Как найти все элементы треугольника

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

  1. Три стороны треугольника.
  2. Две стороны треугольника и угол между ними.
  3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
  4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Содержание
  1. Решение треугольника по трем сторонам
  2. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
  3. Решение треугольника по стороне и любым двум углам
  4. Элементы треугольника — формулы вычисления основных параметров
  5. Общие сведения
  6. Элементы треугольника
  7. Основные формулы
  8. Решение примеров
  9. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  10. Типы треугольников
  11. По величине углов
  12. По числу равных сторон
  13. Вершины углы и стороны треугольника
  14. Свойства углов и сторон треугольника
  15. Теорема синусов
  16. Теорема косинусов
  17. Теорема о проекциях
  18. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  19. Медианы треугольника
  20. Свойства медиан треугольника:
  21. Формулы медиан треугольника
  22. Биссектрисы треугольника
  23. Свойства биссектрис треугольника:
  24. Формулы биссектрис треугольника
  25. Высоты треугольника
  26. Свойства высот треугольника
  27. Формулы высот треугольника
  28. Окружность вписанная в треугольник
  29. Свойства окружности вписанной в треугольник
  30. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  31. Окружность описанная вокруг треугольника
  32. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  33. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  34. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  35. Средняя линия треугольника
  36. Свойства средней линии треугольника
  37. Периметр треугольника
  38. Формулы площади треугольника
  39. Формула Герона
  40. Равенство треугольников
  41. Признаки равенства треугольников
  42. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  43. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  44. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  45. Подобие треугольников
  46. Признаки подобия треугольников
  47. Первый признак подобия треугольников
  48. Второй признак подобия треугольников
  49. Третий признак подобия треугольников

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

9 класс, 15 урок, Решение треугольников

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем Как найти все элементы треугольника.

Как найти все элементы треугольника
Как найти все элементы треугольника
Как найти все элементы треугольника
Как найти все элементы треугольника(1)
Как найти все элементы треугольника(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Как найти все элементы треугольника.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Как найти все элементы треугольникаНайти Как найти все элементы треугольника(Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Как найти все элементы треугольникаКак найти все элементы треугольника.
Как найти все элементы треугольникаКак найти все элементы треугольника.
Как найти все элементы треугольника, Как найти все элементы треугольника.

И, наконец, находим угол C:

Как найти все элементы треугольникаКак найти все элементы треугольника

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Как найти все элементы треугольника

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Как найти все элементы треугольника.
Как найти все элементы треугольника.

Далее, из формулы

Как найти все элементы треугольника.
Как найти все элементы треугольника.(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Как найти все элементы треугольника.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: Как найти все элементы треугольникаи Как найти все элементы треугольника(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Как найти все элементы треугольника,
Как найти все элементы треугольникаКак найти все элементы треугольникаКак найти все элементы треугольника.

Из формулы (3) найдем cosA:

Как найти все элементы треугольникаКак найти все элементы треугольника
Как найти все элементы треугольника.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Как найти все элементы треугольникаКак найти все элементы треугольника.

Видео:Треугольники. 7 класс.Скачать

Треугольники. 7 класс.

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Как найти все элементы треугольника

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Как найти все элементы треугольника.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Как найти все элементы треугольника, Как найти все элементы треугольника.
Как найти все элементы треугольника, Как найти все элементы треугольника.

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: Как найти все элементы треугольникаи углы Как найти все элементы треугольника(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Как найти все элементы треугольникаКак найти все элементы треугольника

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Как найти все элементы треугольника
Как найти все элементы треугольника

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Элементы треугольника — формулы вычисления основных параметров

Как найти все элементы треугольника

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Общие сведения

Произвольное множество точек называют геометрической фигурой. На плоскости они соединены замкнутыми линиями, образующими контур тела. В трёхмерном пространстве многоугольник, состоящий из трёх отрезков, не принадлежащих одной прямой, носит имя треугольник. Его линии называют сторонами или боковыми гранями, а место их пересечения — вершинами.

Треугольник — замкнутое геометрическое тело, состоящее из трёх сторон и такого же количества углов. Боковые грани принято обозначать маленькими латинскими буквами. Углы на рисунке показывают маленькой дугой, а в записи — символом ∠ с указанием соответствующей вершины. Точки же пересечения линий подписывают большими буквами.

Например, если имеется треугольник ABC, у него есть углы A, B, C и стороны a, b, c. Боковые грани могут обозначать и как отрезки, тогда в их имени учитываются ограничивающие точки. Например, AB, BC, CA. Строгого требования в виде обозначений нет, но существуют негласные правила, которых всё же рекомендуется придерживаться.

Хотя определение треугольника и его элементов одинаковое, выделяют 3 класса фигур:

Как найти все элементы треугольника

  • остроугольный — любой из углов тела не превышает 90 градусов;
  • тупоугольный — форма одного из разворотов тупоугольная;
  • прямоугольный — размер одного из трёх углов составляет 90 градусов.

Кроме этого, многоугольник классифицируют по числу равных сторон. Разносторонним он считается в том случае, если все они разной длины, равнобедренным — треугольник, имеющий 2 равные стороны, а равносторонним — у которого все стороны равны. Последний в литературе может ещё называться правильным.

На основании классификационных групп треугольники можно сравнивать между собой. Они считаются подобными, если 2 угла одного соответственно равны двум углам другого, или когда 2 стороны одного пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, равны. Эти правила называют признаками подобия. Они особенно популярны среди физиков. Их часто используют при вычислении элементов прямоугольников, квадратов, трапеций.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Элементы треугольника

Кроме сторон и вершин, фигура имеет различные точки и линии, называемые замечательными. Такое имя они получили из-за своих свойств. Но перед тем как их перечислить, нелишним будет привести основные величины, характеризующие фигуру, способы их нахождения и теоремы.

Периметр многоугольника можно определить, сложив все стороны: P = a + b + c. Площадь треугольника находится как половина произведения двух граней, умноженных на синус угла между ними: S = (a * b * sinC) / 2. Сумма углов равна 180 градусов, при этом напротив равных сторон лежат одинаковые углы.

Как найти все элементы треугольника

К замечательным линиям относят:

Как найти все элементы треугольника

  1. Медиану — линию, проходящую через вершину к середине противолежащей стороны. Всего в треугольнике можно провести 3 таких отрезка. Точка их пересечения является центром массы. Если считать от вершины, в ней она делится в отношении 2 к 1. Каждая медиана разделяет фигуру на 2 объекта с одинаковой площадью.
  2. Биссектрису — отрезок, построенный к стороне из угла и делящий его на 2 равные части. Она делит грань на 2 замкнутые линии, пропорциональные прилежащим сторонам. Точка, в которой пересекаются биссектрисы, является началом диаметра вписанной в треугольник окружности.
  3. Высоту — перпендикуляр, опущенный из угла на противоположную сторону. Все они пересекаются в одной точке.
  4. Срединную линию — проходит всегда параллельно одной из граней и соединяет середины двух оставшихся сторон. 3 таких линии разделят многоугольник на 4 равных треугольника.

При измерениях используют и «особенные» точки фигуры. Если в треугольник вписать окружность, её центр совпадёт с местом скрещивания перпендикуляров. А если поместить в круг, середина будет совпадать с пересечением биссектрис. Для других замечательных линий точки их соприкосновения также имеют свои названия: ортоцентр (высот) и центроид (медиан). Первая может принадлежать как внутренней площади фигуры, так и внешней (тупоугольный треугольник).

В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса совпадают. При этом их центр является серединой как вписанной окружности, так и описанного круга. А угол, из которого построен один из таких отрезков, будет разделён на 2 одинаковых разворота равных 30 градусам.

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Основные формулы

Найти любой элемент треугольника можно по специальным формулам. Чаще всего приходится искать стороны фигуры. Зная их, можно найти практически любые параметры, просто подставив в выражения значения размеров граней.

Как найти все элементы треугольника

Найти длину отрезка, формирующего контур фигуры, можно, зная длины двух сторон и угла или значения двух углов и одной стороны. Для первого случая формула имеет вид a = b * sin (a) / sin (b) = b * sin (a) / sin (a + c), а второго: a = √(b 2 + c 2 — 2bc * cos (a)). Если имеется тупой угол, косинус будет отрицательный. Это необходимо учитывать при расчётах.

Это общие формулы, подходящие для любого типа треугольника. Но в то же время для прямоугольного существует своё правило, связывающее все 3 грани в одну формулу: c = √(b 2 + a 2 ). Называется оно теоремой Пифагора. В равнобедренном вычислить сторону можно, зная любую другую и угол. Для основания используют равенство b = 2a * cos (a), а для равных граней: a = b / 2 * cos (a).

Из множества других существующих формул для определения различных элементов фигуры, можно указать на те, что чаще всего используются при решении примеров:

Как найти все элементы треугольника

  1. Высота: h = (2 / a) * √(p * (p — a) * (p — b) * (p — c)) или h = b * sin© = c * sin (b). Отрезок можно найти, зная площадь и сторону h = 2 * S / a или радиус описанной окружности: h = (b * c) / 2 * R.
  2. Биссектриса: L = √(a * b * (a + b + c) * (a + b — c)) / (a + b). Формулу можно упростить, используя периметр: L = 2 * √ (a * b * P) * (P — c)) / (a + b), где P = p /2 (полупериметр).
  3. Медиана: М = √(2 * a 2 + 2b 2 — c 2 ) / 2. Линию можно определить, зная только 2 стороны и лежащий между ними угол: М = √(a 2 + b 2 — 2 * a * b * cos (с)) / 2. В прямоугольном треугольнике она равняется радиусу описанного круга или половине гипотенузы: М = R = c / 2.

Существуют и упрощённые выражения. Формула Герона позволяет высчитать площадь, используя полупериметр и длины сторон: S = √(P * (P — a) * (P — b) * (P — c)). Также величину можно определить, зная высоту и длину основания: S = (a * H) / 2.

Для нахождения элементов треугольника в 7 классе ученикам дают ещё 2 фундаментальные теоремы: косинусов и синусов. Первая сообщает, что квадрат грани фигуры равен удвоенному произведению двух сторон и косинуса угла между ними, вычтенному из сумы квадратов: a 2 = b 2 + c 2 — 2 * b * c * cos (a). Согласно же второй, стороны пропорциональны синусам противолежащих углов: a / sin (a) = b / sin (b) = c / sin©.

Видео:Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать

Найдите сторону треугольника на рисунке

Решение примеров

Формул для вычисления элементов треугольников можно насчитать несколько десятков. Запомнить их довольно сложно, поэтому нужно выучить основные определения и выражения, а сделать это лучше всего, решая практические примеры. Вот некоторые из них:

Как найти все элементы треугольника

  1. В треугольнике проведено 2 высоты. Одна равняется 63 см, а другая 56 см. Найти истинный отрезок, если основание AC = 84 см, а размер медианы BK совпадает с длиной стороны BC. Так как точка K делит отрезок AC пополам, AK = KC = AC / 2 = 84 /2 = 42 см. В треугольнике BKC 2 стороны равны друг другу, согласно условию, значит, он равнобедренный. Следовательно, высота является одновременно и медианой. KH = HC = MC /2 = 42 / 2 = 21 см. Искомый отрезок будет равен: h = AK + KC = 42 + 21 = 63 см. Следовательно, правильный первый вариант.
  2. Пусть дан треугольник ABC. Найти возможный отрезок BN, на который биссектриса поделит сторону BC, если AB = 6 см, BC = 7 см, AC = 8 см. Для решения понадобится вспомнить свойство биссектрисы. Из него следует, что BN / NC = AB / AC = 6 / 8. Если искомый отрезок принять за икс, будет верным равенство KC = 7 — x. Значит: x / (7 — x) = 6 / 8. Отсюда можно выразить неизвестное: x = 42 / 14 = 3 см. Теперь останется подставить найденное число и найти искомое значение: KC = 7 — 3 = 4 см.
  3. Завод начал выпускать новую серию объёмных фигур. Определить, какой тип многоугольника лежит в их основании, если её стороны равны 3, 2 и √3. Чтобы найти ответ, нужно проанализировать исходные данные. Так как сумма двух меньших сторон больше третей боковой грани, в основании лежит треугольник. 3 в квадрате не равно 2 2 + (√3) 2 . Следовательно, геометрическое тело непрямоугольное. По теореме косинусов можно записать: a 2 = b 2 + c 2 — 2 * b * c * cos (a). Исходя из того, что cos (a) = -1/ √ 3, то есть он отрицательный, можно утверждать, что разворот угла тупой. Значит, треугольник у основания тупоугольный.

Проверить правильность вычислений можно, воспользовавшись онлайн-калькуляторами. Это сервисы, предоставляющие услуги по расчёту различных математических величин. Воспользоваться ими сможет любой, даже тот, кто не знает ни одной формулы и теоремы. Всё, что требуется от пользователя — правильно ввести исходные данные в специальную форму и нажать кнопку «Рассчитать». Через несколько секунд ответ, а в некоторых случаях и решение, появится на экране.

Видео:ОГЭ 2024 Ященко 17 вариант ФИПИ школе полный разбор!Скачать

ОГЭ 2024 Ященко 17 вариант ФИПИ школе полный разбор!

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Типы треугольников

По величине углов

Как найти все элементы треугольника

Как найти все элементы треугольника

Как найти все элементы треугольника

По числу равных сторон

Как найти все элементы треугольника

Как найти все элементы треугольника

Как найти все элементы треугольника

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Как найти все элементы треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)

Медианы треугольника

Как найти все элементы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Биссектрисы треугольника

Как найти все элементы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Высоты треугольника

Как найти все элементы треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

Окружность вписанная в треугольник

Как найти все элементы треугольника

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Окружность описанная вокруг треугольника

Как найти все элементы треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Вся геометрия треугольника в одной задаче. Планиметрия. ЕГЭ 2023 математика задача 16Скачать

Вся геометрия треугольника в одной задаче. Планиметрия. ЕГЭ 2023 математика задача 16

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Как найти все элементы треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математикеСкачать

Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математике

Периметр треугольника

Как найти все элементы треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Формулы площади треугольника

Как найти все элементы треугольника

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Как найти все элементы треугольника

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Поделиться или сохранить к себе: