Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых.

Эта статья о параллельных прямых и о параллельности прямых. Сначала дано определение параллельных прямых на плоскости и в пространстве, введены обозначения, приведены примеры и графические иллюстрации параллельных прямых. Далее разобраны признаки и условия параллельности прямых. В заключении показаны решения характерных задач на доказательство параллельности прямых, которые заданы некоторыми уравнениями прямой в прямоугольной системе координат на плоскости и в трехмерном пространстве.

Навигация по странице.

Видео:19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми

Параллельные прямые – основные сведения.

Напомним сначала определения параллельных прямых, которые были даны в статьях прямая на плоскости и прямая в пространстве.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями

Две прямые в трехмерном пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями

Обратите внимание, что оговорка «если они лежат в одной плоскости» в определении параллельных прямых в пространстве очень важна. Поясним этот момент: две прямые в трехмерном пространстве, которые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости не являются параллельными, а являются скрещивающимися.

Приведем несколько примеров параллельных прямых. Противоположные края тетрадного листа лежат на параллельных прямых. Прямые, по которым плоскость стены дома пересекает плоскости потолка и пола, являются параллельными. Железнодорожные рельсы на ровной местности также можно рассматривать как параллельные прямые.

Для обозначения параллельных прямых используют символ «Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями». То есть, если прямые а и b параллельны, то можно кратко записать а Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямиb .

Обратите внимание: если прямые a и b параллельны, то можно сказать, что прямая a параллельна прямой b , а также, что прямая b параллельна прямой a .

Озвучим утверждение, которое играет важную роль при изучении параллельных прямых на плоскости: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Это утверждение принимается как факт (оно не может быть доказано на основе известных аксиом планиметрии), и оно называется аксиомой параллельных прямых.

Для случая в пространстве справедлива теорема: через любую точку пространства, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых (ее доказательство Вы можете найти в учебнике геометрии 10-11 класс, который указан в конце статьи в списке литературы).

Для случая в пространстве справедлива теорема: через любую точку пространства, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых.

Видео:7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямыхСкачать

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямых

Параллельность прямых — признаки и условия параллельности.

Признаком параллельности прямых является достаточное условие параллельности прямых, то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямых. Иными словами, выполнение этого условия достаточно для того, чтобы констатировать факт параллельности прямых.

Также существуют необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в трехмерном пространстве.

Поясним смысл фразы «необходимое и достаточное условие параллельности прямых».

С достаточным условием параллельности прямых мы уже разобрались. А что же такое «необходимое условие параллельности прямых»? По названию «необходимое» понятно, что выполнение этого условия необходимо для параллельности прямых. Иными словами, если необходимое условие параллельности прямых не выполнено, то прямые не параллельны. Таким образом, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – это условие, выполнение которого как необходимо, так и достаточно для параллельности прямых. То есть, с одной стороны это признак параллельности прямых, а с другой стороны – это свойство, которым обладают параллельные прямые.

Прежде чем сформулировать необходимое и достаточное условие параллельности прямых, целесообразно напомнить несколько вспомогательных определений.

Секущая прямая – это прямая, которая пересекает каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

При пересечении двух прямых секущей образуются восемь неразвернутых углов. В формулировке необходимого и достаточного условия параллельности прямых участвуют так называемые накрест лежащие, соответственные и односторонние углы. Покажем их на чертеже.

Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями

Если две прямые на плоскости пересечены секущей, то для их параллельности необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180 градусам.

Покажем графическую иллюстрацию этого необходимого и достаточного условия параллельности прямых на плоскости.

Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями

Доказательства этих условий параллельности прямых Вы можете найти в учебниках геометрии за 7 — 9 классы.

Заметим, что эти условия можно использовать и в трехмерном пространстве – главное, чтобы две прямые и секущая лежали в одной плоскости.

Приведем еще несколько теорем, которые часто используются при доказательстве параллельности прямых.

Если две прямые на плоскости параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака следует из аксиомы параллельных прямых.

Существует аналогичное условие параллельности прямых в трехмерном пространстве.

Если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака рассматривается на уроках геометрии в 10 классе.

Проиллюстрируем озвученные теоремы.

Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями

Приведем еще одну теорему, позволяющую доказывать параллельность прямых на плоскости.

Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.

Существует аналогичная теорема для прямых в пространстве.

Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны.

Изобразим рисунки, соответствующие этим теоремам.

Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями

Все сформулированные выше теоремы, признаки и необходимые и достаточные условия прекрасно подходят для доказательства параллельности прямых методами геометрии. То есть, чтобы доказать параллельность двух заданных прямых нужно показать, что они параллельны третьей прямой, или показать равенство накрест лежащих углов и т.п. Множество подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе. Однако следует отметить, что во многих случаях удобно пользоваться методом координат для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве. Сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых, которые заданы в прямоугольной системе координат.

Видео:Расстояние между параллельными прямымиСкачать

Расстояние между параллельными прямыми

Параллельность прямых в прямоугольной системе координат.

Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат, то прямую линию в этой системе координат определяет уравнение прямой на плоскости некоторого вида. Аналогично прямую линию в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве задают некоторые уравнения прямой в пространстве.

В этом пункте статьи мы сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от вида уравнений, определяющих эти прямые, а также приведем подробные решения характерных задач.

Начнем с условия параллельности двух прямых на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy . В основе его доказательства лежит определение направляющего вектора прямой и определение нормального вектора прямой на плоскости.

Для параллельности двух несовпадающих прямых на плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, или нормальные векторы этих прямых были коллинеарны, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору второй прямой.

Очевидно, условие параллельности двух прямых на плоскости сводится к условию коллинеарности двух векторов (направляющих векторов прямых или нормальных векторов прямых) или к условию перпендикулярности двух векторов (направляющего вектора одной прямой и нормального вектора второй прямой). Таким образом, если Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямии Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями— направляющие векторы прямых a и b , а Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямии Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями— нормальные векторы прямых a и b соответственно, то необходимое и достаточное условие параллельности прямых а и b запишется как Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями, или Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями, или Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями, где t — некоторое действительное число. В свою очередь координаты направляющих и (или) нормальных векторов прямых a и b находятся по известным уравнениям прямых.

В частности, если прямую a в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает общее уравнение прямой вида Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями, а прямую b — Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями, то нормальные векторы этих прямых имеют координаты Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямии Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямисоответственно, а условие параллельности прямых a и b запишется как Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями.

Если прямой a соответствует уравнение прямой с угловым коэффициентом вида Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями, а прямой b — Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями, то нормальные векторы этих прямых имеют координаты Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямии Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями, а условие параллельности этих прямых примет вид Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями. Следовательно, если прямые на плоскости в прямоугольной системе координат параллельны и могут быть заданы уравнениями прямых с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты прямых будут равны. И обратно: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат могут быть заданы уравнениями прямой с равными угловыми коэффициентами, то такие прямые параллельны.

Если прямую a и прямую b в прямоугольной системе координат определяют канонические уравнения прямой на плоскости вида Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямии Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями, или параметрические уравнения прямой на плоскости вида Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямии Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямисоответственно, то направляющие векторы этих прямых имеют координаты Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямии Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями, а условие параллельности прямых a и b записывается как Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями.

Разберем решения нескольких примеров.

Параллельны ли прямые Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямии Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями?

Перепишем уравнение прямой в отрезках Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямив виде общего уравнения прямой: Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями. Теперь видно, что Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями— нормальный вектор прямой Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями, а Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями— нормальный вектор прямой Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями. Эти векторы не коллинеарны, так как не существует такого действительного числа t , для которого верно равенство Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями(Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями). Следовательно, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, поэтому, заданные прямые не параллельны.

нет, прямые не параллельны.

Являются ли прямые Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямии Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямипараллельными?

Приведем каноническое уравнение прямой Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямик уравнению прямой с угловым коэффициентом: Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями. Очевидно, что уравнения прямых Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямии Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямине одинаковые (в этом случае заданные прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, следовательно, исходные прямые параллельны.

Второй способ решения.

Сначала покажем, что исходные прямые не совпадают: возьмем любую точку прямой Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями, например, (0, 1) , координаты этой точки не удовлетворяют уравнению прямой Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями, следовательно, прямые не совпадают. Теперь проверим выполнение условия параллельности этих прямых. Нормальный вектор прямой Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямиесть вектор Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями, а направляющий вектор прямой Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямиесть вектор Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями. Вычислим скалярное произведение векторов Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямии Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями: Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями. Следовательно, векторы Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямии Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямиперпендикулярны, значит, выполненяется необходимое и достаточное условие параллельности заданных прямых. Таким образом, прямые параллельны.

заданные прямые параллельны.

Чтобы доказать параллельность прямых в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве пользуются следующим необходимым и достаточным условием.

Для параллельности несовпадающих прямых в трехмерном пространстве необходимо и достаточно, чтобы их направляющие векторы были коллинеарны.

Таким образом, если известны уравнения прямых в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве и нужно ответить на вопрос параллельны эти прямые или нет, то нужно найти координаты направляющих векторов этих прямых и проверить выполнение условия коллинеарности направляющих векторов. Другими словами, если Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямии Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями— направляющие векторы прямых a и b соответственно, то для параллельности прямых a и b необходимо и достаточно, чтобы существовало такое действительное число t , при котором справедливо Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями.

Разберемся с применением условия параллельности прямых в пространстве при решении примера.

Докажите параллельность прямых Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямии Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями.

Нам заданы канонические уравнения прямой в пространстве вида Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямии параметрические уравнения прямой в пространстве вида Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями. Направляющие векторы Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямии Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямизаданных прямых имеют координаты Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямии Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями. Так как Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями, то Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями. Таким образом, выполнено необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых в пространстве. Этим доказана параллельность прямых Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениямии Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Условие параллельности прямых

Необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых, заданных уравнением:

служит равенство их угловых коэффициентов, то есть

Если прямые заданы уравнениями в общем виде, то есть

Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями

то условие параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны:

Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями

или в другом представлении
Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями
Также это равенство можно записать в виде

Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями

Если свободные члены пропорциональны, то есть,
Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями
то прямые не только параллельны, но и совпадают.

4x+2y-8=0 и 8x+4y-16=0

представляют одну и ту же прямую, то есть совпадают.

Пример 2
Прямые у=4x-3 ( на графике синего цвета ) и y=4x+7 ( прямая красного цвета ) параллельны, так как у них угловые коэффициенты равны k1=k2=4

Пример 3
Прямые у=5x+1 и y=3x-4 не параллельны, так как у них угловые коэффициенты не равны, т.е. k1=5, k2=3

Пример 4
Прямые 2x+4y+7=0 и 3x+6y-5=0 параллельны, так как выражение равно нулю

Пример 5
Прямые 2x-7y+7=0 и 3x+y-5=0 не параллельны, так как выражение не равно нулю
Как определить параллельны ли прямые заданные уравнениями

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Условие параллельности прямых

Условием параллельности прямых, заданных уравнениями

служит равенство угловых коэффициентов

т. е. прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны, и не параллельны, если угловые коэффициенты не равны. Две совпадающие считаются параллельными.

параллельны, так как у них угловые коэффициенты равны

не параллельны, так как у них угловые коэффициенты не равны

параллельны, так как у них угловые коэффициенты равны

💡 Видео

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

24. Определение параллельных прямыхСкачать

24. Определение параллельных прямых

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.

Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямые

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.Скачать

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.

Параллельные прямые циркулемСкачать

Параллельные прямые циркулем

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.
Поделиться или сохранить к себе: