Как решать тригонометрические неравенства без окружности (4 видео)

Простейшие и сложные тригонометрические неравенства

Неравенства – это соотношения вида a › b, где a и b – есть выражения, содержащие как минимум одну переменную. Неравенства могут быть строгими – ‹, › и нестрогими – ≥, ≤.

Тригонометрические неравенства представляют собой выражения вида: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в которых F(x) представлено одной или несколькими тригонометрическими функциями.

Содержание

Простейшие тригонометрические неравенства
Способ 1 – Решение неравенств с помощью построения графика функции
Способ 2 – Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности
Сложные тригонометрические неравенства
Урок по теме «Решение тригонометрических неравенств»
Простейшие тригонометрические неравенства
п.1. Решение неравенств с синусом
п.2. Решение неравенств с косинусом
п.3. Решение неравенств с тангенсом
п.4. Решение неравенств с котангенсом
п.5. Примеры
📽️ Видео

Видео:10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенстваСкачать

Простейшие тригонометрические неравенства

Примером простейшего тригонометрического неравенства является: sin x ‹ 1/2. Решать подобные задачи принято графически, для этого разработаны два способа.

Способ 1 – Решение неравенств с помощью построения графика функции

Чтобы найти промежуток, удовлетворяющий условиям неравенство sin x ‹ 1/2, необходимо выполнить следующие действия:

На координатной оси построить синусоиду y = sin x.
На той же оси начертить график числового аргумента неравенства, т. е. прямую, проходящую через точку ½ ординаты ОY.
Отметить точки пересечения двух графиков.
Заштриховать отрезок являющийся, решением примера.

Когда в выражении присутствуют строгие знаки, точки пересечения не являются решениями. Так как наименьший положительный период синусоиды равен 2π, то запишем ответ следующим образом:

Если знаки выражения нестрогие, то интервал решений необходимо заключить в квадратные скобки – [ ]. Ответ задачи можно также записать в виде очередного неравенства:

Способ 2 – Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Подобные задачи легко решаются и с помощью тригонометрического круга. Алгоритм поиска ответов очень прост:

Сначала стоит начертить единичную окружность.
Затем нужно отметить значение аркфункции аргумента правой части неравенства на дуге круга.
Нужно провести прямую проходящую через значение аркфункции параллельно оси абсциссы (ОХ).
После останется только выделить дугу окружности, являющуюся множеством решений тригонометрического неравенства.
Записать ответ в требуемой форме.

Разберем этапы решения на примере неравенства sin x › 1/2. На круге отмечены точки α и β – значения

Точки дуги, расположенные выше α и β, являются интервалом решения заданного неравенства.

Если нужно решить пример для cos, то дуга ответов будет располагаться симметрично оси OX, а не OY. Рассмотреть разницу между интервалами решений для sin и cos можно на схемах приведенных ниже по тексту.

Графические решения для неравенств тангенса и котангенса будут отличаться и от синуса, и от косинуса. Это обусловлено свойствами функций.

Арктангенс и арккотангенс представляют собой касательные к тригонометрической окружности, а минимальный положительный период для обеих функций равняется π. Чтобы быстро и правильно пользоваться вторым способом, нужно запомнить на какой из оси откладываются значения sin, cos, tg и ctg.

Касательная тангенс проходит параллельно оси OY. Если отложить значение arctg a на единичном круге, то вторая требуемая точка будет расположено в диагональной четверти. Углы

являются точками разрыва для функции, так как график стремится к ним, но никогда не достигает.

В случае с котангенсом касательная проходит параллельно оси OX, а функция прерывается в точках π и 2π.

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 10 класс тригонометрияСкачать

Сложные тригонометрические неравенства

Если аргумент функции неравенства представлен не просто переменной, а целым выражением содержащим неизвестную, то речь уже идет о сложном неравенстве. Ход и порядок его решения несколько отличаются от способов описанных выше. Допустим необходимо найти решение следующего неравенства:

Графическое решение предусматривает построение обычной синусоиды y = sin x по произвольно выбранным значениям x. Рассчитаем таблицу с координатами для опорных точек графика:

В результате должна получиться красивая кривая.

Для простоты поиска решения заменим сложный аргумент функции

Пересечение двух графиков позволяет определить область искомых значений, при которых выполняется условие неравенства.

Найденный отрезок является решением для переменной t:

Однако, цель задания найти все возможные варианты неизвестной x:

Решить двойное неравенство достаточно просто, нужно перенести π/3 в крайние части уравнения и произвести требуемые вычисления:

Ответ на задание будет выглядеть как интервал для строгого неравенства:

Подобные задачи потребует опыта и сноровки учащихся в обращении с тригонометрическими функциями. Чем больше тренировочных заданий будет решено в процессе подготовке, тем проще и быстрее школьник найдет ответ на вопрос ЕГЭ теста.

Видео:Как решать тригонометрические неравенства?Скачать

Урок по теме «Решение тригонометрических неравенств»

Разделы: Математика

Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися 10-го класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.

Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические неравенства на окружности.

Остановлюсь на основных этапах рассуждения при решении простейших тригонометрических неравенств.

Находим на окружности точки, синус (косинус) которых равен данному числу.
В случае строгого неравенства отмечаем на окружности эти точки, как выколотые, в случае нестрогого – как заштрихованные.
Точку, лежащую на главном промежутке монотонности функции синус (косинус), называем Р_t1, другую точку – Р_t2.
Отмечаем по оси синусов (косинусов) промежуток, удовлетворяющий данному неравенству.
Выделяем на окружности дугу, соответствующую данному промежутку.
Определяем направление движения по дуге (от точки Р_t1 к точке Р_t2по дуге), изображаем стрелку по направлению движения, над которой пишем знак “+” или “-” в зависимости от направления движения. (Этот этап важен для контроля найденных углов. Ученикам можно проиллюстрировать распространенную ошибку нахождения границ интервала на примере решения неравенства по графику синуса или косинуса и по окружности).
Находим координаты точек Р_t1 (как арксинус или арккосинус данного числа)и Р_t2т.е. границы интервала, контролируем правильность нахождения углов, сравнивая t₁и t_2.
Записываем ответ в виде двойного неравенства (или промежутка) от меньшего угла до большего.

Рассуждения при решении неравенств с тангенсом и котангенсом аналогичны.

Рисунок и запись решения, которые должны быть отражены в тетради у учеников, приведены в предлагаемом конспекте.

Конспект урока по теме: “Решение тригонометрических неравенств”.

Задача урока – продолжить изучение решения тригонометрических неравенств, содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.

закрепление знаний тригонометрических формул, табличных значений тригонометрических функций, формул корней тригонометрических уравнений;

формирование навыка решения простейших тригонометрических неравенств;

освоение приёмов решения более сложных тригонометрических неравенств;

развитие логического мышления, смысловой памяти, навыков самостоятельной работы, самопроверки;

воспитание аккуратности и чёткости в оформлении решения, интереса к предмету, уважения к одноклассникам.

формирование учебно-познавательных, информационных, коммуникативных компетенций.

Оборудование: графопроектор, раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, переносная доска, карточки с домашним заданием.

Форма организации обучения – урок. Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемно-поисковые, индивидуального и фронтального опроса, устного и письменного самоконтроля, самостоятельной работы.

Этапы урока

Содержание

Организация класса на работу.

Проверка домашнего задания.

(Сбор тетрадей с домашней работой)

Формулировка цели урока.

– Сегодня на уроке повторим решение простейших тригонометрических неравенств и рассмотрим более сложные случаи.

Устная работа.

(Задания и ответы записаны на кодоскопной ленте, открываю ответы по ходу решения)

sinx = —, 2sinx =, sin2x = , sin(x – ) = 0, cosx = ,

cosx = —, cos2x = 1, tgx = -1.

Назовите главные промежутки монотонности функций синус и косинус.

Повторение.

– Вспомним алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.

(На доске – заготовки двух окружностей. Вызываю по одному двух учащихся для решения неравенств.Ученик подробно объясняет алгоритм решения.Класс работает совместно с отвечающими у доски на заранее подготовленных карточках с изображением окружности).

1) sinx —;

t₁ = arccos(-) = p – arccos =

= p – = ;

t_{2 = —};

— + 2p n t₂;

t₁ = arcsin = ;

t_{2 =} -p — = —;

+ 2p n 2 2x – 2cos2x 0.

(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений вынесением общего множителя за скобку).

cos2x(cos2x – 2) 0.

Замена: cos2x = t, 1; t(t – 2) 0; Второе неравенство не удовлетворяет условию 1.

cos2x 0. (Решить неравенство самостоятельно. Проверить ответ).

Ответ: + p n 2 x – 5sinx + 1 0.

(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений заменой переменной. У доски решает ученик с комментариями).

Замена sinx = t, 1. 6t 2 – 5t +1 0, 6(t – )(t – ),

Ответ: + 2p n х + 2p n, -p -arcsin+ 2p k х arcsin+ 2p k, n, k Z.

№3. sinx + cos2x> 1.

(Обсуждаем варианты решения. Вспоминаем фомулу косинуса двойного угла. Класс решает самостоятельно, один ученик – на индивидуальной доске с последующей проверкой).

sinx + cos2x – 1> 0, sinx – 2sin 2 x> 0, sinx(1 – 2sinx) > 0,

2p n 2 + () 2 = 1, то существует такой угол , что cos = , а sin = . Перепишем предыдущее неравенство в виде: sin(x + ) . Последнее неравенство, а, значит, и исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при каждома таком, что -1, то есть при каждом а -5. Ответ: а -5.

Домашнее задание.

(Раздаю карточки с записью домашнего задания.Комментирую решение каждого неравенства).

cosx > sin 2 x;
4sin2xcos2x 2 sin 2 – 0,5;
sinx + cosx > 1.

Повторить тригонометрические формулы сложения, подготовиться к самостоятельной работе.

Подведение итогов, рефлексия.

– Назовите приемы решения тригонометрических неравенств.

– Каким образом знание алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств используется при решении более сложных неравенств?

– Какие неравенства вызвали наибольшее затруднение?

(Оцениваю работу учащихся на уроке).

Самостоятельная работа
по результатам освоения материала

Вариант 1

Решите неравенства 1 – 3:

sin3x – 2 x + 3cosx > 0;
coscos2x – sinsin2x —.
Определите все а, при каждом из которых неравенство 12sinx + 5cosx а имеет хотя бы одно решение.

Вариант 2

Решите неравенства 1 – 3:

2cos> 1;
sin 2 x – 4sinx

Видео:РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

Простейшие тригонометрические неравенства

п.1. Решение неравенств с синусом

Алгоритм решения неравенства (sinxgt a)

Шаг 1. В числовой окружности на оси синусов отметить точку с ординатой (a). Провести горизонталь (y=a), отметить точки её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение (sin⁡x=a). Про решение простейших тригонометрических уравнений – см. §19 данного справочника. Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.

Шаг 3. Дуга числовой окружности над проведенной горизонталью – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: ((arcsina+2pi k; pi-arcsin a+2pi k))

Как решать тригонометрические неравенства без окружности

$$ sin xgt frac12 $$ 1. Проводим горизонталь (y=frac12), отмечаем точки пересечения (незакрашенные, т.к. неравенство строгое).
2. Решаем уравнение (sinx=frac12) begin x=(-1)^kfracpi6+pi k= left[ begin fracpi6+2pi k\ frac+2pi k end right. end Подписываем точку справа (fracpi6) и точку слева (frac).
3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: ((fracpi6; frac)). Добавляем к концам интервала полный период.
Ответ: (left(fracpi6;+2pi k; frac+2pi kright))

Алгоритм решения неравенства (sinxgeq a) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).

Алгоритм решения неравенства (sin⁡xlt a) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу под горизонталью (y=a). При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания. Поэтому угол слева пишут отрицательным (отсчитывая период назад).

Наконец, в неравенстве (sin⁡xleq a) всё будет то же, что и в (sin⁡xlt a). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками).

$$ sin xleq -frac<sqrt> $$ 1. Проводим горизонталь (y=-frac<sqrt>), отмечаем точки пересечения (закрашенные, т.к. неравенство нестрогое).
2. Решаем уравнение (sinx=-frac<sqrt>) begin x=(-1)^kleft(-fracpi4right)+pi k= left[ begin -frac+2pi k\ -frac+2pi k end right. end Подписываем точку справа (-frac) и точку слева (-frac).
3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем отрезок: (left[-frac;-fracright]). Добавляем к концам отрезка полный период.
Ответ: (left[-frac+2pi k;-frac+2pi kright])

п.2. Решение неравенств с косинусом

Алгоритм решения неравенства (cosxgt a)

Шаг 1. В числовой окружности на оси косинусов отметить точку с абсциссой (a). Провести вертикаль (x=a), отметить точки её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение (cos⁡x=a). Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.

Шаг 3. Дуга числовой окружности справа от проведенной вертикали – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: ((-arccos⁡a+2pi k; arccos⁡a+2pi k))

$$ cosxgt frac<sqrt> $$ 1. Проводим вертикаль (x=frac<sqrt>), отмечаем точки пересечения (незакрашенные, т.к. неравенство строгое).
2. Решаем уравнение (cosx=frac<sqrt>) begin x=pmfracpi6+2pi k end Подписываем точку снизу (-fracpi6) и точку сверху (frac).
3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: (left(-fracpi6;fracpi6right)). Добавляем к концам интервала полный период.
Ответ: (left(-fracpi6;+2pi k; frac+2pi kright))

Алгоритм решения неравенства (cosxgeq a) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).

Алгоритм решения неравенства (cosxlt a) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу слева от вертикали (x=a). При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания, сверху вниз. Значение угла снизу должно быть больше, чем угла сверху.

Наконец, в неравенстве (cos⁡xleq a) всё будет то же, что и в (cosxlt a). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками).

п.3. Решение неравенств с тангенсом

Алгоритм решения неравенства (tgxgt a)

Шаг 1. На оси тангенсов (касательной к числовой окружности в точке (1,0)) отметить точку с ординатой (a). Провести луч из начала координат через отмеченную точку, отметить точку её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение (tg⁡x=a). Полученное базовое решение является значением точки пересечения.

Шаг 3. Дуга числовой окружности от отмеченной точки до (fracpi2) (в которой (tgxrightarrow +infty)) – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: (left(arctga+pi k; fracpi2+pi kright))

$$ tg xgt -frac<sqrt> $$ 1. На оси тангенсов отмечаем точку (-frac<sqrt>). Проводим луч из начала координат через эту точку.
2. Решаем уравнение (tgx=-frac<sqrt>) begin x=-fracpi6+pi k end Подписываем точку снизу (-fracpi6.) Верхней границей интервала будет (fracpi2), угол, в котором (tgxrightarrow +infty .)
3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: (left(-fracpi6;fracpi2right)). Добавляем к концам интервала период для тангенса.
Строго говоря, на числовой окружности длиной (2pi) получим две дуги для тангенса с периодом (pi). Ответ: (left(-fracpi6;+pi k; frac+pi kright))

Алгоритм решения неравенства (tg⁡xlt a) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу от точки (-fracpi2) (в которой (tgxrightarrow -infty)) до найденного арктангенса.

Для нестрогих неравенств будут получаться полуинтервалы, в которых точки (pmfracpi2) ((tgxrightarrow pminfty)) будут ограничены круглой скобкой, а найденные арктангенсы – квадратной.

п.4. Решение неравенств с котангенсом

Решение неравенств с котангенсом аналогично решению с тангенсом. Для решения используется ось котангенсов (касательная к числовой окружности в точке (0;1)).

В неравенствах вида (ctgxgt a) пределу (ctgxrightarrow +infty) соответствует угол 0.

В неравенствах вида (ctgxlt a) пределу (ctgxrightarrow -infty) соответствует угол (pi).

п.5. Примеры

Пример 1. Решите неравенства:

a) (sinxleq frac<sqrt>) $$ xinleft[-frac+2pi k; frac+2pi kright] $$	б) (cosxlt -frac) $$ xinleft(frac+2pi k; frac+2pi kright) $$
в) (sinxgt -frac<sqrt>) $$ xinleft(-frac+2pi k; frac+2pi kright] $$	г) (tgxgeq 1) $$ xinleft.left(-frac+pi k; frac+pi kright.right] $$

Пример 2*. Решите неравенства:

a) (cosxgt -1)
Справа от вертикали (x=-1) расположена вся числовая окружность, кроме точки (pi).

Ответ: (xne pi+2pi k)б) (4cos^2frac x2-3leq 0)
(4cdot fracleq 3)
(2+2cosxleq 3)
(cosxleqfrac12)

Ответ: (left[fracpi3+2pi k; frac+2pi kright])

в) (-sqrtlt tgxleq 5)
(-arctgsqrt+pi klt xleq arctg5+pi k)
(-fracpi3+pi klt xleq arctg5+pi k)
Ответ: (left.left(-frac+pi k; arctg5+pi kright.right])

г) (tgleft(x-fracpi4right)gtsqrt)
(arctgsqrt+pi klt x-fracpi4ltfracpi2+pi k)
(fracpi4+fracpi3+pi klt xltfracpi4+fracpi2+pi k)
(frac+pi klt xltfrac+pi k)
Ответ: (left(frac+pi k; frac+pi kright))