Как пересекаются высоты в треугольнике

Свойства высот треугольника

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№31 - Теорема о пересечении высот треугольника.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№31 - Теорема о пересечении высот треугольника.)

свойства высоты в треугольнике

Свойство 1
Как пересекаются высоты в треугольнике

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника.

Свойство 2
Как пересекаются высоты в треугольнике

Если AD, BE, CF — высоты треугольника ABC, O — точка пересечения этих высот или их продолжений, то:

Как пересекаются высоты в треугольнике

Свойство 3
Как пересекаются высоты в треугольнике

Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, подобных между собой и подобных исходному треугольнику:

Как пересекаются высоты в треугольнике

Высота на сторону c вычисляется по формулам:

Видео:8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольника

Точка пересечения высот треугольника — свойства, координаты и расположение ортоцентра

Как пересекаются высоты в треугольнике

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Что такое высота

Как пересекаются высоты в треугольнике

Если из вершины опустить перпендикуляр на противоположную сторону, получится отрезок, который именуется высотой. В равнобедренном треугольнике 2 отрезка равны, а в равностороннем равны все 3.

У фигур с углами 90 и более градусов высота попадает на противоположную сторону. В случае острого угла дело обстоит иначе. Прямая попадет только на продолжение противоположной стороны и будет находиться вне самой фигуры. Таким образом, если все углы острые, отрезки будут находиться внутри, как и ортоцентр. В тупоугольной фигуре два из трех отрезков будут проходить за его пределами — ортоцентр окажется вне фигуры.

Видео:Геометрия 7.Треугольники урок 6. Высота треугольника. Определение, свойства, точки пересечения высотСкачать

Геометрия 7.Треугольники урок 6. Высота треугольника. Определение, свойства, точки пересечения высот

Свойства ортоцентра

Свойства высот треугольника, пересекающихся в одной точке, давно изучены и описаны. Согласно основному из них, все 3 высоты всегда пересекаются в одном месте. Иногда, чтобы найти это место, отрезки нужно продлить, превратив в ортогональные прямые.

Ортоцентр по отношению к фигуре может быть расположен:

  • внутри;
  • снаружи;
  • в вершине (у прямоугольных треугольников)

Ортоцентр — важная в геометрии характеристика, влияющая на нахождение золотого сечения.

Как пересекаются высоты в треугольнике

Так называется маленький треугольник, расположенный внутри основного, находящийся на пересечении его трех параметров:

Золотое сечение может представлять собой не только треугольную фигуру, но и отрезок. В правильном треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают, значит, золотое сечение превращается в точку.

Полезные факты

Местонахождение ортоцентра имеет некоторые закономерности. Их знание принесет пользу при решении задач.

Пусть:

  • H — ортоцентр в ABC;
  • О — центр описанной окружности.

Тогда:

  • окружности, описанные вокруг АБС, АНВ, CHB, HCA, равны:
  • отрезок BH вдвое длиннее отрезка АС;
  • середины отрезков AC и BH разделены расстоянием, равным радиусу описанной окружности.

Задача Фаньяно

Это классическая теорема. Она возникла в процессе поиска фигур с наименьшим периметром. Теорему доказал Фаньяно — итальянский математик и инженер. Это произошло еще в начале XVIII века.

Формулировка: ортотреугольник, то есть фигура, полученная соединением трех оснований треугольника, проведенный внутри остроугольного треугольника, имеет самый маленький периметр изо всех возможных, вписанных в данную фигуру.

Площадь ортотреугольника рассчитывается по формуле:

Как пересекаются высоты в треугольнике

Здесь S — площадь, а, b, c — стороны.

Существует понятие ортоцентрической системы. Оно включает в себя 3 вершины и место пересечения их высот. Любая из данных четырех точек будет являться ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными.

Видео:Высоты треугольника пересекаются в одной точкеСкачать

Высоты треугольника пересекаются в одной точке

История изучения

Важное значение имеет место пересечения медиан или центр тяжести. Вместе с ортоцентром это еще одна «замечательная точка», которая была известна еще древним грекам. Так их стали называть начиная с 18 века, другое название «особенные».

Как пересекаются высоты в треугольнике

Исследование этих точек стало началом для создания геометрии треугольника, основателем которой считается Леонард Эйлер. Ученый показал, что в любом треугольнике точки соединения высот, медиан и центр описанного круга находятся на одной линии, которую позже назвали прямой Эйлера.

В позапрошлом веке была обнаружена окружность 9 точек или Фейербаха. Она состоит из оснований медиан, высот и центров высот. Оказалось, что все эти точки лежат на общей окружности, центр которой находится на линии Эйлера.

Каждый отрезок, прочерченный из ортоцентра до соединения с описанной окружностью, всегда будет делиться линией Эйлера на 2 равные части.

Треугольник — удивительная фигура, изучением которой занимается целый раздел геометрии. Ортоцентр и его свойства имеют широкое применение в практической жизни, например, в строительстве. Этот показатель настолько важен и распространен, что существуют калькуляторы, позволяющие определить местонахождение точки по координатам вершин.

Видео:✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис Трушин

Теорема о пересечении высот треугольника

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Как пересекаются высоты в треугольнике

На данном уроке мы рассмотрим важную теорему о том, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

📽️ Видео

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ВЫСОТ треугольника ТЕОРЕМА 8 класс АтанасянСкачать

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ВЫСОТ треугольника ТЕОРЕМА 8 класс Атанасян

Точка пересечения высот | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Точка пересечения высот | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

Высоты треугольника.Скачать

Высоты треугольника.

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Построение высоты в треугольникеСкачать

Построение высоты в треугольнике

Точка пересечения высот треугольника.Скачать

Точка пересечения высот треугольника.

Как доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке?Скачать

Как доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке?

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Почему высоты треугольника пересекаются в одной точке? | Vasily mathsСкачать

Почему высоты треугольника пересекаются в одной точке? | Vasily maths

Точка пересечения высот треугольникаСкачать

Точка пересечения высот треугольника

Новое доказательство пересечения высот треугольника в одной точкеСкачать

Новое доказательство пересечения высот треугольника в одной точке

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Теорема о пересечении высот треугольника | Геометрия 7-9 класс #73 | ИнфоурокСкачать

Теорема о пересечении высот треугольника  | Геометрия 7-9 класс #73 | Инфоурок
Поделиться или сохранить к себе: