — строим математическую модель. Например, мы считаем, что земля ровная, коза съедает всю траву, до которой может дотянуться, причем коза маленькая, а веревки длинные. И считаем, что веревки не растягиваются и скользят друг по другу. И еще — очень важно! — что коза не запутывается в веревках и может перепрыгнуть через них.

2) Какой участок съест коза, если ее привязать между двумя колышками? (Веревка привязана к двум колышкам и продернута сквозь ошейник козы).

(Она съест ровно отрезок, концами которого являются колышки).

3) Натянем на лугу веревку между двумя колышками. У второй веревки привяжем один конец к ошейнику козы, а на втором сделаем петлю, свободно скользящую по веревке. Какой участок выест коза?

— Чтобы ответить на этот вопрос, поработаем в творческой геометрической лаборатории в группах по 4 человека. Каждая группа получает набор (модель поля, колышки и модель козы — карандаш).

Создайте модель данной задачи, используя реальную жизненную ситуацию.

(Ученики приходят к выводу, что на расстоянии, равном длине второй верёвки, от каждой точки первой верёвки, всё будет съедено. Таким образом, будут выедены круги, центры которых находятся на отрезке между двумя колышками (на рисунке показаны примеры нескольких таких кругов). Их объединение образует фигуру, состоящую из прямоугольника и двух полукругов (её также можно назвать прямоугольником со скругленными углами, радиус скругления которых равен ширине прямоугольника и равен длине второй верёвки, а длина прямоугольника равна длине первой верёвки плюс удвоенная длина второй верёвки).

Назовём эту фигуру – «бассейн» (условное название).

4) Как с помощью верёвок и колышков удержать козу на участке, ограниченном двумя дугами окружностей?

(Эта область — пересечение двух кругов. Привяжем козу как в первой задаче, чтобы она не могла выйти из первого круга, к центру первого круга на верёвке, длина которой равна радиусу этого круга. Одновременно с этим привяжем козу другой верёвкой, длина которой равна радиусу второго круга, к центру этого круга. В итоге коза не сможет выйти из первого круга, потому что привязана к его центру, и из второго круга, потому что привязана и к его центру. То есть, она всегда будет находится в пересечении этих двух кругов).

— Смоделируйте данную задачу и проверьте вашу гипотезу.

После проверки на слайде появляется рисунок.

4. Этап. Актуализация опорных знаний. Организация обратной связи ученик — учитель и учитель — ученик. Организация деятельности учащихся по предъявлению результата освоения учебной информации на уровне «понимания».

5) Удержите козу с помощью веревок и колышков в полукруге.

— Смоделируйте данную задачу и проверьте вашу гипотезу.

(Появляется на слайде 10 после проверки в геометрической лаборатории. Полукруг – это пересечение 1 «бассейна» и одного круга, необходимо 3 колышка и 3 верёвки).

— Ребята, сделайте вывод, как добиться того, чтобы коза не выходила за пределы геометрической фигуры. (Чтобы коза не выходила за пределы геометрической фигуры, надо определить, как получить эту фигуру с помощью пересечения других геометрических фигур, т.е. с помощью пересечения каких-либо множеств. Значит, достаточно привязать козу так, чтобы она не выходила из первого множества, и чтобы не выходила из второго множества, то есть решить две независимые задачи).

— Как называются задачи на определение общих элементов, принадлежащих различным геометрическим фигурам? (Позиционные задачи)

— Сформулируйте цель занятия с учётом названия задач, которые мы сегодня решаем? (Научиться решать позиционные задачи на основе «Теории голодной козы»).

— Почему мы эту цель формулируем практически в конце занятия? (Не знали, о каких задачах будет идти речь)

— В чём заключается теория голодной козы? (Это система колышков и верёвок. А задачи с козой могут быть абсолютно разные)

5. Этап. Закрепление е изученного материала. Организация деятельности учащихся по развитию математической культуры и умению переносить приобретённые знания в новую ситуацию и применять для решения практических задач.

— Продолжим наше занятие.

— Вернёмся к задаче про прямоугольник. Как же заставить козу съесть участок травы в виде прямоугольника или квадрата? ( Надо пересечь 2 геометрические фигуры — 2 «бассейна». Тогда нам понадобятся 4 колышка и 4 верёвки, 2 из которых натянуты перпендикулярно по отношению друг к другу).

— Выполнять построение чертежей сегодня можно от руки. Норвежский математик Нильс Абель, живший в начале 19 века, говорил: «Геометрия – это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах».

(Появляется на слайде 12 без проверки в геометрической лаборатории).

6) И возвращаемся к стрелке. (Стрелка – это пересечение 4 «бассейнов», необходимо 8 колышков и 8 верёвок)

Слайды 13, 14

7) Дополнительная задача (по времени).

Удержите козу с помощью веревок и колышков в треугольнике.

(Треугольник – это пересечение 3 «бассейнов», необходимо 6 колышков и 6 верёвок)

7 Этап. Подведение итогов. Домашнее задание. Проведение самоанализа и самооценки собственной деятельности. Обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

— Ребята, я вам предлагаю продолжить «Теорию голодной козы» в проекте «Коза на привязи». А, может быть, кто-то придумает другое название проекта.

Введём в действие собак — они мешают козе есть: коза не ходит туда, куда может добраться собака. Но чтобы козы не остались голодными, собак тоже держат на привязи.

Вопросы для исследования:

1) Как одной собакой удержать козу в кольце? А как — в полукруге? Удержите непривязанную козу с помощью собак в треугольнике.

2 Как действовать, чтобы «ограничить» козу заданным выпуклым многоугольником ?

3) Как заставить козу съесть сектор, используя не более а) семи; б) пяти колышков?

4) Какой участок съест коза, если ее привязать к проволочному контуру в форме креста?

5) Как одной собакой удержать непривязанную козу в полукруге?

6) Как с помощью двух собак удержать козу в кресте или в полумесяце?

7) Подумайте, как действовать, чтобы «ограничить» непривязанную козу с помощью собак заданным многоугольником (не обязательно выпуклым)?

— Ребята, как вы думаете, где в жизни вам могут пригодиться знания, полученные на занятии? (В инженерной практике).

— И в заключение продолжите, пожалуйста, предложения, которые вы видите на доске:
Сегодня я узнал…
Было интересно…
Я понял, что…
Теперь я могу…
Я научился…
У меня получилось…
Я попробую….
Меня удивило…
Мне захотелось…