Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Пусть в пространстве заданы прямые l и m. Через некоторую точку А пространства проведем прямые l₁ || l и m₁ || m (рис. 138).

Заметим, что точка А может быть выбрана произвольно, в частности она может лежать на одной из данных прямых. Если прямые l и m пересекаются, то за А можно взять точку пересечения этих прямых (l₁ = l и m₁ = m).

Углом между непараллельными прямыми l и m называется величина наименьшего из смежных углов, образованных пересекающимися прямыми l₁ и m₁ ( l₁ || l , m₁ || m). Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

Угол между прямыми l и m обозначается ( widehat ). Из определения следует, что если он измеряется в градусах, то 0° π /₂ .

Найти угол между прямыми АВ и DС₁.

Прямые АВ и DС₁ скрещивающиеся. Так как прямая DC параллельна прямой АВ, то угол между прямыми АВ и DС₁, согласно определению, равен (widehat<C_DC>).

Следовательно, (widehat) = 45°.

Прямые l и m называются перпендикулярными, если ( widehat ) = π /₂. Например, в кубе

(см. рис. 139) прямая A₁D₁перпендикулярна прямым DC, DC₁, СС₁ .

Видео:Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Вычисление угла между прямыми.

Задача вычисления угла между двумя прямыми в пространстве решается так же, как и на плоскости. Обозначим через φ величину угла между прямыми l₁ и l₂, а через ψ — величину угла между направляющими векторами а и b этих прямых.

ψ 90° (рис. 206,6), то φ = 180° — ψ. Очевидно, что в обоих случаях верно равенство cos φ = |cos ψ|. По формуле (косинус угла между ненулевыми векторами а и b равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин) имеем

Пусть прямые заданы своими каноническими уравнениями

Тогда угол φ между прямыми определяется с помощью формулы

Если одна из прямых (или обе) задана не каноничecкими уравнениями, то для вычисления угла нужно найти координаты направляющих векторов этих прямых, а затем воспользоваться формулой (1).

Задача 1. Вычислить угол между прямыми

Направляющие векторы прямых имеют координаты:

По формуле (1) находим

Следовательно, угол между данными прямыми равен 60°.

Задача 2. Вычислить угол между прямыми

За направляющий вектор а первой прямой возьмем векторное произведение нормальных векторов n₁ = (3; 0; -12) и n₂ = (1; 1; -3) плоскостей, задающих эту прямую. По формуле ( [a; b]=begin i & j & k \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 end ) получаем

$$ a=[n_1; n_2]=begin i & j & k \ 3 & 0 & -12 \ 1 & 1 & -3 end=12i-3i+3k $$

Аналогично находим направляющий вектор второй прямой:

$$ b=begin i & j & k \ 4 & -1 & 1 \ 0 & 1 & 1 end=-2i-4i+4k $$

Но формуле (1) вычисляем косинус искомого угла:

Следовательно, угол между данными прямыми равен 90°.

Задача 3. В треугольной пирамиде МАВС ребра MA, MB и МС взаимно перпендикулярны, (рис. 207);

их длины соответственно равны 4, 3, 6. Точка D — середина [МА]. Найти угол φ между прямыми СА и DB.

Пусть СА и DB — направляющие векторы прямых СА и DB.

Примем точку М за начало координат. По условию зядачи имеем А (4; 0; 0), В(0; 0; 3), С(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Поэтому (overrightarrow) = (4; — 6;0), (overrightarrow)= (-2; 0; 3). Воспользуемся формулой (1):

По таблице косинусов находим, что угол между прямыми СА и DB равен приблизительно 72°.

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

1. Угол между прямыми на плоскости

Прямые заданы каноническими уравнениями

1.1. Определение угла между прямыми

Пусть в двухмерном пространстве прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

,

(1.1)

,

(1.2)

Задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q₁ и q₂ (рис.1).

,

,

(1.3)

Из выражения (1.3) получим:

.

(1.4)

Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L₁ и L₂. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ₁. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L₁ и L₂: φ₁=180-φ.

Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

.

(1.5)

.

(1.6)

.

Упростим и решим:

.

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Угол между прямыми равен:

1.2. Условие параллельности прямых

Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

.

(1.7)

Сделаем преобразования с выражением (1.7):

,

,

,

,

,

.

(1.8)

Таким образом условие параллельности прямых L₁ и L₂ имеет вид (1.8). Если m₂≠0 и p₂≠0, то (1.8) можно записать так:

.

(1.9)

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

.

(1.10)

.

(1.11)

, .

Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

1.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

.

(1.12)

Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L₁ и L₂ были перпендикулярны , должно выполняться условие

.

(1.13)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

(1.14)

.

(1.15)

.

(16)

Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Прямые заданы общими уравнениями

1.4. Определение угла между прямыми

Пусть две прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями

(1.17)

.

(1.18)

Так как нормальным вектором прямой L₁ является n₁=(A₁, B₁), а нормальным вектором прямой L₂ является n₂=(A₂, B₂), то задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к определению угла φ между векторами n₁ и n₂ (Рис.2).

.

Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:

.

(1.19)

Из уравнения (19) получим

.

(1.20)

Пример 4. Найти угол между прямыми

(23)

Упростим и решим:

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

1.5. Условие параллельности прямых

Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:

.

(1.24)

С другой стороны условие параллельности прямых L₁ и L₂ эквивалентно условию коллинеарности векторов n₁ и n₂ и можно представить так:

.

(1.25)

Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A₂≠0 и B₂≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).

Пример 5. Определить, параллельны ли прямые

Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

1.6. Условие перпендикулярности прямых

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n₁,n₂)=0. Откуда

Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).

Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые

Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Видео:14. Угол между прямыми в пространствеСкачать

2. Угол между прямыми в пространстве

2.1. Определение угла между прямыми

Пусть в пространстве прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

,

(2.1)

,

(2.2)

Задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q₁ и q₂ .

,

(2.3)

Из выражения (2.3) получим:

.

(2.4)

Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L₁ и L₂. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L₁ и L₂: φ₁=180-φ.

Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

.

(2.5)

(2.6)

.

.

Упростим и решим:

.

Угол между прямыми равен:

2.2. Условие параллельности прямых

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q₁ и q₂, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть

где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q₁ и q₂ пропорциональны, и, следовательно прямые L₁ и L₂ параллельны.

Условие параллельности прямых можно представить и так:

(2.8)

Отметим, что любую пропорцию нужно понимать как равенство ad=bc.

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

.

(2.9)

.

(2.10)

, , .

Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.

Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.

Пример 3. Определить, параллельны ли прямые

.

(2.11)

.

(2.12)

.

(2.13)

Выражение (2.13) нужно понимать так:

, , .

(2.14)

Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

2.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:

.

(2.15)

Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L₁ и L₂ были перпендикулярны , должно выполняться условие

.

(2.16)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

(2.17)

.

(2.18)

.

(2.19)

Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Видео:19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

Углы и расстояния в пространстве — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

В планиметрии угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки — вершины угла (лучи — стороны угла). Такое определение понятия угла переносится и в стереометрию. Углы в пространстве рассматриваются между двумя прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями. Опишем и определим каждый из этих случаев.

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 11 класс.Скачать

Угол между двумя прямыми в пространстве

Две прямые, лежащие в одной плоскости, при пересечении образуют смежные и вертикальные углы. В модуле 1 мы повторили все свойства таких углов (вертикальные углы равны, а смежные — дополняют друг друга до 180°). В пространстве (аналогично планиметрии) также сохраняются все названия и понятия об углах и их величинах. Меньший из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, называют углом между прямыми. Угол между перпендикулярными прямыми равен 90°. Считают, что параллельные прямые также образуют угол, равный 0°. В стереометрии рассматривают угол между скрещивающимися прямыми. Пусть даны скрещивающиеся прямые

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между прямыми, которые пересекаются и соответственно параллельны скрещивающимся. — угол между скрещивающимися прямыми и (рис. 6.1). Он не зависит от выбора пересекающихся прямых, поскольку параллельное перенесение сохраняет равенство соответствующих углов с параллельными сторонами. Например, если то углом между прямыми и будет угол между прямыми и , где (рис. 6.1,6).

Итак,
Если , то . Однако о перпендикулярности скрещивающихся прямых не говорят, поскольку выдерживается определение понятия перпендикулярных прямых.

Угол между прямой и плоскостью в пространстве

Об угле наклона прямой к плоскости говорят в том случае, когда прямая пересекает эту плоскость. Чтобы построить, например, угол между прямой и плоскостью , последовательно выполняют такие шаги (рис. 6.2):

1. выбирают точку прямой ;
2. проводят из точки перпендикуляр к плоскости ;
3. проводят через точки плоскости и прямую .

Прямую называют проекцией прямой на плоскость а.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Если прямая перпендикулярна , то угол между ней и плоскостью равен 90°, если параллельна, то — 0°.
Угол между прямой и плоскостью обозначают или или . Читают: «угол между прямой и плоскостью ».

Угол между двумя плоскостями, пространства

Прямая на плоскости разбивает ее на две полуплоскости. Две полуплоскости могут иметь общую прямую и не образовывать одну плоскость. В этом случае они образуют фигуру, которую называют двугранным углом.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями вместе с общей прямой, их ограничивающей. Эту прямую называют ребром двугранного угла.

Если двугранный угол пересечь плоскостью, перпендикулярной его ребру, то лучи, по которым она пересекает заданные
полуплоскости, образуют линейный угол, например (рис. 6.3). Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Пересекающиеся плоскости образуют четыре угла. Чтобы определить угол между двумя плоскостями, проводят плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями. Т.е. угол между двумя пересекающимися плоскостями — это угол между двумя прямыми, которые принадлежат этим плоскостям и перпендикулярны прямой их пересечения.
(рис. 6.3).

Если линейный угол — 90°, то плоскости перпендикулярны. Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0°.

Теорема 1

Угол между плоскостями не зависит от места построения линейного угла.

Выберем точки и (рис. 6.4), принадлежащие прямой — линии пересечения плоскостей и , — и построим два линейных угла для плоскостей и . Для этого проведем плоскости и , которые пересекут плоскости и по прямым и , и . Прямые и лежат в плоскости и перпендикулярны прямой , значит и . Если к плоскости применить параллельный перенос, который переводит точку в точку , то прямая совпадет с прямой , а прямая — с прямой . Это возможно, поскольку прямые параллельны. А потому плоскости и совпадают, отсюда совпадение линейных углов и соответственно их равенство. Теорема доказана.

Пример №1

Концы отрезка длиной 24 см принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Расстояния от концов отрезка до линии пересечения данных плоскостей равны 12 см и см. Найдите углы, образованные отрезком с этими плоскостями.

Дано: — отрезок,
Найти: углы, образованные отрезком с плоскостями и .

и — проекции точек и на плоскости и соответственно. Поскольку , (или ) — прямая пересечения этих плоскостей, то , .
Итак, и — прямоугольные, у которых: (по условию).
Из
Из
Ответ. 30°; 45°.

Почему именно так?

В этой задаче важно построить проекции концов отрезка на другую, перпендикулярную ей, плоскость. При этом следует помнить, что они должны лежать на прямой пересечения данных перпендикулярных плоскостей, согласно свойствам перпендикулярных плоскостей. Далее, рассматривая прямоугольные треугольники, нужно правильно использовать определение синуса угла как отношения противолежащего катета к гипотенузе и таблицу значений:

Расстояния в пространстве

Одним из ключевых понятий геометрии является длина отрезка. Через него вводится много других понятий, связанных с понятием расстояния. Как известно, расстоянием между двумя точками и называется длина отрезка (рис. 6.14). Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра , проведенного из этой точки на данную прямую (рис. 6.15). Поскольку все другие отрезки с концами в точке и произвольной точке прямой, отличной от , — наклонные, то их длина больше длины перпендикуляра. Поэтому говорят, что расстояние от точки до прямой — это длина наименьшего из всех возможных отрезков, проведенных из этой точки к прямой. Такой отрезок является перпендикуляром к прямой. Опираясь на такие рассуждения, определим понятие расстояния между некоторыми другими фигурами в пространстве.

Рассмотрим плоскость и точку , не принадлежащую ей (рис. 6.16). Понятно, что за расстояние от точки до плоскости следует выбрать длину перпендикуляра , проведенного из этой точки к плоскости, поскольку все другие отрезки , где — произвольная точка плоскости, отличная от , будут наклонными и поэтому их длина больше чем .

Итак, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

Если точка принадлежит плоскости, то в этом случае расстояние от нее до плоскости равно нулю.

Расстояние от точки до отрезка (рис. 6.17) определяется по такому алгоритму: 1) проводим перпендикуляр из точки к прямой ; 2) если основание этого перпендикуляра принадлежит данному отрезку , то искомое расстояние равно длине отрезка (рис. 6.17, а); в другом случае оно равно длине отрезка или (в зависимости от того, какая из точек — или — лежит ближе к точке ) (рис. 6.17, б). Аналогично определяется расстояние от точки до луча.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине общего перпендикуляра этих прямых (рис. 6.18). Это вытекает из того, что все такие перпендикуляры равны между собой, а каждый отрезок с концами и на данных прямых, не являющийся их общим перпендикуляром, имеет длину, большую чем длина общего перпендикуляра .

Теорема 2 (о расстоянии между параллельными прямой и плоскостью)

Расстояние между параллельными прямой и плоскостью равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки прямой к плоскости.

Данная теорема доказывается рассуждениями, аналогичными приведенным выше, о расстоянии между параллельными прямыми.

Теорема 3 (о расстоянии между параллельными плоскостями)

Расстояние между параллельными плоскостями равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки одной плоскости ко второй.

Пусть имеем две параллельные плоскости и (рис. 6.19). Поскольку прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна
и второй, то перпендикуляр , проведенный из произвольной точки одной из этих плоскостей ко второй, будет перпендикуляром и к первой, т.е. их общим перпендикуляром. Поскольку любые два попарно взятых общих перпендикуляра , и параллельных плоскостей и параллельны, то они равны между собой как отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями. Для полного доказательства теоремы остается показать, что любой отрезок с концами в данных плоскостях и , не являющийся их общим перпендикуляром, больше общего перпендикуляра .

А это вытекает из того, что перпендикуляр , к плоскости меньше наклонной к этой плоскости. Теорема доказана.

Понятие расстояния между точками широко применяется в разнообразных сферах жизни человека — от науки до быта и досуга. Используется оно в тех случаях, когда размерами реальных объектов, расстояние между которыми вычисляется, в данных условиях можно пренебречь. Так мы говорим о расстоянии между звездами, планетами, передатчиками и принима-телями информации, населенными пунктами, ядрами атома и электронами на его орбите и т.п.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Сначала рассмотрим определение перпендикуляра, проведенного к двум скрещивающимся прямым, и докажем его существование и единственность.

Общим перпендикуляром к двум скрещивающимся прямым называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из них.

Теорема 4

Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром к параллельным плоскостям, проходящим через эти прямые.

Действительно, пусть и — данные скрещивающиеся прямые (рис. 6.20). Проведем прямые и , соответственно параллельные и , так, что прямая пересекается с прямой , а прямая . Через прямые и и и которые попарно пересекаются, проводим плоскости и .
Плоскости и — параллельные. Произвольные прямые , которые пересекают прямую и перпендикулярны плоскости , лежат в одной плоскости. Назовем ее . Эта плоскость пересекает плоскость по прямой , параллельной . Пусть точка — точка пересечения прямых , и некой прямой , а точка — точка пересечения той же прямой и . Тогда прямая , перпендикулярная плоскости , перпендикулярна и плоскости , поскольку . Отсюда вытекает, что и .

Отрезок — общий перпендикуляр к плоскостям и , а следовательно, и к прямым и . Докажем, что он единственный. Пусть прямые и имеют другой общий перпендикуляр . Проведем через точку прямую , параллельную . Прямая перпендикулярна прямой , а следовательно, и .

Поскольку она перпендикулярна прямым и, которые проходят через точку , то она перпендикулярна плоскости . Тогда параллельна прямой . Имеем, что через прямые и , как через параллельные прямые, можно провести плоскость и она будет содержать скрещивающиеся прямые и . А это невозможно. Получили противоречие. Теорема доказана.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Пример №2

Отрезок перпендикулярен плоскости треугольника , стороны , и которого соответственно равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите расстояние от точки до стороны , если .

Пусть — высота данного остроугольного треугольника (рис. 6.21). Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, и длина будет расстоянием от точки до стороны . Определим ее из прямоугольного треугольника (поскольку ), то ). Для этого предварительно найдем .

Из формулы для площади треугольника .
Необходимую площадь определим по формуле Герона:
Тогда и.

Пример №3

Прямая перпендикулярна плоскости ромба, диагонали которого пересекаются в точке . Докажите, что расстояния от точки до всех сторон ромба равны между собой.

Пусть — ромб и — точка пересечения его диагоналей (рис. 6.22). Тогда — центр вписанной в ромб окружности. Пусть — точки касания сторон к окружности. Тогда . Поскольку , то по теореме о трех перпендикулярах . Итак, — расстояния от точки до сторон ромба. Из равенства треугольников вытекает, что . Ч.т.д.

Пример №4

Точка не лежит в плоскости прямоугольного треугольника и находится на расстояниях и от прямых, содержащих катеты и (рис. 6.23). — перпендикуляр к плоскости этого треугольника. Докажите, что четырехугольник -прямоугольник.

Поскольку отрезки и — расстояния от точки соответственно до прямых и , то и . По условию , поэтому и — проекции наклонных и на плоскость и (по теореме о трех перпендикулярах). Однако по условию, поэтому — прямоугольник. Ч.т.д.

• Подобие треугольников
• Решение прямоугольных треугольников
• Параллелограмм
• Теорема синусов и теорема косинусов
• Квадрат и его свойства
• Трапеция и ее свойства
• Площадь трапеции
• Центральные и вписанные углы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🌟 Видео

10 класс, 9 урок, Угол между прямымиСкачать

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекцииСкачать

9. Угол между прямымиСкачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Урок 6. Угол между прямыми в пространстве. Стереометрия с нуля.Скачать

Видеоурок "Угол между прямыми в пространстве"Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Видеоурок "Расстояние между прямыми в пространстве"Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

9. Угол между плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности плоскостейСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

Расстояние между параллельными прямымиСкачать

7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямымиСкачать

ЕГЭ по математике - Угол между скрещивающимися прямымиСкачать