Как показать арктангенс на окружности

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс – начальные сведения

Задача, обратная нахождению значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла (числа), подразумевает нахождение угла (числа) по известным значениям тригонометрических функций. Она приводит к понятиям арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

В этой статье мы дадим определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, введем принятые обозначения, а также приведем примеры арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. В заключение упомянем про аркфункции и покажем, как арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс связаны с единичной окружностью.

Навигация по странице.

Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

Определения, обозначения, примеры

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс можно определить как угол и как число. Это связано с тем, что мы определили синус, косинус, тангенс и котангенс как угла, так и числа (смотрите синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрии). Остановимся на обоих подходах к определению арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс как угол

Пусть про угол альфа α известно лишь то, что его синус равен числу 1/2 , то есть, sinα=1/2 . Последнее равенство определяет угол α неоднозначно, так как ему удовлетворяет бесконечное множество углов α=(−1) k ·30°+180°·k ( α=(−1) k ·π/6+π·k ), где k∈Z . Однако, если потребовать, чтобы величина угла α в градусах принадлежала отрезку [−90, 90] (в радианах – отрезку [−π/2, π/2] ), то равенство sinα=1/2 будет определять угол альфа однозначно. При этом условии равенству удовлетворяет единственный угол в 30 градусов ( π/6 радианов).

Вообще, равенство sinα=a (не путайте a и альфа: a и α ) при любом числе a∈[−1, 1] и условии −90°≤α≤90° ( −π/2≤α≤π/2 ) определяет единственный угол α . Этот угол называют арксинусом числа a .

Арксинус числа a∈[−1, 1] – это угол −90°≤α≤90° ( −π/2≤α≤π/2 ), синус которого равен a .

Аналогично определяются арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Арккосинус числа a∈[−1, 1] – это угол 0°≤α≤180° ( 0≤α≤π ), косинус которого равен a .

Арктангенс числа a∈(−∞, +∞) – это угол −90° ( −π/2 ), тангенс которого равен a .

Арккотангенс числа a∈(−∞, +∞) – это угол 0° ( 0 ), котангенс которого равен a .

Для записи арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса приняты следующие обозначения: arcsin , arccos , arctg и arcctg . То есть, арксинус числа a можно записать как arcsin a , арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа a запишутся соответственно как arccos a , arctg a и arcctg a .

Также можно встретить обозначения arctan и arccot , они являются другой формой обозначения арктангенса и арккотангенса, которая принята в англоязычной литературе. Мы же арктангенс и арккотангенс будем обозначать как arctg и arcctg .

В свете введенных обозначений, определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа можно записать более формально:

arcsin a , a∈[−1, 1] , есть такой угол α , что −90°≤α≤90° ( −π/2≤α≤π/2 ) и sinα=a ;

arccos a , a∈[−1, 1] , есть такой угол α , что 0°≤α≤180° ( 0≤α≤π ) и cosα=a ;

arctg a , a∈(−∞, +∞) , есть такой угол α , что −90° ( −π/2 ) и tgα=a ;

arcctg a , a∈(−∞, +∞) , есть такой угол α , что 0° ( 0 ) и ctgα=a .

Подчеркнем, что арксинус и арккосинус числа определен для чисел, принадлежащих отрезку [−1, 1] , для остальных чисел арксинус и арккосинус не определен. Например, не имеет смысла запись arcsin2 . Аналогично не определен арксинус пяти, арксинус минус корня из трех, арккосинус семи целых двух третьих и арккосинус минус пи, так как числа 2 , 5 , Как показать арктангенс на окружности, −π выходят за пределы числового отрезка от −1 до 1 . В свою очередь записи arctg a и arcctg a имеют смысл для любого действительного числа a , например, имеют смысл записи arctg0 , arctg(−500,2) , arcctg(6·π+1) и т.п.

Теперь можно привести примеры арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

Начнем с примеров арксинуса. Определение арксинуса позволяет утверждать, что угол π/3 является арксинусом числа Как показать арктангенс на окружности, то есть, Как показать арктангенс на окружности(здесь Как показать арктангенс на окружностии α=π/3 ). Действительно, число Как показать арктангенс на окружностипринадлежит отрезку [−1, 1] , угол π/3 лежит в пределах от −π/2 до π/2 и Как показать арктангенс на окружности. Приведем еще несколько примеров арксинуса числа: arcsin(−1)=−90° , arcsin(0,5)=π/6 , Как показать арктангенс на окружности.

А вот π/10 не является арксинусом 1/2 , так как sin(π/10)≠1/2 . Еще пример: несмотря на то, что синус 270 градусов равен −1 , угол 270 градусов не является арксинусом минус единицы, так как 270 градусов не является углом в пределах от −90 до 90 градусов. Более того, угол 270 градусов вообще не может быть арксинусом какого-либо числа, так как арксинус числа должен лежать в пределах от −90 до 90 градусов.

Для полноты картины приведем примеры арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Например, угол 0 радианов является арккосинусом единицы, то есть, arccos1=0 (так как выполняются все условия из определения арккосинуса: число 1 принадлежит отрезку от −1 до 1 , угол нуль радианов лежит в пределах от нуля до пи включительно и cos0=1 ). Аналогично, угол π/2 есть арккосинус нуля: arccos0=π/2 . По определению арктангенса числа arctg(−1)=−π/4 или arctg(−1)=−45° . Арктангенс корня из трех равен 60 градусам ( π/3 рад). А из определения арккотангенса можно заключить, что arcctg0=π/2 , так как угол π/2 лежит в рамках от 0 до пи и ctg(π/2)=0 .

Подобный подход к определению арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса описан в учебнике Кочеткова [1, с. 260-278] .

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс как число

Когда мы имеем дело с синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом угла, то естественно арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс определять как угол. Если же мы начинаем говорить про синус, косинус, тангенс и котангенс числа, а не угла, то естественно арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс определять уже как число.

Арксинусом числа a∈[−1, 1] называется такое число t∈[−π/2, π/2] , синус которого равен a .

Видео:Отбор арктангенса по окружности | Тригонометрия ЕГЭ 2020Скачать

Отбор арктангенса по окружности | Тригонометрия ЕГЭ 2020

Арктангенс и арккотангенс. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти арксинус и арккосинус от числа. Результат можно видеть как в градусах, так и в радианах. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Арктангенс и арккотангенс − теория, примеры и решения

Функция арктангенс и ее график

Функция тангенс определена в интервале [−∞;+∞] кроме точек Как показать арктангенс на окружности Как показать арктангенс на окружностиКак показать арктангенс на окружности, . и не является монотонной функцией (т.е. не является возрастающей или убывающей во всей области определения функции (Рис.1) (подробнее о функции тангенс смотрите на странице Тангенс и котангенс. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.

Как показать арктангенс на окружности

Однако, функцию тангенс можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:

Как показать арктангенс на окружности, Как показать арктангенс на окружности, Как показать арктангенс на окружности, Как показать арктангенс на окружностии т.д.

По теореме об обратной функции, на каждом из указанных отрезков функция tg x имеет обратную функцию. Отметим, что это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке Как показать арктангенс на окружности. Обратную функцию обозначают x=arctg y. Поменяв местами x и y, получим:

y=arctg x.(1)

Функция (1) − это функция, обратная к функции

Как показать арктангенс на окружности.

График функции арктангенс можно получить из графика функции Как показать арктангенс на окружностис помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.2).

Как показать арктангенс на окружности

Свойства функции арктангенс.

  1. Область определения функции: Как показать арктангенс на окружности.
  2. Область значений функции: Как показать арктангенс на окружности.
  3. Функция является нечетной: Как показать арктангенс на окружности.
  4. Функция возрастает.
  5. Функция непрерывна.

Решим тригонометрическое уравнение

В интервале Как показать арктангенс на окружностидля уравнения (2) существует одно t, для которого tg t=a. Это решение

Следовательно в интервале Как показать арктангенс на окружностиуравнение (2) имеет один корень. Так как тангенс периодичная функция с основным периодом π, то все корни уравнения (2) отличаются на πn (n∈Z), т.е.

Как показать арктангенс на окружности.(3)

Решение уравнения (2) представлен на Рис.3:

Как показать арктангенс на окружности

Так как tg t − это ординат точки пересечения прямой OMt1 c прямым x=1, то для любого a на линии тангенса есть только одна точка T(1; a). Прямая OTt пересекается с окружностью с радиусом 1 в двух точках: Как показать арктангенс на окружности. Но только точка Как показать арктангенс на окружностисоответствует интервалу Как показать арктангенс на окружности, которое соответствует решению Как показать арктангенс на окружности.

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:

Как показать арктангенс на окружности.

Решение. Воспользуемся формулой (3):

Как показать арктангенс на окружности,
Как показать арктангенс на окружности.

Пример 2. Решить тригонометрическое уравнение:

Как показать арктангенс на окружности.

Решение. Воспользуемся формулой (3):

Как показать арктангенс на окружности.

Используя онлайн калькулятор получим:

Как показать арктангенс на окружности.

Функция арккотангенс и ее график

Как известно, функция котангенс определена в интервале [−∞;+∞] кроме точек -2π, —π 0, π, 2π. и не является монотонной функцией (Рис.4) (подробнее о функции котангенс смотрите на странице Тангенс и котангенс. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.

Как показать арктангенс на окружности

Однако, функцию кокотангенс можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:

Как показать арктангенс на окружностиКак показать арктангенс на окружности

По теореме об обратной функции, на каждом из указанных интервалов функция ctg x имеет обратную функцию. Это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке Как показать арктангенс на окружности. Обратную функцию оброзначают x=arcctg y. Поменяв местами x и y, получим:

y=arcctg x.(4)

Функция (4) − это функция, обратная к функции

Как показать арктангенс на окружности.

График функции арккотангенс можно получить из графика функции Как показать арктангенс на окружностис помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.5).

Как показать арктангенс на окружности

Свойства функции арккотангенс.

  1. Область определения функции: Как показать арктангенс на окружности.
  2. Область значений функции: Как показать арктангенс на окружности.
  3. Функция не является ни четной ни нечетной (так как функция не симметрична ни относительно начала координит, ни относительно оси Y).
  4. Функция убывает.
  5. Функция непрерывна.

Решим тригонометрическое уравнение

В интервале (0; π) для уравнения (5) существует одно t, для которого сtg t=a. Это t=arcctg a. Следовательно в интервале (0; π) уравнение (5) имеет один корень. Так как котангенс периодичная функция с основным периодом π, то общее решение уравнения (5) имеет следующий вид:

Как показать арктангенс на окружности(6)

Решения уравнения (5) можно представить на единичной окружности (Рис.6):

Как показать арктангенс на окружности

ctg t − это абсцис точки пересечения прямой Как показать арктангенс на окружностис прямым y=1. Любому числу a на линии котангенс соответствует только одна точка Как показать арктангенс на окружности. Прямая Как показать арктангенс на окружностипересекется с единичной окружностью в двух точках Как показать арктангенс на окружности. Но только точка Как показать арктангенс на окружностисоответствует интервалу (0; π), которое соответствует решению Как показать арктангенс на окружности.

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:

Как показать арктангенс на окружности.

Решение. Воcпользуемся формулой (6):

Как показать арктангенс на окружности.

Так как в интервале (0; π)Как показать арктангенс на окружности, то

Как показать арктангенс на окружности.

Пример 2. Решить следующее тригонометрическое уравнение:

Как показать арктангенс на окружности.

Решение. Используя формулу (6), имеем

Как показать арктангенс на окружности.

С помощью онлайн калькулятора вычисляем Как показать арктангенс на окружности. Тогда

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Обратная тригонометрическая функция: Арктангенс (arctg)

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функции

Определение

Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция.

Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x , где x – любое число (x∈ℝ).

Если тангенс угла у равен х (tg y = x), значит арктангенс x равняется y :

Примечание: tg -1 x означает обратный тангенс, а не тангенс в степени -1.

Например:

arctg 1 = tg -1 1 = 45° = π/4 рад

Видео:Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружности

График арктангенса

Функция арктангенса пишется как y = arctg (x) . График в общем виде выглядит следующим образом:

Как показать арктангенс на окружности

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Свойства арктангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арктангенса с формулами.

💡 Видео

Находим арктангенс. Алгебра 10 классСкачать

Находим арктангенс. Алгебра 10 класс

3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из Вебиума

Преобразование выражений, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. 2 ч. 10 класс.Скачать

Преобразование выражений, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. 2 ч. 10 класс.

🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать

🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)

Выборка с помощью окружностиСкачать

Выборка с помощью окружности

Отбор корней по окружностиСкачать

Отбор корней по окружности

Занятие 7. Арктангенс и арккотангенс. Основы тригонометрииСкачать

Занятие 7. Арктангенс и арккотангенс. Основы тригонометрии

Тангенс и котангенс на тригонометрической окружности. Формулы приведения.Скачать

Тангенс и котангенс на тригонометрической окружности. Формулы приведения.

Алгебра 10 класс. 18 октября. Что такое arccos арккосинусСкачать

Алгебра 10 класс. 18 октября. Что такое arccos арккосинус

Арк-функции. Простейшие тригонометрические уравнения | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Арк-функции. Простейшие тригонометрические уравнения | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !

Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Тригонометрическая окружность tg x и ctg xСкачать

Тригонометрическая окружность tg x и ctg x

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ
Поделиться или сохранить к себе: