Как построить равностороннего треугольника

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Построение равностронего треугольника.Скачать

Как нарисовать равносторонний треугольник

Как нарисовать равносторонний треугольник, используя только линейку и карандаш? Этот способ позволяет быстро сделать рисунок правильного или равнобедренного треугольника.

Как нарисовать равнобедренный треугольник

Рисунок начинаем с основания. Длину основания подбираем такой, чтобы ее удобно было делить пополам (берем четное количество клеточек). Вершину треугольника отмечаем ровно над серединой основания:

Если нужен равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона больше основания, вершину ставим повыше:

Если требуется треугольник, основание которого больше боковой стороны, то вершину отмечаем ниже:

Как нарисовать равносторонний треугольник

От конца основания откладываем отрезок равной ему длины так, чтобы второй конец этого отрезка расположился ровно над серединой основания. Соединяем вершину треугольника с другим концом основания:

Если в задаче о равнобедренном треугольнике речь идет о высоте, биссектрисе и медиане, проведенным к основанию, достаточно соединить вершину треугольника с отмеченной серединой основания:

Видео:Как построить равнобедренный или равносторонний треугольник по клеткам.Скачать

Как начертить равносторонний треугольник

Из этого материала вы узнаете, как с помощью циркуля построить правильный треугольник. Напомним, что треугольник является правильным, если длина всех его сторон одинакова, а каждый из углов составляет 60°.

На листе бумаги отметьте произвольную точку. Установите в эту точку иглу циркуля и нарисуйте окружность.

Установите иглу циркуля в любую произвольную точку, лежащую на окружности, и нарисуйте вторую окружность с центром в этой точке.

При этом не меняйте раствор циркуля, то есть радиус первой окружности должен быть равен радиусу второй окружности.

Отметьте точки пересечения окружностей.

Соедините полученные точки линией. Полученный отрезок будет первой стороной треугольника.

Далее, через центры обеих окружностей нужно провести прямую линию.

Таким образом, у вас получилось три точки, которые будут тремя вершинами треугольника.

Соедините все три точки между собой.

Полученный треугольник имеет одинаковую длину сторон, а величина каждого его угла составляет 60°, а значит он правильный.

Видео:Геометрия - Построение правильного треугольникаСкачать

Построить правильный треугольник вписанный окружность

Видео:Геометрия Равносторонний треугольникСкачать

Как начертить равносторонний треугольник

Из этого материала вы узнаете, как с помощью циркуля построить правильный треугольник. Напомним, что треугольник является правильным, если длина всех его сторон одинакова, а каждый из углов составляет 60°.

На листе бумаги отметьте произвольную точку. Установите в эту точку иглу циркуля и нарисуйте окружность.

Установите иглу циркуля в любую произвольную точку, лежащую на окружности, и нарисуйте вторую окружность с центром в этой точке.

При этом не меняйте раствор циркуля, то есть радиус первой окружности должен быть равен радиусу второй окружности.

Отметьте точки пересечения окружностей.

Соедините полученные точки линией. Полученный отрезок будет первой стороной треугольника.

Далее, через центры обеих окружностей нужно провести прямую линию.

Таким образом, у вас получилось три точки, которые будут тремя вершинами треугольника.

Соедините все три точки между собой.

Полученный треугольник имеет одинаковую длину сторон, а величина каждого его угла составляет 60°, а значит он правильный.

Видео:Построения с помощью циркуля и линейки. Равнобедренный и равносторонний треугольникиСкачать

Построение с помощью циркуля и линейки — описание, алгоритмы и задачи

Построение с помощью циркуля и линейки – древнейший способ расчета в евклидовой геометрии. Известен со времен Древней Греции. Данная тема изучается в средних и старших классах на уроках геометрии.

Рассмотрим все случаи построения на конкретных примерах.

Видео:Построение равнобедренного треугольникаСкачать

Построение отрезка, равного данному

Есть отрезок СD. Задача — начертить равнозначный данному отрезок той же величины.

Строится луч, имеющий начало в т. A. Циркуль отмеряет существующий отрезок CD. Циркулем откладывается отрезок, равнозначный первому отрезку, на том же начерченном луче от его начала (A).

Для подобного чертежа ножку с иглой закрепляют в начале луча A, а с помощью части с грифелем проводится дуга до места соприкосновения с лучом. Данную точку можно обозначить т. B.

Отрезок AB будет равнозначен отрезку СD. Задача решена.

Видео:КАК НАЧЕРТИТЬ РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИКСкачать

Деление отрезка пополам

Имеется отрезок AB.

Сначала следует нарисовать окружность с радиусом больше половины отрезка AB с центром в т. A.

Далее чертится круг с тем же радиусом с серединой в т. B. В местах пересечения окружностей имеем т. C и т. D.

Сквозь эти точки требуется провести прямую линию. Получаем т. E, которая будет серединой отрезка AB.

Видео:Как из бумажного квадрата сделать равносторонний треугольник?Скачать

Построение угла, равного данному

Имеется угол ABC.

Вблизи угла проводится луч ED. Далее чертится окружность с серединой в т. B. В итоге имеем точки M и N.

Оставив раствор циркуля прежним, рисуют круг с серединой в т. E. В точке соприкосновения имеем т. K.

Поменяв раствор циркуля на длину расстояния между т. M и т. N, нужно провести окружность с серединой в т. K. В итоге получается т. F. После чертится прямая из т. E через т. F. Образуется угол DEF, который будет равнозначен углу ABC. Задача решена.

Видео:7 фактов про равносторонний треугольникСкачать

Построение перпендикулярных прямых

Пример 1

Точка O находится на прямой a.

Есть прямая и точка, находящаяся на ней. Нанести линию, идущую через существующую точку и находящуюся под прямым углом к имеющейся прямой.

Шаг 1. Чертим круг с рандомным радиусом r с серединой в т. O. Окружность соприкасается с прямой в т. A и т. B.

Шаг 2. Из имеющихся точек строится круг с радиусом AB. Точки С и D являются точками соприкосновения окружностей.

Приложив линейку, чертят прямую, сквозь т. O и одну из т. C или т. D, к примеру отрезок OC.

Доказательство, что прямая OC лежит перпендикулярно a.

Намечаются два отрезка — AC и CB. Получившиеся треугольники будут равны, согласно третьему признаку равенства треугольников. Значит, прямая CO перпендикулярна AB.

Пример 2

Точка O находится вне прямой а.

Нарисовать окружность с радиусом r из т. O. Она должна проходить сквозь прямую a. A и B — точки её соприкосновения с прямой.

Оставив прежний радиус, рисуем окружности с серединой в т. A и т. B. Точка O₁ — место их соприкосновения.

Рисуем линию, соединяющая т. O и т. O1.

Доказательство выглядит следующим образом.

Две прямые ОО₁ и AB пересекаются в т. C. Согласно третьему признаку равенства всех треугольников AOB = BO₁A. Из данного вывода следует, что угол OAC = O₁AC. Одноименные треугольники также будут равны (согласно первому признаку равенства всех треугольников).

Исходя из этого, выводим, что угол OCA = O₁CA, а, учитывая смежность углов, приходим к пониманию, что они прямые. А это означает, что OC – перпендикулярный отрезок, опущенный из т. O на прямую a. Задача решена.

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

Построение параллельных (непересекающихся) прямых

Имеется прямая и т. А, не лежащая на этой прямой.

Нужно отметить прямую, проходящую через т. A, и параллельную имеющейся прямой.

Берется рандомная точка на имеющейся прямой и именуется B. С помощью циркуля строится окружность радиуса AB с серединой в т. B. В месте пересечения окружности и данной прямой отмечается т. C.

Оставив прежний радиус, рисуется еще одна окружность, теперь уже с центром в т. C. При правильных расчетах дуга должна пройти через т. B.

C тем же радиусом AB строится окружность с серединой в т. A. Точку соприкосновения второй и третьей окружностей назовем D. Третья окружность, учитывая верность расчетов, также пройдет через т. B.

Проводится прямая через т. A и т. D, которая станет параллельной первой. В итоге, получились две параллельные прямые, BC и AD.

Видео:НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать

Построение правильного треугольника, вписанного в окружность

Правила построения правильного треугольника, вписанного в окружность:

Отметить отрезок AB, чья длина будет равняться а.

Взять циркуль. Часть с иголкой расположить на т. А, а часть с карандашом на т. B. Прочертить окружность. В итоге, радиус круга будет равнозначен длине отрезка AB.

Далее иглу размещают на т. B, а часть с грифелем на т. A. Чертится круг. В итоге, его радиус будет равнозначен длине отрезка AB.

На чертеже окружности пересеклись в двух точках. Далее нужно соединить т. A и т. B и одну из вышеупомянутых точек. В результате получится равносторонний треугольник.

Стороны такого треугольника равнозначны радиусам двух окружностей, которые равны длине а. Задача решена.

Видео:ПОСТРОИТЬ ПРОЕКЦИИ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ЗАДАННЫМ УСЛОВИЯМ. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.Скачать

Построение правильного четырехугольника вписанного в окружность

Вариант 1

Исходя из данности, что диагонали любого квадрата пересекаются в середине окружности и находятся по отношению к его осям под углом 45 градусов, производят следующие действия. Пользуясь линейкой и уголком с углами 45 градусов (см. рисунок), размечают вершины т. 1 и т. 3.

Сквозь данные точки чертят отрезки, стороны четырехугольника, расположенные по горизонтали. Это т. 4 и т. 1, т. 3 и т. 2. В конце линейкой и уголком по его катету проводятся линии, расположенные по вертикали (высоты), отрезок т.1 — т. 2 и отрезок т. 4 — т. 3.

Вариант 2

Так как вершины правильного четырехугольника разделяют наполовину дуги окружностей, между точками диаметра (см. рисунок), то для достижения результата делают следующее: отмечают на точках перпендикулярных диаметров т. A, т. B и т. C и рисуют дуги до их соприкосновения.

После чертят прямые через места соприкосновения дуг, которые выделены на фигуре линиями. Точки соприкосновения с окружностью будут являться вершинами — это т. 1 и т. 3, т. 4 и т. 2. Данные вершины полученного квадрата соединяют друг с другом.

Задача выполнена двумя способами.

Видео:ПРОЕКЦИИ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЛЬНИКА НА П1/П2 и углы наклона его плоскости к плоскостям проекцийСкачать

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника

Поместить на окружность т. 1, считая ее за вершину пятиугольника. Разделить отрезок AO пополам. Чтобы произвести подобную операцию, из т. A чертят дугу до места соприкосновения с окружностью в т. M и т. B.

Расположив конкретные точки на прямой, получаем т. K, и после совмещаем с т. 1. Радиусом, длина которого – отрезок А1, сделать изгиб из т. K до места соприкосновения с линией АО в т. H. После совместить т. 1 и т. H, образуя одну из пяти сторон пятиугольника.

Взять циркуль, величина раствора которого будет равна отрезку т.1 — т. H, нарисовать изгиб из т. 1 до соприкосновения с кругом. Так находят вершины 2 и 5. Отметив точки на вершинах 2 и 5, получают вершины 3 и 4. В конце все точки совмещают друг с другом.

Видео:Равносторонний треугольник в окружностиСкачать

Построение правильного шестиугольника, вписанного в окружность

Решение подобной задачи строится на свойствах, где сторона шестиугольника равнозначна радиусу круга.

Для расчета разделяют круг на шесть ровных частей и последовательно совмещают все полученные точки (см. рисунок). Задача решена.

Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

📽️ Видео

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Как поделить окружность на 3 равные части. Очень просто. Уроки черчения.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать