Видео:Подобие прямоугольных треугольников и его применениеСкачать
Подобные треугольники
Рассмотрим два треугольника KLM и TRP (рис.1) и введём следующие обозначения.
длины сторон треугольника KLM , расположенные в порядке возрастания.
длины сторон треугольника TRP , расположенные в порядке возрастания.
Переобозначим вершины треугольников KLM и TRP так, как показано на рисунке 2.
На рисунке 2 треугольник KLM обозначается как треугольник A1B1C1 , а треугольник TRP обозначается как треугольник A2B2C2 .
вершины A1 и A2 , B1 и B2 , C1 и C2 называют сходственными вершинами ,
стороны A1B1 и A2B2 , A1C1 и A2C2 , B1C1 и B2C2 называют сходственными сторонами ,
углы A1 и A2 , B1 и B2 , C1 и C2 называют сходственными углами
Определение 2 . Треугольники A1B1C1 и A2B2C2 называют подобными треугольниками, если их сходственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.
а, во-вторых, существует положительное число k , такое, что справедливы равенства:
Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
Признак подобия треугольников по двум углам
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Признак подобия треугольников по трём сторонам
Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны
Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними
Формулировка признака подобия:
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
Признак подобия треугольников по двум углам
Формулировка признака подобия:
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Признак подобия треугольников по трём сторонам
Формулировка признака подобия:
Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны
Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать
Признаки подобия прямоугольных треугольников
Название признака
Рисунок
Формулировка признака
Признак подобия прямоугольных треугольников по двум катетам
Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.
Признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу
Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.
Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.
Признак подобия прямоугольных треугольников по двум катетам
Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.
Признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу
Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.
Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.
Следствие 1 . Прямая, пересекающая треугольник и параллельная стороне треугольника, отсекает от этого треугольника подобный треугольник (рис. 3).
Следствие 2 . Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (рис. 4)
Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.
Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.
Видео:Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать
Признаки подобия треугольников
I признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
II признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.
Видео:Подобие в прямоугольных треугольникахСкачать
Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников
1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.
2. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –
3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .
Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
Центр описанной окружности — середина гипотенузы.
Формулы:
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы:
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник выражается следующим образом:
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать
Признаки равенства прямоугольных треугольников
С помощью признаков равенства прямоугольных треугольников можно доказать что прямоугольные треугольники равны.
По двум катетам: Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
По катету и гипотенузе: Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
По гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольникиравны.
По катету и острому углу: Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Видео:Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой РепетиторСкачать
Признаки прямоугольного треугольника
С помощью признаков прямоугольного треугольника можно доказать, что треугольник прямоугольный.
По теореме Пифагора: Если квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
По центру описанной окружности: Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то треугольник прямоугольный.
По медиане: Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
По площади: Если площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, то треугольник прямоугольный.
По радиусу описанной окружности: Если радиус описанной окружности равен половине, то треугольник прямоугольный.
Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать
Признаки подобия прямоугольных треугольников
С помощью признаков подобия прямоугольных треугольников можно доказать, что прямоугольные треугольники подобны.
🎥 Видео
Второй и третий признак подобия прямоугольных треугольников.Скачать
Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать
Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Подобные треугольники
II признак подобия треугольников
и 
, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия – 
