Как определить пересекаются ли окружности по центру и радиусу (3 видео)

Пересечение двух окружностей

Этот онлайн калькулятор находит точки пересечения двух окружностей, если они существуют

Чтобы использовать калькулятор, введите координаты x и y центра и радиус каждой окружности.

Формулы для расчета приведены под калькулятором.

Содержание

Точки пересечения двух окружностей
Первая окружность
Вторая окружность
Пересечение окружностей
Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.
Проверьте, касаются ли два заданных круга или пересекаются друг с другом
📹 Видео

Точки пересечения двух окружностей

Первая окружность

Вторая окружность

Видео:Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать

Пересечение окружностей

Сама по себе задача нахождения точек пересечения двух окружностей достаточно проста, однако предварительно надо проанализировать если ли вообще точки пересения у данных двух окружностей. Поэтому начать надо с вычисления расстояния d в декартовых координатах между центрами окружностей и сравнения его с радиусами окружностей r1 и r2.

При этом возможно следующие случаи (расстояние между центрами показано красным отрезком):

Случай	Описание	Условие
Тривиальный случай — окружности совпадают (это одна и та же окружность)
Окружности не касаются друг друга	r1 + r2″ />
Одна окружность содержится внутри другой и не касается ее
Окружности пересекаются в двух точках	Не выполнено ни одно из условий выше
Окружности соприкасаются в одной точке	Частный случай предыдущего

Если окружности действительно пересекаются, калькулятор использует следующие формулы (в-основном выведенные из теоремы Пифагора), проиллюстрированные рисунком ниже:

Сначала калькулятор находит отрезок a

Чтобы найти точку P3, калькулятор использует следующую формулу (в векторном виде):

И наконец, чтобы найти точки пересечения, калькулятор использует следующие уравнения:
Первая точка:

Обратите внимание на разные знаки перед вторым слагаемым

По теме также можно посмотреть следующие ссылки (на английском языке): Circle-Circle Intersection и Circles and spheres

Видео:начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать

Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.

Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.

Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.

Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.

Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO₁).

Теорема.

Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.

Пусть окружности O и O₁ имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO_1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO₁.

Опустим из A на прямую OO₁ перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA₁, равное AB. Докажем теперь, что точка A₁ принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O₁ лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA₁ через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A₁. То же можно сказать и о точке O₁. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A₁.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A₁ (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.

Следствие.

Общая хорда (AA₁) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.

Теоремы.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.

2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.

Признаки различных случаев относительного положения окружностей.

Пусть имеем две окружности с центрами O и O₁, радиусами R и R₁ и расстоянием между центрами d.

Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:

1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R₁ .

2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R₁, так как точка касания лежит на линии центров O O₁.

3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R₁, потому что в треугольнике OAO₁ сторона OO₁ меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R — R₁, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO₁.

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,

d R + R₁, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.

2. Если d = R + R₁, то окружности касаются извне.

3. Если d R — R₁, то окружности пересекаются.

4. Если d = R — R₁, то окружности касаются изнутри.

5. Если d R Е R₁. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.

Видео:Найти центр и радиус окружностиСкачать

Проверьте, касаются ли два заданных круга или пересекаются друг с другом

Есть две окружности A и B с их центрами C1 (x1, y1) и C2 (x2, y2) и радиусом R1 и R2 . Задача — проверить, касаются ли оба круга А и В друг друга или нет.

Примеры :

// C ++ программа для проверки, если два
// круги касаются друг друга или нет.
#include

using namespace std;

int circle( int x1, int y1, int x2,

int y2, int r1, int r2)

int distSq = (x1 — x2) * (x1 — x2) +

int radSumSq = (r1 + r2) * (r1 + r2);

if (distSq == radSumSq)

else if (distSq > radSumSq)

int x1 = -10, y1 = 8;

int x2 = 14, y2 = -24;

int r1 = 30, r2 = 10;

int t = circle(x1, y1, x2,

cout «Circle touch to»

cout «Circle not touch»

cout «Circle intersect»

// Java-программа для проверки, если два
// круги касаются друг друга или нет.

static int circle( int x1, int y1, int x2,

int y2, int r1, int r2)

int distSq = (x1 — x2) * (x1 — x2) +

int radSumSq = (r1 + r2) * (r1 + r2);

if (distSq == radSumSq)

else if (distSq > radSumSq)

public static void main (String[] args)

int x1 = — 10 , y1 = 8 ;

int x2 = 14 , y2 = — 24 ;

int r1 = 30 , r2 = 10 ;

int t = circle(x1, y1, x2,

System.out.println ( «Circle touch to» +

System.out.println ( «Circle not touch» +

System.out.println ( «Circle intersect» +

// Эта статья предоставлена vt_m.

# Python3 программа для
# проверить, касаются ли два круга
# друг друга или нет.

def circle(x1, y1, x2, y2, r1, r2):

distSq = (x1 — x2) * (x1 — x2) + (y1 — y2) * (y1 — y2);

radSumSq = (r1 + r2) * (r1 + r2);

if (distSq = = radSumSq):

elif (distSq > radSumSq):

t = circle(x1, y1, x2, y2, r1, r2)

print ( «Circle touch to each other.» )

print ( «Circle not touch to each other.» )

print ( «Circle intersect to each other.» )

# Этот код предоставлен
# Смита Динеш Семвал

// C # программа для проверки, если два
// круги касаются друг друга или нет.

static int circle( int x1, int y1, int x2,

int y2, int r1, int r2)

int distSq = (x1 — x2) * (x1 — x2) +

int radSumSq = (r1 + r2) * (r1 + r2);

if (distSq == radSumSq)

else if (distSq > radSumSq)

public static void Main ()

int x1 = -10, y1 = 8;

int x2 = 14, y2 = -24;

int r1 = 30, r2 = 10;

int t = circle(x1, y1, x2,

Console.WriteLine ( «Circle touch» +

Console.WriteLine( «Circle not touch» +

Console.WriteLine ( «Circle intersect» +

// Этот код предоставлен vt_m.

// PHP программа для проверки двух
// круги касаются друг друга или нет.

function circle( $x1 , $y1 , $x2 ,

$distSq = ( $x1 — $x2 ) * ( $x1 — $x2 ) +

( $y1 — $y2 ) * ( $y1 — $y2 );

$radSumSq = ( $r1 + $r2 ) * ( $r1 + $r2 );

if ( $distSq == $radSumSq )

else if ( $distSq > $radSumSq )

$t = circle( $x1 , $y1 , $x2 ,

echo «Circle touch to each other.» ;

echo «Circle not touch to each other.» ;

echo «Circle intersect to each other.» ;

// Этот код предоставлен vt_m.
?>

Выход :

Эта статья предоставлена Дхармендра Кумар . Если вы как GeeksforGeeks и хотели бы внести свой вклад, вы также можете написать статью с помощью contribute.geeksforgeeks.org или по почте статьи contribute@geeksforgeeks.org. Смотрите свою статью, появляющуюся на главной странице GeeksforGeeks, и помогите другим вундеркиндам.

Пожалуйста, пишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное, или вы хотите поделиться дополнительной информацией по обсуждаемой выше теме.