Как отобразить окружность в прямую

Конформные отображения

Содержание:

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Преобразования

Преобразования, наделенные таким свойством, позволяют успешно решать задачи аэро- и гидродинамики, теории упругости, теории полей различной природы и многие другие. Мы ограничимся преобразованиями плоских областей. Непрерывное отображение го = /(г) плоской области в область на плоскости называется конформным в точке , если в этой точке оно обладает свойствами постоянства растяжения и сохранения углов.

Открытые области и называются конформно эквивапентными,если существует взаимнооднозначное отображение одной из этих областей на другую, конформное в каждой точке. Теорема Римана. Любые две плоские открытые односвязные области, границы которых состоят более чем из одной точки, конформно эквивалентны. Основной проблемой при решении конкретных задач является построение по заданным плоским областям явного взаимно однозначного конформного отображения одной из них на другую.

Один изспособоврешенияэтой проблемы в плоском случае — привлечение аппарата теории функций комплексного переменного. Какужеотмечалось выше, однолистная аналитическаяфункция с отличной от нуля производной осуществляет конформное отображение своей области задания на ее образ. При построении конформных отображений весьма полезно следующее правило. Принцип соответствия границ.

Пусть в односвязной области Я) комплексной плоскости z, ограниченной контуром 7, задана однозначная аналитическая функция w = f(z), непрерывная в замыкании 9) и отражающая контур 7 на некоторый контур 7′ комплексной п/юскости w. Если при этом сохраняется направления обхода контура, то функция w — f(z) осуществляет конформное отображение области комплексной плоскости z на область З1 комплексной плоскости w, ограниченную контуром 7′ (рис. 1).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Цель настоящего параграфа состоит в том, чтобы, используя найденные ранее области однолистности основных элементарных фуннций комплексного переменного, научиться строить конформные отображения открытых одно-связных плосжх областей, часто встречающихся в приложениях, надвестан- КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ дартныс области — верхнюю полуплоскость и единичный круг (рис. 2). Для более эффективного использо- Рис.2 вания приводимой ниже таблицы полезны некоторые простейшие преобразования комплексной плоскости.

Преобразования плоскости

Преобразования плоскости, осуществляющие: 1. параллельный перенос (сдвиг на заданное комплексное число а) (рис. 3), Рис.3 2. поворот (на заданный угол 3. растяжение (fc > 1) ил и сжатие (рис. 5). Тем самым, преобразование вида 0 любой круг можно сделать единичным кругом с центром в нуле (рис. 6), любую полуплоскость можосделать верхней полуплоскостью, любой отрезок прямой можно преобразовать в отрезок [0, 1) вещественной оси (рис. 7), любой луч — в положительный луч вещественной оси (рис. 8). б) Рис. 6 растяжение (им) О перенос в) поворот перенос рас гяжение Рис. 7 перенос поворот Рис.8 в) б) В) 4.

Преобразование плоскости z,

переводящее три различные точки z, zi, z3 в три различныеточт плоскости (рис.9). Рассмотрим пример, показывающий, как пользоваться приведенной ниже табли- цей.

Пример с решением:

Отобразить круг с разрезом по радиусу (рис. 10) взаимно однозначно и конформно на единичный круг с центром в нуле. 4 А. Применяя простейшие преобразования плоскости, приведем заданную область к области, имеющейся в таблице. 1. Переместим центр заданного круга в нулевую точку (см. рис. 11): .

Имеем: круг с разрезом 2. Повернем полученный круг по часовой стрелке на угол (см. рис. 12) . Имеем: круг с разрезом arg 3. Сожмем круг в три раза (см. рис. 13) Имеем: круг с разрезом Таким образом, исходная область приводится к имеющейся в таблице при помощи следующего преобразования Б. 1. Указанная область — круг с разрезом — приведена в таблице под № 30. Функция Жуковского КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ преобразует эту область в плоскость с разрезом по отрезку [-1, 5] вещественной оси (рис. 14). 2. Указанная область приведена в таблице под № 22.

Применяя дробно-линейное преобразование преобразуем эту область в плоасость с разрезом по лучу [0, +оо) вещественной оси (рис. 15).

3. Указанная область приведена в таблице под № 6. Извлекая квадратный корень преобразуем эту область в верхнюю полуплоскость Im z6 > 0 (рис. 16). 4. Указанная область приведона в таблице под Ng 11. Применяя дробно- линейное преобразование преобразуем эту область в единичный круге центром в нуле Последовательно выражая z* через z^-i, получим взаимно однозначное и конформное преобразование заданного на комплексной плоскости г круга с разрезом по радиусу на единичный круг комплексной плоек ости tr. р- Конформное отображение заданными областями определяется неоднозначно.

Пример с решением:

Отобразить полукруг (рис.18) взаимно однозначно и конформно на верхнюю полуплоскость Im w > 0. . Дробно-линейное отображение преобразует заданный полукруг в прямой угол 2. Указанная область приведена в таблице под Ne 4 (п = 2). Возводя в квадрат Б. Заданная область приведена в таблице за No 9. Искомое преобразование имеет вид чю- Оба отображения w -заданный полукруг в верхнюю полуплоскость переводит взаимно однозначно и конформно Организация таблицы и правила пользования ею.

Как будет показано в конце параграфа, такая стандартизация удобна для практического использования. Часто приводится только преобразование, сводящее заданную область к ранее рассмотренной. В этом случае дается ссылка на преобразование, переводящее полученную область в стандартную (единичный круг с центром в нуле или верхнюю полуплоскость). Основные элементарные функции.

Таблица Плоскость с разрезом по действительному лучу [О, Плоскость с разрезами Плоскость с разрезом по действительному лучу [0, +ю[ Плоскость с разрезом по отрезку 10, 1] Плоскость с разрезом по действительному лучу (0, +«>( Плоскость с разрезами по действительным лучам J -оо, 0] и (I, +оо[ Плоскость с разрезом по действительному лучу [0, +«>( Плоскость с разрезом по отрезку lu. zi] Плоскость с разрезом по отрезку (О, 1J № 21 1лоскость с разрезами ю лучам, лежащим ia прямой, проходящей через ачало координат по действительным лучам ]-«ю, 0] и (1.

Плоскость с разрезом по действительному лучу (0, +во( Плоскость с разрезом по дуге окружности Ixl — 1, lm z > О Плоскость с разрезом по дуге окруж ности III — I, Re z > О Плоскость с разрезом по действительн ому лучу (0, Плоскость с разрезом no дуге окруж ности Плоскость с разрезом по действительному лучу [С, + со [ № 25 Полуплоскость с разрезами Полуплоскость l с разрезом по отрезку [0, />

Плоскость с разрезом по действительному лучу [ — I, Полуплоскость с разрезом по отрезку Полуплоскость Im г > О с разрезами по отрезку [0, oi) и мнимому лучу №28 Полуплоскость с разрезом по ду| е окружности по действительным лучам |- по действительным лучам 1 — оо, -Л2] с разрезом по мнимому лучу Круг с разрезами Круг 1 с разрезом по отрезку (1/2, 1J №30 Плоскость с разрезом по отрезку <-1, 5/4] Круг Izl с разрезами по отрезкам (-1. -1/2] и (1/2, 1] № 31

Плоскость с разрезами по отрезиам I -5/4, 5/4] Круг Ijl симметричными разрезами по мнимой оси Круг lie с симметричными разрезами по действительной оси Внешность круга с разрезами Внешность единичного круга I с разрезом по отрезку [1, 2J №33 Внешность единичного круга с разрезом по отрезкам 1-2, -1] и 11, 2) №34 Плоскость с разрезом по отрезку [ -1, 5/4] Плоскость с разрезом по отрезку I — 5/4, 3/4] w = e’^z Внешность единичного круга Izl > 1 с разрезами по отрезкам, являющимися продолжениями его диаметра Внешность единичного круга Iwl > 1 с разрезами по отрезкам, лежащим на действительной оси Полуируг с разрезами -г2

Nfc 36 Круг Iwl с разрезом по отрезку [ -1/4, 1] Полукруг , с разрезом по отрезку (0, i/2) Полукруг , с разрезом по отрезку [//2, /) Круг с разрезами по отрезкам № 37 Полукруг с разрезами по отрезкам [0. al) и [Ы. /). где N? 38 Круг с разрезами по отрезкам 1-1. — угол с разрезами Угол с разрезом по действительному лучу Ах» г — т/4 с началом в точке 1 + / Полуплоскость Im W > 0 с разрезом по мнимому лучу с началом в точке 12/, +/•©( Nf39 Плоскость с разрезами по действительным лучам Угол с разрезом по действительному лучу Arg z — т/л с началом в точке Полоса с разрезами w — с*

Полуплоскость Im с разрезом по дуге окружности иг » с Полоса 0 т с разрезом по мнимому отрезку ( Полуплоскость Im с разрезом по дуге окружности w — е Полоса 0 разрезом по мнимому отрезку fW/2, TiJ N? Полоса Полуплоскость Im w > О с разрезами по мнимым с разрезами по дуге отрезкам [0, al и [Ы, «1, окружности w « t*, КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ М43 Полоса Плоскость с разрезом по действительному лучу (0. +«( №44 Полоса с разрезом Полуплоскость Im по действительному с разрезом по мнимому лучу I отрезку [О, /I

Полоса 0 Полоса с разрезом по действительному лучу I №46 Полоса Полоса 0 с разрезом по действительному лучу R №47 Область 1 Полоса 01 Область с удаленным кругом Re Полоса Полуплоскость Im z > О с удаленным круговым сегментом Угол №50 -Ш Полуплоскость Im с удаленным круговым сегментом Полуплоскость Im w > 0 № 51 Полуполоса Полуплоскость Im w > Полуплоскость Im Полуполоса с удаленными полукругами № 53

Полуполоса Полуполоса N? 54 Угол Полуплоскость Im w > 0 с удаленным сектором единичного круга Ne 55 Угол Im z с удаленным полукругом Полуполоса 0 Внешность параболы Полуплоскость Im w Внутренность параболы Полуплоскость Im № 58 Внешность гиперболы Полуплоскость Im w Внутренность правой ветви гиперболы Полуплоскость Iro W > О Внешность эллипса Внешность круга М > I

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Как отобразить окружность в прямую Как отобразить окружность в прямую

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.

Планиметрия (прямая и окружность)

Планиметрия изучется в начальном курсе геометрии и зачастую сводится к решению практических задач без изучения теоретической базы.
В данной статье приводятся альтернативные (подсказкам) решения задач из первого раздела (кроме 1.5) приложения Euclidea (геометрические построения с помощью циркуля и линейки).

Решения задач 1.1, 1.2 и 1.3 основаны на том, что с помощью циркуля и линейки можно построить равносторонний треугольник.

1.1 Построить угол 60° с заданой стороной

1.2 Построить серединный перпендикуляр к отрезку

На данной ограниченной прямой построить равносторонний треугольник

Как отобразить окружность в прямую

1.3 Середина отрезка

всё, что можно построить с помощью циркуля и линейки, может быть построено с помощью одного циркуля.

Из точки В радиусом АВ описываем окружность.
По этой окружности откладываем от точки А расстояние АВ три раза: получаем точку С, очевидно, диаметрально противоположную А. Расстояние АС представляет собой двойное рассрастояние АВ. Проведя окружность из С радиусом ВС, мы можем таким же образом найти точку,
диаметрально противоположную В и, следовательно, удаленную от А на
тройное расстояние АВ, и т. д.

Как отобразить окружность в прямую

любое построение, выполнимое на плоскости циркулем и линейкой, можно выполнить одной линейкой, если нарисована хотя бы одна окружность и отмечен её центр.

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Проведем прямые PA и PB и отметим точки D и C их пересечения прямой b. Пусть О — точка пересечения прямых AC и BD. Тогда, согласно предыдущей лемме, прямая PO пересечёт отрезок AB в его середине M.

Решением задачи 1.3 по методу Штейнера-Понеселе будет:

Как отобразить окружность в прямую

1.4 Окружность, вписанная в квадрат

Из точки A, лежащей вне данной полуокружности, опустить на её диаметр перпендикуляр, обходясь при этом без циркуля. Положение центра полуокружности не указано.

Как отобразить окружность в прямую

Нам пригодится здесь то свойство треугольника, что все его высоты пересекаются в одной точке. Соединим A с B и C; получим точки D и E. Прямые BE и CD, очевидно, — высоты треугольника ABC. Третья высота — искомый перпендикуляр к BC — должна проходить через пересечение двух других, т.е. через точку M. Проведя по линейке прямую через точки A и M, мы выполним требованиек задачи, не прибегая к услугам циркуля.

Как отобразить окружность в прямую

И опустив перпендикуляр из точки пересечения диагоналей квадрата на ребро, найдём середину ребра.
Это же построение можно использовать для решения задачи 2.9 Окружность, касающаяся прямой

1.6 Найти центр окружности

Плоский угол, опирающийся на диаметр окружности, — прямой.

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Определение: касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Рассмотрим задачу 2.8
2.8 Касательная к окружности в точке
Возвращаясь к предыдущей задаче, эту задачу можно решить построив угол, опирающийся на диаметр окружности по теореме Фалеса

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

Далее, построив перпендикуляр к касательной, найдём диаметр окружности, и, разделив его пополам, найдём центр окружности.

Ещё об одном способе построения касательной к окружности можно узнать из лекции 1.5 курса «Геометрия и группы» А. Савватеева ссылка

1.7 Квадрат, вписанный в окружность

Задача Наполеона

Как отобразить окружность в прямую

Решим задачу методом Мора-Маскерони.
Построим три окружности радиусом r и две окружности радиусом Как отобразить окружность в прямую

Как отобразить окружность в прямую

В приложении нет такой операции, как перенос раствора циркуля (равного MO), поэтому необходимо использовать дополнительные построения.
Для того, чтобы построить касательную к исходной окружности, параллельную МО, необходимо произвести построения, которые были приведены выше (построить три окружности радиусом r и две окружности радиусом Как отобразить окружность в прямую), но вместо исходной окружности взять окружность, обозначенную на рисунке синим цветом
Как отобразить окружность в прямую
Т.о. мы перенесли раствор циркуля (равный МО) в точку А.
Далее из точки А необходимо провести окружность c радиусом МО
Как отобразить окружность в прямую

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямой

Дробно-линейные отображения

Как отобразить окружность в прямую

  • Как отобразить окружность в прямую
  • Как отобразить окружность в прямую
  • Дробно-линейной функцией называется функция вида: Как отобразить окружность в прямую, где Как отобразить окружность в прямую— произвольные комплексные числа, такие, что Как отобразить окружность в прямую.

    Перечислим без доказательства свойства дробно-линейной функции.

    1. Дробно-линейная функция осуществляет взаимно однозначное отображение расширенной комплексной плоскости на себя. При этом точка Как отобразить окружность в прямуюотображается в точку Как отобразить окружность в прямую, а точка Как отобразить окружность в прямуюотображается в Как отобразить окружность в прямую.
    2. Дробно-линейное отображение можно представить в виде суперпозиции трех простейших отображений: целого линейного Как отобразить окружность в прямую, отображения Как отобразить окружность в прямуюи сдвига Как отобразить окружность в прямую.
    3. Дробно-линейное отображение отображает окружности и прямые в окружности и прямые. При этом прямая может перейти как в прямую, так и в окружность. Окружность тоже может перейти как в прямую, так и в окружность. Это свойство называется круговым свойством дробно-линейных отображений.
    4. Точки симметричные относительно прямой или окружности переходят в точки симметричные относительно образа этой прямой или окружности.
    5. Дробно-линейное отображение, переводящее три заданные точки в три заданные точки: Как отобразить окружность в прямуюдается формулой: Как отобразить окружность в прямую

    Пример 1 Найти образ мнимой оси при отображении Как отобразить окружность в прямую.

    Мнимая ось представляет собой прямую. По третьему свойству она должна перейти в окружность или в прямую. Найдем образы трех точек мнимой оси: Как отобразить окружность в прямую. Так как образ одной из точек Как отобразить окружность в прямую, то мнимая ось переходит в прямую проходящую через Как отобразить окружность в прямуюи Как отобразить окружность в прямую, то есть в действительную ось.

    Пример 2 Найти дробно линейное отображение, переводящее точки Как отобразить окружность в прямую.

    Как отобразить окружность в прямую

    Пример 3 Найти образ области Как отобразить окружность в прямуюпри отображении Как отобразить окружность в прямую

    Найдем образ мнимой оси при данном отображении. Возьмем три точки : Как отобразить окружность в прямую.

    Отметим также, что Как отобразить окружность в прямую. Куда же перешел луч Как отобразить окружность в прямую? Подставим в формулу отображения: Как отобразить окружность в прямую. При Как отобразить окружность в прямую, точки Как отобразить окружность в прямуюпереходят в точки луча Как отобразить окружность в прямуюдействительной оси. Точки Как отобразить окружность в прямуюпереходят в луч Как отобразить окружность в прямую. Образы двух точек действительной оси у нас есть: Как отобразить окружность в прямуюДействительная ось переходит в окружность, проходящую через точки Как отобразить окружность в прямую.

    Найдем образ точки Как отобразить окружность в прямуюиз границы нашей области:

    Как отобразить окружность в прямую

    Итак, образ луча Как отобразить окружность в прямуюбудет полуокружность Как отобразить окружность в прямую.

    Теперь мы можем изобразить схему самого отображения:

    Как отобразить окружность в прямую

    Пример 4 Найти образы всех квадрантов при отображении .

    Чтобы не решать опять задачи подобные примеру 3, воспользуемся следствием принципа симметрии Римана-Шварца в такой формулировке:

    Пусть функция Как отобразить окружность в прямуюотображает область Как отобразить окружность в прямуюв Как отобразить окружность в прямуюи Как отобразить окружность в прямую— дуга окружности или отрезок, принадлежащий границе области Как отобразить окружность в прямую, и Как отобразить окружность в прямую— область, симметричная Как отобразить окружность в прямуюотносительно Как отобразить окружность в прямую.

    Пусть Как отобразить окружность в прямуюнепрерывна на Как отобразить окружность в прямуюи области Как отобразить окружность в прямуюи Как отобразить окружность в прямуюне пересекаются. Тогда функция Как отобразить окружность в прямуюконформно отображает Как отобразить окружность в прямуюна Как отобразить окружность в прямую, где Как отобразить окружность в прямуюи Как отобразить окружность в прямую— образы Как отобразить окружность в прямуюи Как отобразить окружность в прямуюсоответственно при отображении Как отобразить окружность в прямую.

    На следующем рисунке видно, что области Как отобразить окружность в прямуюи Как отобразить окружность в прямуюсимметричны относительно луча Как отобразить окружность в прямую, который переходит в полуокружность Как отобразить окружность в прямую. Так находится образ области Как отобразить окружность в прямую. Он для удобства обозначен штриховкой. Точно так же находятся образы остальных двух квадрантов.

    Как отобразить окружность в прямую

    Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

    Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

    Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

    Как отобразить окружность в прямую

    Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

    Как отобразить окружность в прямую

    В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

    В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

    Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

    Как отобразить окружность в прямую

  • Как отобразить окружность в прямую
  • Как отобразить окружность в прямую
  • Как отобразить окружность в прямую

    Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

    📹 Видео

    Уравнение окружности (1)Скачать

    Уравнение окружности (1)

    9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

    9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

    9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

    9 класс, 6 урок, Уравнение окружности

    Найти центр кругаСкачать

    Найти центр круга

    10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

    10 класс, 11 урок, Числовая окружность

    Окружность. 7 класс.Скачать

    Окружность. 7 класс.

    Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

    Как искать точки на тригонометрической окружности.

    Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Математика 6 класс.

    Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

    Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессора

    Тригонометрия с нуля до ЕГЭ за 6 часов | Математика ЕГЭ 10 класс | УмскулСкачать

    Тригонометрия с нуля до ЕГЭ за 6 часов | Математика ЕГЭ 10 класс | Умскул

    Геометрия 9 класс (Урок№9 - Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности. Уравнение прямой.)Скачать

    Геометрия 9 класс (Урок№9 - Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности. Уравнение прямой.)

    Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Конформные отображенияСкачать

    Конформные отображения

    Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

    Тригонометрическая окружность. Как выучить?

    Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

    Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать

    Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |

    Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

    Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

    #207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

    #207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера
    Поделиться или сохранить к себе: