Как называется прямая не пересекающая окружность

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Как называется прямая не пересекающая окружностьОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Как называется прямая не пересекающая окружностьСвойства хорд и дуг окружности
Как называется прямая не пересекающая окружностьТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Как называется прямая не пересекающая окружностьДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Как называется прямая не пересекающая окружностьТеорема о бабочке

Как называется прямая не пересекающая окружность

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьКак называется прямая не пересекающая окружность
КругКак называется прямая не пересекающая окружность
РадиусКак называется прямая не пересекающая окружность
ХордаКак называется прямая не пересекающая окружность
ДиаметрКак называется прямая не пересекающая окружность
КасательнаяКак называется прямая не пересекающая окружность
СекущаяКак называется прямая не пересекающая окружность
Окружность
Как называется прямая не пересекающая окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругКак называется прямая не пересекающая окружность

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусКак называется прямая не пересекающая окружность

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаКак называется прямая не пересекающая окружность

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрКак называется прямая не пересекающая окружность

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяКак называется прямая не пересекающая окружность

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяКак называется прямая не пересекающая окружность

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеКак называется прямая не пересекающая окружностьДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыКак называется прямая не пересекающая окружностьЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныКак называется прямая не пересекающая окружностьБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиКак называется прямая не пересекающая окружностьУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыКак называется прямая не пересекающая окружностьДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Как называется прямая не пересекающая окружность

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыКак называется прямая не пересекающая окружность

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыКак называется прямая не пересекающая окружность

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиКак называется прямая не пересекающая окружность

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныКак называется прямая не пересекающая окружность

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиКак называется прямая не пересекающая окружность

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыКак называется прямая не пересекающая окружность

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как называется прямая не пересекающая окружность

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыКак называется прямая не пересекающая окружность
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиКак называется прямая не пересекающая окружность
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиКак называется прямая не пересекающая окружность
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаКак называется прямая не пересекающая окружность

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как называется прямая не пересекающая окружность

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

Пересекающиеся хорды
Как называется прямая не пересекающая окружность
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Как называется прямая не пересекающая окружность
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Как называется прямая не пересекающая окружность
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Как называется прямая не пересекающая окружность
Пересекающиеся хорды
Как называется прямая не пересекающая окружность

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как называется прямая не пересекающая окружность

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

Видео:Отрезок, луч, прямаяСкачать

Отрезок, луч, прямая

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

Тогда справедливо равенство

Как называется прямая не пересекающая окружность

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Как называется прямая не пересекающая окружность

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как называется прямая не пересекающая окружность

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Как называется прямая не пересекающая окружность

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как называется прямая не пересекающая окружность

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Как называется прямая не пересекающая окружность

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Как называется прямая не пересекающая окружность

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:ОГЭ за одну минуту | ОГЭ, математика, задание 16 (окружность и касательная)Скачать

ОГЭ за одну минуту | ОГЭ, математика, задание 16 (окружность и касательная)

Касательная к окружности

Как называется прямая не пересекающая окружность

О чем эта статья:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Как называется прямая не пересекающая окружность

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Как называется прямая не пересекающая окружность

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№25 - Взаимное расположение прямой и окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№25 - Взаимное расположение прямой и окружности.)

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Как называется прямая не пересекающая окружность

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Как называется прямая не пересекающая окружность

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Как называется прямая не пересекающая окружность

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Как называется прямая не пересекающая окружность

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Как называется прямая не пересекающая окружность

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Как называется прямая не пересекающая окружность

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Как называется прямая не пересекающая окружность

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Как называется прямая не пересекающая окружность

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Как называется прямая не пересекающая окружность

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Как называется прямая не пересекающая окружность

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Хорда, секущая, касательная

Видео:ОКРУЖНОСТИ В ОГЭ ✨ #огэ #математика #егэ #геометрия #окружностьСкачать

ОКРУЖНОСТИ В ОГЭ ✨               #огэ #математика #егэ #геометрия #окружность

Определения

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

В частности, хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром .

Секущей к окружности называется прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Как называется прямая не пересекающая окружность

Видео:8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружности

Свойства

Как называется прямая не пересекающая окружность

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной

Как называется прямая не пересекающая окружность

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Как называется прямая не пересекающая окружность

Отрезки пересекающихся хорд связаны соотношением: Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

Произведения отрезков секущих, проведенных из одной точки, равны: Как называется прямая не пересекающая окружность

Как называется прямая не пересекающая окружность

Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки: Как называется прямая не пересекающая окружность

Если две окружности касаются внешним образом, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов Видеодоказательство

Как называется прямая не пересекающая окружность

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

💥 Видео

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Касательная и секущая к окружности.Скачать

Касательная и секущая к окружности.

70. Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

70. Взаимное расположение прямой и окружности

Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.Скачать

Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.

Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика

ЕГЭ задание 16Скачать

ЕГЭ  задание 16

Касательная и секущая к окружности encodedСкачать

Касательная и секущая к окружности encoded

Окружность и связанные с ней определенияСкачать

Окружность и связанные с ней определения

Геометрия Прямая касается окружности в точке B а прямая AC пересекает окружность в точках C и DСкачать

Геометрия Прямая касается окружности в точке B а прямая AC пересекает окружность в точках C и D
Поделиться или сохранить к себе: