Как определить меньшую сторону треугольника

Свойства сторон и углов треугольника

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

Как определить меньшую сторону треугольника,

где α – больший угол треугольника.

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

Как определить меньшую сторону треугольника,

где β – меньший угол треугольника.

Как определить меньшую сторону треугольника,

ФигураРисунокФормулировка
ТреугольникКак определить меньшую сторону треугольника
Большая сторона треугольникаКак определить меньшую сторону треугольникаПротив большей стороны треугольника лежит больший угол
Больший угол треугольникаПротив большего угла треугольника лежит большая сторона
Меньшая сторона треугольникаКак определить меньшую сторону треугольникаПротив меньшей стороны треугольника лежит меньший угол
Меньший угол треугольникаПротив меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона
Длины сторон треугольникаКак определить меньшую сторону треугольника
Углы треугольникаКак определить меньшую сторону треугольника
Внешний угол треугольникаКак определить меньшую сторону треугольника
Больший угол треугольникаКак определить меньшую сторону треугольника
Меньший угол треугольникаКак определить меньшую сторону треугольника
Теорема косинусовКак определить меньшую сторону треугольника
Теорема синусовКак определить меньшую сторону треугольника

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Определение . Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

Как определить меньшую сторону треугольника,

где α – больший угол треугольника.

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

Как определить меньшую сторону треугольника,

где β – меньший угол треугольника.

Как определить меньшую сторону треугольника,

Треугольник
Как определить меньшую сторону треугольника
Большая сторона треугольника
Как определить меньшую сторону треугольникаПротив большей стороны треугольника лежит больший угол
Больший угол треугольника
Как определить меньшую сторону треугольникаПротив большего угла треугольника лежит большая сторона
Меньшая сторона треугольника
Как определить меньшую сторону треугольникаПротив меньшей стороны треугольника лежит меньший угол
Меньший угол треугольника
Как определить меньшую сторону треугольникаПротив меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона
Длины сторон треугольника
Как определить меньшую сторону треугольника
Углы треугольника
Как определить меньшую сторону треугольника
Внешний угол треугольника
Как определить меньшую сторону треугольника
Больший угол треугольника
Как определить меньшую сторону треугольника
Меньший угол треугольника
Как определить меньшую сторону треугольника
Теорема косинусов
Как определить меньшую сторону треугольника
Теорема синусов
Как определить меньшую сторону треугольника
Треугольник
Как определить меньшую сторону треугольника

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Определение . Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Большая сторона треугольникаКак определить меньшую сторону треугольника

Свойство большей стороны треугольника:

Против большей стороны треугольника лежит больший угол

Больший угол треугольникаКак определить меньшую сторону треугольника

Свойство большего угла треугольника:

Против большего угла треугольника лежит большая сторона

Меньшая сторона треугольникаКак определить меньшую сторону треугольника

Свойство меньшей стороны треугольника:

Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол

Меньший угол треугольникаКак определить меньшую сторону треугольника

Свойство меньшего угла треугольника:

Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона

Длины сторон треугольникаКак определить меньшую сторону треугольника

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Углы треугольникаКак определить меньшую сторону треугольника

Свойство углов треугольника:

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника

Как определить меньшую сторону треугольника

Как определить меньшую сторону треугольника

Свойство внешнего угла треугольника:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Больший угол треугольникаКак определить меньшую сторону треугольника

Свойство большего угла треугольника:

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

Как определить меньшую сторону треугольника,

где α – больший угол треугольника.

Меньший угол треугольникаКак определить меньшую сторону треугольника

Свойство меньшего угла треугольника:

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

Как определить меньшую сторону треугольника,

где β – меньший угол треугольника.

Теорема косинусовКак определить меньшую сторону треугольника

Теорема синусовКак определить меньшую сторону треугольника

Свойство меньшего угла треугольника:

Как определить меньшую сторону треугольника,

Содержание
  1. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  2. Типы треугольников
  3. По величине углов
  4. По числу равных сторон
  5. Вершины углы и стороны треугольника
  6. Свойства углов и сторон треугольника
  7. Теорема синусов
  8. Теорема косинусов
  9. Теорема о проекциях
  10. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  11. Медианы треугольника
  12. Свойства медиан треугольника:
  13. Формулы медиан треугольника
  14. Биссектрисы треугольника
  15. Свойства биссектрис треугольника:
  16. Формулы биссектрис треугольника
  17. Высоты треугольника
  18. Свойства высот треугольника
  19. Формулы высот треугольника
  20. Окружность вписанная в треугольник
  21. Свойства окружности вписанной в треугольник
  22. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  23. Окружность описанная вокруг треугольника
  24. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  25. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  26. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  27. Средняя линия треугольника
  28. Свойства средней линии треугольника
  29. Периметр треугольника
  30. Формулы площади треугольника
  31. Формула Герона
  32. Равенство треугольников
  33. Признаки равенства треугольников
  34. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  35. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  36. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  37. Подобие треугольников
  38. Признаки подобия треугольников
  39. Первый признак подобия треугольников
  40. Второй признак подобия треугольников
  41. Третий признак подобия треугольников
  42. Треугольник. Формулы определения и свойства треугольников.
  43. Определение треугольника
  44. Классификация треугольников
  45. 1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.
  46. 2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β
  47. 3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.
  48. 4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°
  49. 5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.
  50. 6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).
  51. Свойства треугольника
  52. 1.Свойства углов и сторон треугольника.
  53. 2.Теорема синусов.
  54. 3. Теорема косинусов.
  55. 4. Теорема о проекциях
  56. Медианы треугольника
  57. Свойства медиан треугольника:
  58. Формулы медиан треугольника
  59. 🎥 Видео

Видео:№499. Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными: а) 24 см, 25 см, 7 см; б) 15Скачать

№499. Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными: а) 24 см, 25 см, 7 см; б) 15

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисунке

Типы треугольников

По величине углов

Как определить меньшую сторону треугольника

Как определить меньшую сторону треугольника

Как определить меньшую сторону треугольника

По числу равных сторон

Как определить меньшую сторону треугольника

Как определить меньшую сторону треугольника

Как определить меньшую сторону треугольника

Видео:Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать

Найдите сторону треугольника на рисунке

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Как определить меньшую сторону треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Медианы треугольника

Как определить меньшую сторону треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Биссектрисы треугольника

Как определить меньшую сторону треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Супер ЖЕСТЬ ➜ Найдите сторону треугольника ➜ Решить без тригонометрииСкачать

Супер ЖЕСТЬ ➜ Найдите сторону треугольника ➜ Решить без тригонометрии

Высоты треугольника

Как определить меньшую сторону треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5Скачать

Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5

Окружность вписанная в треугольник

Как определить меньшую сторону треугольника

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Найдите третью сторону треугольникаСкачать

Найдите третью сторону треугольника

Окружность описанная вокруг треугольника

Как определить меньшую сторону треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?Скачать

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Как определить меньшую сторону треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:Почти никто не решил ➜ Найдите сторону треугольникаСкачать

Почти никто не решил ➜ Найдите сторону треугольника

Периметр треугольника

Как определить меньшую сторону треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:Найдите стороны треугольникаСкачать

Найдите стороны треугольника

Формулы площади треугольника

Как определить меньшую сторону треугольника

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Видео:Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬСкачать

Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬ

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Подобие треугольников

Как определить меньшую сторону треугольника

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Треугольник. Формулы определения и свойства треугольников.

В данной статье мы расскажем о классификаци и свойствах основной геометрической фигуры — треугольника. А также разберем некоторе примеры решения задач на треугольники.

Содержание:

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

9 класс, 15 урок, Решение треугольников

Определение треугольника

Треугольник — это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. В геометрических задачах треугольник обычно изображают специальным симовлом — △, после которго пишут названия вершин треугольника напр. △ABC.

Как определить меньшую сторону треугольника

Треугольник ABC (△ABC)

  • Точки A, B и C — вершины треугольника. Принято писать их большими буквами.
  • Отрезки AB, BC и СА — стороны треугольника. Обычно сторонам присваивают свои названия маленькими буквами. Имя выбирают по первой вершине каждой стороны. Напр. у стороны AB первая вершина А поэтому эта сторона называется а. Тоесть AB = a, BC = b, CА = c.
  • Стороны треугольника в местах соединения образуют три угла, которым обычно дают названия буквами греческого алфавита α, β, γ. Причем напротив стороны a лежит угол α, b — β, с — γ.

Углы треугольника, также, можно обозначать специальным символом — . После которого пишут вершины треугольника в таком порядке чтобы вершина обозначающегося угла была в серединке. Например:

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формулаСкачать

Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формула

Классификация треугольников

Все треугольники можно разделить на несколько видов, различающихся между собой величиной углов или длинами сторон. Такая классификация позволяет выделить особенности каждого из них.

1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

Как определить меньшую сторону треугольника

2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β

Как определить меньшую сторону треугольника

3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.

Как определить меньшую сторону треугольника

4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°

Как определить меньшую сторону треугольника

5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.

Как определить меньшую сторону треугольника

6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).

Как определить меньшую сторону треугольника

Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.

Свойства треугольника

1.Свойства углов и сторон треугольника.

Как определить меньшую сторону треугольника

  • Сумма всех углов треугольника равна 180°:
  • Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
  • В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

2.Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c
sin αsin βsin γ

3. Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

4. Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Медианы треугольника

Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Как определить меньшую сторону треугольника

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке O. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

AO=BO=CO=2
ODOEOF1

3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие по площади части

4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Как определить меньшую сторону треугольника

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны:

🎥 Видео

🔴 В прямоугольной трапеции основания ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 В прямоугольной трапеции основания  ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРА
Поделиться или сохранить к себе: