Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс

Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс

ГБОУ СОШ № 000 с углубленным изучением английского языка Адмиралтейского района Санкт-Петербурга

Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Тригонометрические неравенства одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. При решении простейших тригонометрических неравенств удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и верно записать множества решений данного неравенства.

Цель данной разработки — сформировать у школьников умения использовать тригонометрический круг при решении простейших неравенств вида sin x > a, sin x a, cosx , называются тригонометрическими неравенствами.

Решить тригонометрическое неравенство — это значит, найти множество значений неизвестных, входящих в неравенство, при которых неравенство выполняется.

Тригонометрические неравенства можно решать с помощью графиков функций y = sin x, y = cos x, y = tg x, y= ctg x Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классили с помощью единичной окружности.

Решение тригонометрических неравенств, сводится, как правило, к решению простейших неравенств вида: sin x>a, sin xКак решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классa, sin xКак решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классa, sin x

Алгоритм решения тригонометрических неравенств

с помощью единичной окружности.

1) На оси ординат (абсцисс) отметить точку a и провести прямую y = a (x = a), перпендикулярную соответствующей оси.

2) Отметить на окружности дугу, состоящую из точек окружности, удовлетворяющих данному неравенству (эти точки расположены по одну сторону от построенной прямой).

3) Записать числовой промежуток, точки которого заполняют отмеченную дугу, и к обеим частям неравенства прибавить период функции ( для y = sin x и y = cos x Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс).

Решение простейших неравенств вида sin x>a, sin xКак решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классa, sin xКак решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классa, sin x Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс

На единичной окружности проводим прямую y = Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс, которая пересекает окружность в точках A и B.

Все значения y на промежутке NM больше Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс, все точки дуги AMB удовлетворяют данному неравенству. При всех углах поворота, больших Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс, но меньших Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс, sin x будет принимать значения больше Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс(но не больше единицы).

Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс

Таким образом, решением неравенства будут все значения на интервале Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс, т. е. Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классa, cos xКак решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классa, cos xКак решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классa, cos x

Видео:Как решать тригонометрические неравенства?Скачать

Как решать тригонометрические неравенства?

Урок по теме «Решение тригонометрических неравенств»

Разделы: Математика

Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися 10-го класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.

Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические неравенства на окружности.

Остановлюсь на основных этапах рассуждения при решении простейших тригонометрических неравенств.

  1. Находим на окружности точки, синус (косинус) которых равен данному числу.
  2. В случае строгого неравенства отмечаем на окружности эти точки, как выколотые, в случае нестрогого – как заштрихованные.
  3. Точку, лежащую на главном промежутке монотонности функции синус (косинус), называем Рt1, другую точку – Рt2.
  4. Отмечаем по оси синусов (косинусов) промежуток, удовлетворяющий данному неравенству.
  5. Выделяем на окружности дугу, соответствующую данному промежутку.
  6. Определяем направление движения по дуге (от точки Рt1 к точке Рt2по дуге), изображаем стрелку по направлению движения, над которой пишем знак “+” или “-” в зависимости от направления движения. (Этот этап важен для контроля найденных углов. Ученикам можно проиллюстрировать распространенную ошибку нахождения границ интервала на примере решения неравенства по графику синуса или косинуса и по окружности).
  7. Находим координаты точек Рt1 (как арксинус или арккосинус данного числа)и Рt2т.е. границы интервала, контролируем правильность нахождения углов, сравнивая t1и t2.
  8. Записываем ответ в виде двойного неравенства (или промежутка) от меньшего угла до большего.

Рассуждения при решении неравенств с тангенсом и котангенсом аналогичны.

Рисунок и запись решения, которые должны быть отражены в тетради у учеников, приведены в предлагаемом конспекте.

Конспект урока по теме: “Решение тригонометрических неравенств”.

Задача урока – продолжить изучение решения тригонометрических неравенств, содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.

  • закрепление знаний тригонометрических формул, табличных значений тригонометрических функций, формул корней тригонометрических уравнений;
  • формирование навыка решения простейших тригонометрических неравенств;
  • освоение приёмов решения более сложных тригонометрических неравенств;
  • развитие логического мышления, смысловой памяти, навыков самостоятельной работы, самопроверки;
  • воспитание аккуратности и чёткости в оформлении решения, интереса к предмету, уважения к одноклассникам.
  • формирование учебно-познавательных, информационных, коммуникативных компетенций.
  • Оборудование: графопроектор, раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, переносная доска, карточки с домашним заданием.

    Форма организации обучения – урок. Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемно-поисковые, индивидуального и фронтального опроса, устного и письменного самоконтроля, самостоятельной работы.

    Этапы урока

    Содержание

    Организация класса на работу.

    Проверка домашнего задания.

    (Сбор тетрадей с домашней работой)

    Формулировка цели урока.

    – Сегодня на уроке повторим решение простейших тригонометрических неравенств и рассмотрим более сложные случаи.

    Устная работа.

    (Задания и ответы записаны на кодоскопной ленте, открываю ответы по ходу решения)

      Решить тригонометрические уравнения:

    sinx = —Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс, 2sinx =Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс, sin2x = Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс, sin(x – Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс) = 0, cosx = Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс,

    cosx = —Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс, cos2x = 1, tgx = -1.

  • Назовите главные промежутки монотонности функций синус и косинус.
  • Повторение.

    – Вспомним алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.

    (На доске – заготовки двух окружностей. Вызываю по одному двух учащихся для решения неравенств.Ученик подробно объясняет алгоритм решения.Класс работает совместно с отвечающими у доски на заранее подготовленных карточках с изображением окружности).

    1) sinx Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классКак решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс;

    Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс

    t1 = arccos(-Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс) = p – arccos Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс=

    = p – Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс= Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс;

    t2 = —Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс;

    Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс+ 2p n t2;

    t1 = arcsin Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс= Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс;

    t2 = -p — Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс= —Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс;

    Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс+ 2p n 2 2x – 2cos2x Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс0.

    (Вспомним прием решения тригонометрических уравнений вынесением общего множителя за скобку).

    cos2x(cos2x – 2) Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс0.

    Замена: cos2x = t, Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс1; t(t – 2) Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс0; Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классВторое неравенство не удовлетворяет условию Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс1.

    cos2x Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс0. (Решить неравенство самостоятельно. Проверить ответ).

    Ответ: Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс+ p n 2 x – 5sinx + 1 Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс0.

    (Вспомним прием решения тригонометрических уравнений заменой переменной. У доски решает ученик с комментариями).

    Замена sinx = t, Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классКак решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс1. 6t 2 – 5t +1 Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс0, 6(t – Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс)(t – Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс), Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс

    Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс

    Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс

    Ответ: Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс+ 2p n Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классх Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классКак решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс+ 2p n, -p -arcsinКак решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс+ 2p k Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классх Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классarcsinКак решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс+ 2p k, n, k Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классZ.

    №3. sinx + cos2x> 1.

    (Обсуждаем варианты решения. Вспоминаем фомулу косинуса двойного угла. Класс решает самостоятельно, один ученик – на индивидуальной доске с последующей проверкой).

    sinx + cos2x – 1> 0, sinx – 2sin 2 x> 0, sinx(1 – 2sinx) > 0, Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс

    Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс

    2p n 2 + (Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс) 2 = 1, то существует такой угол Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс, что cos Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс= Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс, а sin Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс= Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс. Перепишем предыдущее неравенство в виде: sin(x + Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс) Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классКак решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс. Последнее неравенство, а, значит, и исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при каждома таком, что Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс-1, то есть при каждом а Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс-5. Ответ: а Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс-5.

    Домашнее задание.

    (Раздаю карточки с записью домашнего задания.Комментирую решение каждого неравенства).

    1. cosx > sin 2 x;
    2. 4sin2xcos2x 2 Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классКак решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классsin 2 Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс– 0,5;
    3. sinx + Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классcosx > 1.

    Повторить тригонометрические формулы сложения, подготовиться к самостоятельной работе.

    Подведение итогов, рефлексия.

    – Назовите приемы решения тригонометрических неравенств.

    – Каким образом знание алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств используется при решении более сложных неравенств?

    – Какие неравенства вызвали наибольшее затруднение?

    (Оцениваю работу учащихся на уроке).

    Самостоятельная работа
    по результатам освоения материала

    Вариант 1

    Решите неравенства 1 – 3:

    1. sin3x – Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс2 x + 3cosx > 0;
    2. cosКак решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классcos2x – sinКак решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классsin2x Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классКак решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс.
    3. Определите все а, при каждом из которых неравенство 12sinx + 5cosx Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класса имеет хотя бы одно решение.

    Вариант 2

    Решите неравенства 1 – 3:

    1. 2cosКак решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс> 1;
    2. sin 2 x – 4sinx

    Видео:10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенстваСкачать

    10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенства

    Простейшие тригонометрические неравенства

    п.1. Решение неравенств с синусом

    Алгоритм решения неравенства (sinxgt a)

    Шаг 1. В числовой окружности на оси синусов отметить точку с ординатой (a). Провести горизонталь (y=a), отметить точки её пересечения с окружностью.

    Шаг 2. Решить уравнение (sin⁡x=a). Про решение простейших тригонометрических уравнений – см. §19 данного справочника. Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.

    Шаг 3. Дуга числовой окружности над проведенной горизонталью – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
    Решение имеет вид: ((arcsina+2pi k; pi-arcsin a+2pi k))

    Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс$$ sin xgt frac12 $$ 1. Проводим горизонталь (y=frac12), отмечаем точки пересечения (незакрашенные, т.к. неравенство строгое).
    2. Решаем уравнение (sinx=frac12) begin x=(-1)^kfracpi6+pi k= left[ begin fracpi6+2pi k\ frac+2pi k end right. end Подписываем точку справа (fracpi6) и точку слева (frac).
    3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: ((fracpi6; frac)). Добавляем к концам интервала полный период.
    Ответ: (left(fracpi6;+2pi k; frac+2pi kright))

    Алгоритм решения неравенства (sinxgeq a) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).

    Алгоритм решения неравенства (sin⁡xlt a) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу под горизонталью (y=a). При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания. Поэтому угол слева пишут отрицательным (отсчитывая период назад).

    Наконец, в неравенстве (sin⁡xleq a) всё будет то же, что и в (sin⁡xlt a). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками).

    Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс$$ sin xleq -frac<sqrt> $$ 1. Проводим горизонталь (y=-frac<sqrt>), отмечаем точки пересечения (закрашенные, т.к. неравенство нестрогое).
    2. Решаем уравнение (sinx=-frac<sqrt>) begin x=(-1)^kleft(-fracpi4right)+pi k= left[ begin -frac+2pi k\ -frac+2pi k end right. end Подписываем точку справа (-frac) и точку слева (-frac).
    3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем отрезок: (left[-frac;-fracright]). Добавляем к концам отрезка полный период.
    Ответ: (left[-frac+2pi k;-frac+2pi kright])

    п.2. Решение неравенств с косинусом

    Алгоритм решения неравенства (cosxgt a)

    Шаг 1. В числовой окружности на оси косинусов отметить точку с абсциссой (a). Провести вертикаль (x=a), отметить точки её пересечения с окружностью.

    Шаг 2. Решить уравнение (cos⁡x=a). Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.

    Шаг 3. Дуга числовой окружности справа от проведенной вертикали – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
    Решение имеет вид: ((-arccos⁡a+2pi k; arccos⁡a+2pi k))

    Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс$$ cosxgt frac<sqrt> $$ 1. Проводим вертикаль (x=frac<sqrt>), отмечаем точки пересечения (незакрашенные, т.к. неравенство строгое).
    2. Решаем уравнение (cosx=frac<sqrt>) begin x=pmfracpi6+2pi k end Подписываем точку снизу (-fracpi6) и точку сверху (frac).
    3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: (left(-fracpi6;fracpi6right)). Добавляем к концам интервала полный период.
    Ответ: (left(-fracpi6;+2pi k; frac+2pi kright))

    Алгоритм решения неравенства (cosxgeq a) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).

    Алгоритм решения неравенства (cosxlt a) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу слева от вертикали (x=a). При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания, сверху вниз. Значение угла снизу должно быть больше, чем угла сверху.

    Наконец, в неравенстве (cos⁡xleq a) всё будет то же, что и в (cosxlt a). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками).

    п.3. Решение неравенств с тангенсом

    Алгоритм решения неравенства (tgxgt a)

    Шаг 1. На оси тангенсов (касательной к числовой окружности в точке (1,0)) отметить точку с ординатой (a). Провести луч из начала координат через отмеченную точку, отметить точку её пересечения с окружностью.

    Шаг 2. Решить уравнение (tg⁡x=a). Полученное базовое решение является значением точки пересечения.

    Шаг 3. Дуга числовой окружности от отмеченной точки до (fracpi2) (в которой (tgxrightarrow +infty)) – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
    Решение имеет вид: (left(arctga+pi k; fracpi2+pi kright))

    Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс$$ tg xgt -frac<sqrt> $$ 1. На оси тангенсов отмечаем точку (-frac<sqrt>). Проводим луч из начала координат через эту точку.
    2. Решаем уравнение (tgx=-frac<sqrt>) begin x=-fracpi6+pi k end Подписываем точку снизу (-fracpi6.) Верхней границей интервала будет (fracpi2), угол, в котором (tgxrightarrow +infty .)
    3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: (left(-fracpi6;fracpi2right)). Добавляем к концам интервала период для тангенса.
    Строго говоря, на числовой окружности длиной (2pi) получим две дуги для тангенса с периодом (pi). Ответ: (left(-fracpi6;+pi k; frac+pi kright))

    Алгоритм решения неравенства (tg⁡xlt a) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу от точки (-fracpi2) (в которой (tgxrightarrow -infty)) до найденного арктангенса.

    Для нестрогих неравенств будут получаться полуинтервалы, в которых точки (pmfracpi2) ((tgxrightarrow pminfty)) будут ограничены круглой скобкой, а найденные арктангенсы – квадратной.

    п.4. Решение неравенств с котангенсом

    Решение неравенств с котангенсом аналогично решению с тангенсом. Для решения используется ось котангенсов (касательная к числовой окружности в точке (0;1)).

    В неравенствах вида (ctgxgt a) пределу (ctgxrightarrow +infty) соответствует угол 0.

    В неравенствах вида (ctgxlt a) пределу (ctgxrightarrow -infty) соответствует угол (pi).

    п.5. Примеры

    Пример 1. Решите неравенства:

    a) (sinxleq frac<sqrt>)
    Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс
    $$ xinleft[-frac+2pi k; frac+2pi kright] $$
    б) (cosxlt -frac)
    Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс
    $$ xinleft(frac+2pi k; frac+2pi kright) $$
    в) (sinxgt -frac<sqrt>)
    Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс
    $$ xinleft(-frac+2pi k; frac+2pi kright] $$
    г) (tgxgeq 1)
    Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 класс
    $$ xinleft.left(-frac+pi k; frac+pi kright.right] $$

    Пример 2*. Решите неравенства:

    Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классa) (cosxgt -1)
    Справа от вертикали (x=-1) расположена вся числовая окружность, кроме точки (pi).

    Ответ: (xne pi+2pi k)Как решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности 10 классб) (4cos^2frac x2-3leq 0)
    (4cdot fracleq 3)
    (2+2cosxleq 3)
    (cosxleqfrac12)

    Ответ: (left[fracpi3+2pi k; frac+2pi kright])

    в) (-sqrtlt tgxleq 5)
    (-arctgsqrt+pi klt xleq arctg5+pi k)
    (-fracpi3+pi klt xleq arctg5+pi k)
    Ответ: (left.left(-frac+pi k; arctg5+pi kright.right])

    г) (tgleft(x-fracpi4right)gtsqrt)
    (arctgsqrt+pi klt x-fracpi4ltfracpi2+pi k)
    (fracpi4+fracpi3+pi klt xltfracpi4+fracpi2+pi k)
    (frac+pi klt xltfrac+pi k)
    Ответ: (left(frac+pi k; frac+pi kright))

    🔍 Видео

    ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 10 класс тригонометрияСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 10 класс тригонометрия

    Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.Скачать

    Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.

    Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

    Тригонометрическая окружность. Как выучить?

    Алгебра 10 класс. 29 октября. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА! ЖЕСТЬ!Скачать

    Алгебра 10 класс. 29 октября. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА! ЖЕСТЬ!

    Тригонометрические неравенства. Как решать простейшие тригонометрические неравенстваСкачать

    Тригонометрические неравенства.  Как решать простейшие тригонометрические неравенства

    Алгебра 10 класс (Урок№50 - Тригонометрические неравенства.)Скачать

    Алгебра 10 класс (Урок№50 - Тригонометрические неравенства.)

    Тригонометрические неравенства, часть 1Скачать

    Тригонометрические неравенства, часть 1

    Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.Скачать

    Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.

    Тригонометрия для Чайников, 10 класс, Уравнения, Урок 7Скачать

    Тригонометрия для Чайников, 10 класс, Уравнения, Урок 7

    Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

    Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.

    Вся Тригонометрия для Чайников, 10 класс, урок 1Скачать

    Вся Тригонометрия для Чайников, 10 класс, урок 1

    Решение тригонометрических неравенств. Практическая часть. 10 класс.Скачать

    Решение тригонометрических неравенств. Практическая часть. 10 класс.

    Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.Скачать

    Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.

    ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по Математике

    Решить тригонометрические неравенства sinxСкачать

    Решить тригонометрические неравенства sinx

    Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.Скачать

    Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.

    Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

    Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

    12 часов Тригонометрии с 0.Скачать

    12 часов Тригонометрии с 0.
    Поделиться или сохранить к себе: