Как понять проходит ли окружность через начало координат

Окружность с центром в начале координат

Чем окружность с центром в начале координат отличается от других окружностей?

Окружность с центром в точке (a;b) и радиусом R задаётся уравнением

Как понять проходит ли окружность через начало координат

Для окружности с центром в начале координат a=0, b=0:

Как понять проходит ли окружность через начало координат

Таким образом, уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид

Как понять проходит ли окружность через начало координат

1) Написать уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 5.

В формулу уравнения окружности с центром в начале координат подставляем R=5:

Как понять проходит ли окружность через начало координат

Как понять проходит ли окружность через начало координат

2) Составить уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку M(-2;7).

Как понять проходит ли окружность через начало координат

Как понять проходит ли окружность через начало координат

Теперь запишем уравнение окружности с центром в точке O(0;0) и R=√53:

Видео:№967. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку В (-1; 3).Скачать

№967. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку В (-1; 3).

Уравнение окружности.

Окружностью принято обозначать множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра.

В формулировке окружности упоминается расстояние между точкой окружности и центром.

Формула расстояния между двумя точками М11; у1) и М22; у2) имеет вид:

Как понять проходит ли окружность через начало координат,

Как понять проходит ли окружность через начало координат

Применив формулу и формулировку окружности, получаем уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r.

Как понять проходит ли окружность через начало координат

Отметим произвольную точку М(х; у) на этой окружности.

Как понять проходит ли окружность через начало координат.

Предположим, что М принадлежит окружности с центром С и радиусом r, то МС = r.

Следовательно, МС 2 = r 2 и координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности (х – х0 ) 2 +(у – у0 ) 2 = r 2 .

Из выше изложенного делаем вывод, что уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r имеет вид:

В случае когда центр окружности совпадает с началом координат, то получаем частный случай уравнения окружности с центром в точке О (0;0):

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Уравнение окружности

Как понять проходит ли окружность через начало координат

Общее уравнение окружности записывается как:

Точка — центр окружности, R — её радиус.

Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат:

Уравнение окружности, проходящей через три точки (с помощью определителя) ,

Как понять проходит ли окружность через начало координат

Окружность также можно описать с помощью параметрического уравнения:

Как понять проходит ли окружность через начало координат

В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций:

Если центр окружности совпадает с началом координат, функции принимают вид:

Видео:Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать

Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат Лекция

Перенос начала координат

В аналитической геометрии основное значение имеет так называемая задача преобразования координат. Она заключается в следующем. Даны две системы координат (на плоскости или в пространстве) — «старая» и «новая». Требуется, зная координаты какой-нибудь точки или вектора в одной системе координат, найти координаты той же точки или вектора в другой системе.

Предположим, что даны две координатные системы, у которых одни и те же единичные векторы, но разные начала О и О’, так что новая система координат О’ получается из старой О, сдвигом на вектор ОО’ (рисунок представлен ниже).

Как понять проходит ли окружность через начало координат

При этом даны координаты точки О’ относительно системы О е1 е2 : О’ = (a, b). Мы уже знаем, что в этом случае координаты каждого вектора u в обеих системах одинаковы, потому что этими координатами являются координаты вектора u относительно одного и того же базиса, т.е. коэффициенты x, y в представлении

u = xe1 + ye2.

Посмотрим, как связаны между собою координаты x, y и x’, y’ произвольной точки М в обеих системах. Числа x, y суть координаты вектора ОМ (рисунок представлен ниже), а числа x’, y’- координаты вектора О’М (относительно того же базиса е1 е2). Но

Причем для вектора ОМ, ОО’, О’М (и базиса е1 е2) имеем

Так что векторное равенство (1) равносильно совокупности двух числовых равенств:

Эти формулы и решают поставленную задачу.

В случае плоскости вместо трех равенств (2) получаем два: если координаты нового начала О’ относительно старой системы координат суть a, b,так что O’ = (a, b) в старой системы координат, то координаты x, y произвольной точки М в старой системе выражаются через координаты той же точки в новой системе формулами:

Как понять проходит ли окружность через начало координат

Как понять проходит ли окружность через начало координат

Иногда при решении задач удобно вместо данной системы XOY использовать другую X’O’Y’, определенным образом ориентированную относительно данной системы.

Пусть новая система X’O’Y’ получена из старой ХОY параллельным переносом осей координат, т.е. оси новой системы параллельны осям старой и имеют одинаковое с ними направление (Рисунок представлен ниже). Пусть начало О’ новой системы имеет координаты (a, b) в старой системе.

Возьмем точку М на плоскости и найдем зависимость между ее координатами (х, у) в старой системе и (х’, у’) в новой. Из рисунка ясно, что

Как понять проходит ли окружность через начало координат

Если уравнение не содержит члена с произведением координат (В= 0), то с помощью параллельного переноса оно приводится к каноническому виду. Для этого необходимо в случае А ? 0, С ? 0 выделить полные квадраты для членов, содержащих у, и членов, содержащих х, затем для полученных полных квадратов вида (х — а) 2 , (y — b) 2 .

📽️ Видео

Решение задач по теме "Поворот точки вокруг начала координат"Скачать

Решение задач по теме "Поворот точки вокруг начала координат"

Уравнение прямой, проходящей через начало координатСкачать

Уравнение прямой, проходящей через начало координат

Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать

Как найти координаты точек на тригонометрической окружности

начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать

начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскостиСкачать

10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскости

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.

поворот точки вокруг начала координат 10 класс алгебра и анализСкачать

поворот точки вокруг начала координат 10 класс алгебра и анализ

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

Уравнение прямой проходящей через начало координат 7 - 8 клСкачать

Уравнение прямой проходящей через начало координат 7 - 8 кл

Поворот точки вокруг начала координатСкачать

Поворот точки вокруг начала координат

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Составить уравнение окружности. Геометрия. Задачи по рисункам.Скачать

Составить уравнение окружности. Геометрия. Задачи по рисункам.
Поделиться или сохранить к себе: