Как строить прямоугольный треугольник

Видео:Построение прямоугольного треугольника по 2 катетамСкачать

Презентация по геометрии «Построение прямоугольных треугольников»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ При решении задач на построение мы будем использовать основные задачи на построение, которые были рассмотрены ранее. Они называются простейшими построениями. К ним относятся: построение середины отрезка построение биссектрисы угла построение угла равного данному построение прямой , перпендикулярной данной и проходящей через точку лежащую (не лежащую) на данной прямой. Решая далее задачи на построение мы будем указывать данные построения, не расписывая подробно их по шагам

Построение прямоугольного треугольника по двум катетам

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, катет ВС=b. a b

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, катет ВС=b. a b Построение: Строим произвольную прямую m. m

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, катет ВС=b. a b Построение: Строим произвольную прямую m. 2) Отметим произвольную точку Сm. m С

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, катет ВС=b. a b Построение: Строим произвольную прямую m. 2) Отметим произвольную точку Сm. 3) Проведем через точку С прямую n m (простейшее построение). m С n

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, катет ВС=b. a b Построение: 4) окр.(С; a)  n = А m С n А

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, катет ВС=b. a b Построение: 4) окр.(С; a)  n = А 5) окр.(С; b)  m = B m С n А B

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, катет ВС=b. a b m С n А B Построение: 4) окр.(С; a)  n = А 5) окр.(С; b)  m = B 6) АВС — искомый

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, катет ВС=b. a b доказательство: 1) АСВ=900 (т.к. n m по построению) 2) АС=a (по построению) 3) BС= b (по построению) Следовательно , АВС — искомый m С n А B

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, катет ВС=b. a b Исследование: Задача всегда имеет единственное решение m С n А B

Построение прямоугольного треугольника по катету и острому углу

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a 

Построение: Строим произвольную прямую m. m Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a 

Построение: Строим произвольную прямую m. 2) Отметим произвольную точку Сm. m С Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a 

Построение: Строим произвольную прямую m. 2) Отметим произвольную точку Сm. 3) Проведем через точку С прямую n m (простейшее построение). m С n Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a 

Построение: 4) окр.(С; a)  n = А m С n А Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a 

Построение: 4) окр.(С; a)  n = А 5) От луча АС откладываем САК равный  (простейшее построение) m С n А Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a  К

Построение: 4) окр.(С; a)  n = А 5) От луча АС откладываем САК равный  (простейшее построение) 6) луч АK m = B m С n А Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a  К B

Построение: 4) окр.(С; a)  n = А 5) От луча АС откладываем САК равный  (простейшее построение) 6) луч АK m = B 7) АВС — ИСКОМЫЙ m С n А Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a  К B

m С n А Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a  К B доказательство: 1) АСВ=900 (т.к. n m по построению) 2) АС=a (по построению) 3) САВ= (по построению) Следовательно , АВС — искомый

m С n А Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a  К B Исследование: Задача всегда имеет единственное решение

Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого ГИПОТЕНУЗА ав=a, острый САВ=. a 

Построение: Строим произвольную прямую m. m Дано: a  Построить: Прямоугольный АВС, у которого ГИПОТЕНУЗА ав=a, острый САВ=.

m Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a  Построение: Строим произвольную прямую m. 2) Отметим произвольную точку аm. а

m Дано: a  Построение: Строим произвольную прямую m. 2) Отметим произвольную точку аm. 3) От луча Аm откладываем кАр = (простейшее построение) а k p Построить: Прямоугольный АВС, у которого ГИПОТЕНУЗА ав=a, острый САВ=.

m Дано: a  Построение: 4) окр.(a; a)  ЛУЧ ак=В а k p В Построить: Прямоугольный АВС, у которого ГИПОТЕНУЗА ав=a, острый САВ=.

m Дано: a  Построение: 4) окр.(a; a)  ЛУЧ ак=В 5) Опустим перпендикуляр BC из точки В на прямую m (простейшее построение) а k p В C Построить: Прямоугольный АВС, у которого ГИПОТЕНУЗА ав=a, острый САВ=.

m Дано: a  Построение: 7) АВС — ИСКОМЫЙ а k p В C Построить: Прямоугольный АВС, у которого ГИПОТЕНУЗА ав=a, острый САВ=.

m Дано: a  а k p В C доказательство: 1) АСВ=900 (т.к. BCm по построению) 2) АB=a (по построению) 3) САВ= (по построению) Следовательно , АВС — искомый Построить: Прямоугольный АВС, у которого ГИПОТЕНУЗА ав=a, острый САВ=.

m Дано: a  а k p В C Построить: Прямоугольный АВС, у которого ГИПОТЕНУЗА ав=a, острый САВ=. Исследование: Задача всегда имеет единственное решение

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 988 человек из 78 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 310 человек из 68 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 673 человека из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 538 236 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

§ 4. Построение треугольника по трем элементам

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 26.05.2020
• 462
• 6

• 26.05.2020
• 2050
• 25

• 26.05.2020
• 261
• 2

• 26.05.2020
• 92
• 2

• 26.05.2020
• 80
• 1

• 26.05.2020
• 72
• 2

• 26.05.2020
• 363
• 13

• 26.05.2020
• 634
• 41

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 27.05.2020 621
• PPTX 195.1 кбайт
• 50 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Соловьева Марина Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 5 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 6545
• Всего материалов: 4

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу. 7 класс. Геометрия.Скачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России классы будут переводить на дистант, если заболели 20% детей

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В Курской области с 7 по 20 февраля ввели дистанционное обучение для школьников

Время чтения: 1 минута

В Томске из-за COVID-19 перенесут каникулы для первоклассников

Время чтения: 1 минута

В Самаре и Тольятти часть школьников перевели на дистанционное обучение

Время чтения: 1 минута

В Госдуме предложили доплачивать учителям за работу в классах, где выявлен ковид

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Геометрия

План урока:

Видео:Построение прямоугольного треугольника по катету и прилежащему острому углуСкачать

Прямоугольный треугольник

Напомним, что прямоугольным треугольником называют треуг-к, один из углов которого равен 90°.

Покажем несколько рисунков, на которых изображены прямоугольные треуг-ки:

Тот угол, который равен 90° (его ещё называют прямым), отмечается квадратиком.

Может ли у треуг-ка быть два или три прямых угла? Конечно же нет, ведь сумма углов треугольника должна равняться 180°. Отсюда следует очевидный факт – те 2 угла прямоугольного треуг-ка, которые не равны 90°, должны быть острыми. Более того, можно утверждать, что их сумма в точности равна 90°.

Задание. В прямоугольном треуг-ке один из углов равен 40°. Чему равен второй острый угол?

Обозначим неизвестный нам угол как ∠1. Сумма острых углов должна равняться 90°, поэтому можно записать уравнение:

Этот ответ можно получить и немного иначе. Сумма всех углов треуг-ка равна 180°. Один из них равен 40°, а другой – 90°. То есть можно составить такое равенство:

Первый способ отличается лишь тем, что он требует более простых вычислений.

Онлайн-курсы помогают систематизировать информацию и закрепить ее в прочные знания.

Задание. Найдите все углы треугольника, который одновременно является и прямоугольным, и равнобедренным.

Решение. У любого равнобедренного треуг-ка есть два одинаковых угла при основании. Ясно, что в прямоугольном треуг-ке не может быть двух прямых углов, а потому равны друг другу острые углы. Обозначим величину одного из них как х. Оба угла равны х, поэтому можно записать уравнение:

Получается, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике два угла равны 45°, а один – 90°.

У сторон прямоугольного треугольника есть особые названия. Та сторона, которая лежит против прямого угла, называется гипотенузой прямоугольного треугольника, а две остальные стороны называют катетами.

По рисунку видно, что гипотенуза длиннее катетов. И это правило выполняется для всех прямоугольных треуг-ков. В самом деле, в любом треуг-ке против наибольшего угла лежит наибольшая сторона. Катеты лежат против острых углов, а гипотенуза – против прямого угла, и поэтому она длиннее.

Задание. Докажите, что если в треуг-ке из одной вершины провести и медиану, и высоту, то медиана будет не меньше высоты.

Решение. Напомним, что высота – это отрезок, опущенный на сторону под прямым углом, а медиана – отрезок, проведенный к середине противоположной стороны. В принципе, эти два отрезка могут совпасть друг с другом, и тогда их длины равны. Рассмотрим случай, когда медиана и высота не совпадают:

Обозначим буквой М середину АС, тогда ВМ – медиана. Высоту обозначим как ВН. В результате у нас образуется ∆МВН, причем угол на пересечении ВН и АC(∠BHM) равен 90°. В этом треуг-ке медиана оказывается гипотенузой, а высота – катетом прямоугольного треугольника. Так как гипотенуза всегда длиннее катета, то и МВ длиннее ВН.

Видео:Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.Скачать

Прямоугольный треугольник с углом в 30°

Особый интерес представляет прямоугольный треуг-к, у которого один из углов равен 30°:

Несложно вычислить его второй угол. Он будет равен 60°:

Оказывается, у данного треуг-ка катет, лежащий против угла в 30° (ВС), вдвое меньше гипотенузы. Докажем это утверждение. Для это приложим к ∆АВС другой, равный ему ∆АСD, получив, по сути, его зеркальное отображение:

Так как ∠В = 60°, то и ∠D = 60°. Величина угла ∠ВАD равна сумме углов ∠ВАС и ∠САD:

В итоге получается, что в ∆АВD каждый из углов 60°. Это означает, что он является равносторонним, то есть его стороны равны. В частности

Именно это и необходимо было доказать. Аналогично с помощью такого же построения можно доказать обратное утверждение – у прямоугольного треуг-ка, в котором гипотенуза вдвое длиннее одного из катетов, острый угол (тот самый, который лежит против этого катета) равен 30°.

Задание. В треуг-ке СMH угол С – прямой. Внешний угол при вершине M составляет 120°. Известно, что сумма МН и МС составляет 18 см. Чему равны МН и МC?

Решение. Выполним построение треугольника согласно указанным условиям:

Внешний угол треугольника равен сумме тех 2 углов, которые не смежны с ним. То есть

Итак, рассматриваемый нами треуг-к имеет острый угол, равный 30°. Из этого следует, что катет МС вдвое короче гипотенузы МН:

Задание: У равнобедренного треуг-ка ECB основанием является EC. Известно, что ∠В = 120°. Высота, опущенная из точки Сна боковую сторону ЕВ, равна 9 см. Чему равна длина основания?

Обозначим высоту как СН. Обратите внимание, что в данном случае высота падает не на сам отрезок ЕВ, а на его продолжение. Эта особенность характерна для всех тупоугольных треуг-ков.

Изучим ∆ЕВС. С одной стороны, он равнобедренный. Значит, углы при его основании равны:

Но в сумме все углы треугольника дают 180°. Это позволяет найти углы при его основании:

Итак, углы при основании треуг-ка равны 30°. Теперь внимательно посмотрим на другой треуг-к – ЕНС. С одной стороны, он является прямоугольным, ведь ∠ЕНС = 90°. С другой стороны, мы только что вычислили, что один из его острых углов, ∠НЕС, равен 30°. Это значит, что катет НС вдвое должен быть вдвое короче гипотенузы ЕС:

Видео:№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Ранее мы доказали три признака равенства треуг-ков. Зная их, можно составить особые признаки равенства прямоугольных треугольников.

Пусть у двух треуг-ков равны катеты. Но угол между катетами всегда равен 90°. Но если у треуг-ков совпадают две стороны и угол между ними, то они равны друг другу (по первому признаку). Поэтому можно сформулировать такую теорему:

Треуг-ки окажутся равными и в том случае, если у них одинаковы гипотенуза и один из острых углов. Ведь тогда у них будут одинаковы сторона (гипотенуза) и прилегающие к ней углы (прямой и острый угол).

Наконец, есть ещё один признак – по одинаковым катету и гипотенузе.

Последняя теорема нуждается в доказательстве. Пусть есть ∆АВС и ∆А₁В₁С₁, у которых прямыми являются∠С и ∠С₁, при этом равны гипотенузы (АВ = А₁В₁) и одни из катетов, например, ВС = В₁С₁. Наложим ∆А₁В₁С₁ на ∆АBС так, чтобы совпали вершины С, а также стороны СВ и СА наложились на лучи С₁В₁ и С₁А₁. Это можно сделать, так как углы С и С₁ равны друг другу.

Очевидно, что при этом также совпадут и точки В и В₁, ведь ВС = В₁С₁. А что будет с точками А и А₁, могут ли они не совпасть? Предположим, что это так, тогда картинка будет выглядеть так:

Рассмотрим получившийся треуг-к АА₁В. Он является равнобедренным, так как гипотенузы АВ и А₁В₁ равны. Однако угол ∠ВАА₁ – тупой, ведь он является смежным с острым углом ∠САВ. Может ли существовать равнобедренный треуг-к, у которого угол при основании тупой? Не может, ведь тогда и второй его угол при основании был бы тупым, и их сумма оказалась бы больше 180°. Получившееся противоречие означает, что исходная предпосылка суждения, согласно которой точки А и А₁ могут не совпасть, ошибочна. Следовательно, они совпадают. Получается, что можно так наложить треуг-ки АВС и А₁В₁С₁ друг на друга, что все их вершины совпадают. Но это и означает, что треуг-ки равны.

Задание. В равнобедренном треуг-ке из вершин, лежащих в основании, опущены высоты на противоположные стороны. Докажите, что они равны друг другу.

Решение. Сначала построим рисунок. Традиционно обозначим треуг-к как АВС, причем АС будет его основанием. Высоты обозначим как CD и АЕ:

Нам требуется показать, что СD = AE. Видно, что у нас есть два треуг-ка, ∆АСE и ∆АСD, которые кажутся равными. Докажем, что они действительно равны. С одной стороны, оба треуг-ка являются прямоугольными, ведь АЕ и СD – это высоты:

ведь это углы при основании равнобедренного треуг-ка. В итоге получаем, что у двух треуг-ков равны как гипотенузы, так и один из острых углов. Следовательно, ∆АDCи ∆АЕС равны. Но из этого следует, что у них одинаковы катеты DCи АЕ, чье равенство как раз необходимо доказать.

Задание. Треуг-к АВС – равнобедренный, с основанием АС. Высоты СDи АЕ пересекаются в точке М. Известно, что ∠АМС = 140°. Вычислите углы треуг-ка АВС.

Решение. Данная задача во многом повторяет предыдущую, поэтому мы используем картинку из неё:

В предыдущей задаче мы уже доказали, что ∆ADC = ∆AEC. Из этого равенства следует, что АD = ЕС. Теперь рассмотрим ∆АDM и ∆СЕМ. Они оба являются прямоугольными, ведь

У них есть одинаковые катеты: АD = ЕС. Также у треуг-ков есть одинаковые острые углы, это ∠DMAи ∠ЕМС (они равны, так как являются вертикальными). Если у двух прямоугольных треуг-ков совпадает один острый угол, то должен совпадать и второй, ведь их сумма постоянна и составляет 90°. Получается, что ∠DAM = ∠ECM.

В итоге у двух прямоугольных треуг-ков, ∆DMA и ∆ЕМС, равны катеты и прилегающий к ним острый угол. Значит, ∆DMA = ∆EMC. Но тогда АМ = МС. Получается, что ∆МАС является равнобедренным, и углы при его основании равны:

Найдем эти углы равнобедренного треугольника, записав сумму углов ∆МАС:

Следующий шаг – находим угол ∠DAM. Сумма острых углов прямоугольного треуг-ка равна 90°, поэтому запишем равенство:

Для наглядности отметим все найденные нами углы на рисунке:

Задание. В ∆КЕН известны два угла: ∠К = 55° и ∠Е = 67°. В ∆КЕН проведены высоты ЕР и КТ. Чему равен угол ∠КМЕ?

Решение: Как всегда, начинаем с построения:

У нас есть два прямоугольных треуг-ка, у которых известен один из острых углов. Это ∆КРЕ и ∆КТЕ. Но если известен один из острых углов, то можно найти и второй, ведь их сумма составляет 90°. Для ∆РКЕ можно записать равенство:

Теперь в ∆КМЕ нам известны сразу два угла, ∠ТКЕ и ∠КЕР. Значит, можно найти и третий угол, ведь их сумма известна (она составляет 180°):

Задание. На сторонах луча О отмечены точки А и В, причем эти точки равноудалены от О. Через А и В проведены прямые, перпендикулярные сторонам угла. Эти прямые пересекаются в точке С. Докажите, что ОС – это биссектриса угла О.

Решение. Построим картинку по условию задачи:

Попробуем показать, что ∆ОАС = ∆ОСВ. Оба эти треуг-ка являются прямоугольными. Гипотенуза у них общая – это ОС. Также у них есть одинаковые катеты, ведь ОА = ОВ (так как А и В равноудалены от О). Получаем, что у треуг-ков ОАС и ОСВ совпадают гипотенуза и один из катетов. Этого достаточно для того, чтобы считать треуг-ки равными.

Но если ∆ОАС = ∆ОСВ, то ∠АОС = ∠СОВ. Получается, что ОС разбивает луч АОВ на два равных угла. А это как раз и значит, что ОС является биссектрисой.

Однако полностью задачу мы ещё не решили. Обратите внимание, что в условии сказано, что через А и В проходят прямые, перпендикулярные сторонам угла. На нашем рисунке АС⊥ОА и ВС⊥ОВ. Но ведь можно выполнить построение и иначе, когда АС⊥ОВ, а ВС⊥ОА. Тогда рисунок будет выглядеть значительно сложнее:

Здесь буквами D и E обозначены точки пересечения перпендикулярных прямых и сторон угла. Нам снова надо доказать, что ∠АОС = ∠СОВ. Заметим, что АВ – это основание равнобедренного треуг-ка ОАВ (ведь ОА = ОВ). Значит, ∠ОАВ = ∠ОВА (углы при основании). На следующем шаге сравним ∆ADB и ∆АЕВ. Они прямоугольные, а гипотенуза АВ у них общая. Только что мы выяснили, что у них совпадает и один из острых углов (∠ОАВ = ∠ОВА). На основании этого можно утверждать, что ∆АЕВ = ∆АDВ.

Из этого равенства следует, что AD = EB. Далее сравним отрезки ОD и ОЕ. Для них можно записать соотношения:

Но АО = ОВ (по условию), а AD = EB. Отсюда следует, что и ОD = ОЕ.

Теперь мы можем рассмотреть ∆DOCи ∆СОВ. У них равны катеты OD и ОЕ, а гипотенуза ОС является общей. Значит, треуг-ки равны. Но тогда ∠АОС = ∠СОВ, а именно этот факт нам и надо доказать.

Видео:7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольникиСкачать

Понятие расстояния между точкой и прямой

Ранее мы принимали за расстояние между двумя точками длину отрезка, соединяющего их. То есть утверждения «отрезок НВ равен 5 см» и «расстояние между точками Н и В равно 5 см» эквиваленты друг другу. Однако в геометрии расстояние можно определить и между точкой и прямой.

Рассмотрим некоторую прямую b и произвольную точку А, не лежащую на ней. Опустим из точки перпендикуляр на прямую, и точку их пересечения обозначим как Н. Также отметим на прямой точку М, не совпадающую с Н, и соединим ее с А:

В результате мы получаем прямоугольный треуг-к АНМ. Так как АМ – гипотенуза, то она длиннее катета АН:

Прямую АМ называют наклонной к прямой, а АН – это перпендикуляр. Получаем, что перпендикуляр из точки всегда короче, чем наклонная. Именно длину перпендикуляра называют расстоянием между точкой и прямой. Другими словами, расстояние между прямой и точкой – это наименьшая возможная длина отрезка, соединяющего эту точку с прямой.

Задание. Докажите, что середина основания р-бедр. треуг-ка равноудалена от боковых сторон треугольника.

Решение. Обозначим вершины треуг-ка буквами А, В и С, причем АС – основание. Буквой Н обозначим середину АС. Естественно, что АН = НС. Теперь опустим из Н перпендикуляры на стороны АВ и ВС, которые обозначим как НМ и НЕ:

Нам необходимо доказать, что НМ = НЕ. Для этого сравним ∆АМН и ∆НЕС. Они прямоугольные. Их гипотенузы равны, ведь АН = НС. Также ∠А = ∠С, ведь это углы при основании равнобедренного треуг-ка. Значит, ∆АМН и ∆НЕС равны по равны по равному острому углу и гипотенузе. А из равенства треуг-ков следует, что МН = НЕ.

Задание. Докажите, что концы отрезка равноудалены от прямой, проходящей через середину этого отрезка.

Решение. Обозначим отрезок как АС, а его середину буквой Н. Опустим из А и С перпендикуляры АР и СМ на прямую, проходящую через Н:

Требуется доказать, что АР = СМ. Рассмотрим ∆АНР и ∆МНС. Они прямоугольные, при этом АН = НС (по условию). Ясно, что ∠АНР = ∠МНС, ведь они являются вертикальными. Если у прямоугольных треуг-ков равны гипотенуза и один из острых углов, то такие треуг-ки равны, то есть ∆АНР = ∆МНС. Из этого следует, что АР = СМ.

Видео:ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ДВУМ КАТЕТАМ. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

Расстояние между параллельными прямыми

Построим пару параллельных прямых. Далее из одной точки, лежащей на первой прямой, опустим перпендикуляр на вторую прямую. Длина этого перпендикуляра будет считаться расстоянием между параллельными прямыми:

Возникает логичный вопрос – а зависит ли расстояние между параллельными прямыми от выбора точки, из которой опускается перпендикуляр? Естественно, не зависит, но это надо доказать. Пусть есть прямые а и b, причем а||b. Выберем на а произвольные точки Р и К и опустим из них перпендикуляры РМ и КС на b. Докажем, что РМ = КС.

Сначала заметим, КС перпендикулярно не только b, но и а, ведь прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой параллельной прямой. Теперь рассмотрим ∆РМС и ∆РКС. Они прямоугольные, у них есть общая гипотенуза РС. Заметим, что ∠РКС = ∠РСМ, ведь это накрест лежащие углы. Получается, что ∆РКС = ∆РМС. Значит, РМ = КС, что и необходимо доказать.

Задание. Прямая АВ параллельна прямой СD. Известно, что AD = 6 см, ∠ADC = 30°. Чему равна расстояние между АВ и СD?

Решение. Выполним построение:

Опустим из А перпендикуляр на СD, который пересечет прямую в точке Н. Расстояние между прямыми будет равно длине АН, а ее можно найти из ∆АНD. Он является прямоугольным, а один из его острых углов (∠АDH) равен 30°. Это значит, что катет АН вдвое короче, чем гипотенуза АD:

AH = AD:2 = 6:2 = 3 см

«Домашка» делается самостоятельно и легко, когда урок усвоен. В этом вам помогут онлайн-курсы.

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Построение треугольника по трем элементам

Рассмотрим важную практическую задачу. Нам известны три признака равенства треуг-ка, каждый из которых требует, чтобы у треуг-ков совпадали три элемента. Другими словами, часто по трем элементами можно однозначно построить треуг-к. Рассмотрим, как это делается.

Пусть известны две стороны треугольника и угол между ними. Например, надо построить треуг-к со сторонами 6 и 4 см, а угол между ними равен 45°. В этом случае сначала надо построить угол, а потом отложить на его лучах отрезки длиной 4 и 6 см. Далее концы этих отрезков необходимо соединить:

Очень легко построение треугольника по стороне и прилегающей к ней углам. Пусть сторона треугольника равна 10 см, а прилегающие к ней углы должны равняться 20° и 50°. В этом случае на первом шаге следует построить отрезок длиной 10 см. Далее от одной из его вершин надо отложить луч, образующий угол в 50° с отрезком(естественно, можно начать и с угла 20°). На последнем шаге из второй вершины откладывается луч, образующий угол 20°. Точка пересечения этих двух лучей и будет третьей вершиной треуг-ка:

Построение треугольника по трем сторонам вызывает у школьников куда большие затруднения. Пусть нужно построить треуг-к со сторонами 10, 8 и 5 см. Сначала откладывается отрезок, равный одной из сторон, например, 10 см. Далее. Из концов этого отрезка проводятся окружности, чьи радиусы равны 2 оставшимся сторонам. Если длины сторон удовлетворяют неравенству треуг-ка, то окружности пересекутся в двух точках. Осталось соединить концы первого отрезка с любой из этих точек, и получится требуемый треуг-к:

Попробуйте самостоятельно использовать этот метод для сторон, которые не удовлетворяют неравенству треуг-ка, например, для 3, 4 и 8 см. Если вы всё сделаете правильно, то окружности просто не пересекутся, и построить треуг-к не удастся.

В трех рассмотренных примерах ответ задачи был единственным. Однако иногда существует несколько неравных друг другу треуг-ка, у которых равны 3 элемента. Для примера попытаемся построить треуг-к РЕН, у которого РЕ = 10 см, РН = 7 см, ∠Е = 30°. Сначала построим отрезок РЕ. Далее от одной из его вершин, например от Е, отложим угол 30°. На следующем шаге строим окружность радиусом 7 см, центр которой располагается в точке Р. Она пересечет угол в двух точках, Н₁ и Н₂. В итоге получается, что есть сразу два треуг-ка, удовлетворяющие условию задачи – РЕН₁ и РЕН₂. Они явно не равны друг другу, так как РЕН₂ является тупоугольным, а РЕН₁ – остроугольным треуг-ком:

Итак, мы узнали много нового о прямоугольных треуг-ках, научились определять расстояние между прямой и точкой и между двумя параллельными прямыми, а также узнали, как строить треуг-ки по 3 элементам. Эти знания помогут в дальнейшем освоении геометрии.

Видео:Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу.Скачать

Как построить треугольник равный данному треугольнику?

Видео:Построение прямоугольного треугольника по катету и противолежащему острому углуСкачать

Как строить треугольник по 3 сторонам?

построение треугольника по трём сторонам.

1. Провести прямую.
2. На прямой от выбранной точки A отложить отрезок, равный данному отрезку a, и отметить другой конец отрезка B.
3. Провести окружность с центром A и радиусом, равным отрезку b.
4. Провести окружность с центром B и радиусом, равным отрезку c.

Видео:Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Как построить угол равный данному?

Чтобы построить угол равный данному, проводим прямую и ставим на ней точку. Это будет вершина нашего угла. Берем циркуль с произвольным раствором, ставим его на вершину данного угла. Проводим дугу таким образом, чтобы она пересекла лучи данного угла.

Видео:№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать

Можно ли построить треугольник по двум сторонам и медиане?

Отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, называют медианой. Зная длины двух сторон и медианы, соединяющихся в одной из вершин, можно построить треугольник, не имея данных о длине третьей стороны или величинах углов.

Видео:Нахождение натуральной величины отрезка методом прямоугольного треугольникаСкачать

Как построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету?

По катету и гипотенузе прямоугольный треугольник можно построить как минимум двумя способами. Способ 1: Начертить прямую и отложить на ней меньший отрезок (обозначим его как AB). Для построения перпендикулярной прямой отложить такой же отрезок по другую сторону одной из точек концов отрезка, отложенного в п.

Видео:Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и медиане проведённый из вершины этого углаСкачать

Когда равны прямоугольные треугольники?

По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Как начертить отрезок с помощью циркуля и линейки?

Одно из решений показано на рисунке:

1. Циркулем проводим окружности с центром в точках A и B радиусом AB.
2. Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей (дуг).
3. По линейке проводим отрезок или линию, проходящую через точки P и Q.
4. Находим искомую середину отрезка AB — точку пересечения AB и PQ.

Видео:Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?Скачать

Как построить середину данного отрезка?

Для нахождения середины отрезка на плоскости можно сначала построить две дуги равного (и достаточно большого) радиуса с центрами в концах отрезка, а затем через точки пересечения этих дуг провести прямую. Точка, где полученная прямая пересекает отрезок, является его серединой.

Видео:Лекция 1. Точка на прямой. Метод прямоугольного треугольникаСкачать

Как рассчитать градус треугольника?

Если известны стороны треугольника, можно рассчитать его углы, воспользовавшись теоремой косинусов. Здесь, квадрат одной стороны треугольника (а) равен сумме квадратов двух его других сторон (b,с), образующих искомый угол (α), плюс удвоенное произведение этих сторон (b,с) на косинус угла.

Видео:КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

Как сделать правильный треугольник?

Циркуль Проведите прямую линию. На лист бумаги положите линейку и проведите карандашом вдоль длинной стороны линейки. Полученный отрезок является первой стороной равностороннего треугольника, то есть вам нужно нарисовать еще две стороны той же длины, а каждый угол между сторонами должен быть равен 60 градусам.

Как при помощи циркуля построить треугольник?

Построение правильного треугольника. Способ 1

1. Как построить равносторонний треугольник с помощью циркуля Шаг 1. Проведите отрезок АВ, длина которого равна а. .
2. Шаг 2. Возьмите циркуль. .
3. Шаг 3. Теперь неподвижную часть циркуля поставьте в точку В, а подвижную в точку А. .
4. Шаг 4. Окружности пересекаются в двух точках.