Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Угол между прямыми в пространстве

Пусть в пространстве заданы прямые l и m. Через некоторую точку А пространства проведем прямые l1 || l и m1 || m (рис. 138).

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Заметим, что точка А может быть выбрана произвольно, в частности она может лежать на одной из данных прямых. Если прямые l и m пересекаются, то за А можно взять точку пересечения этих прямых (l1 = l и m1 = m).

Углом между непараллельными прямыми l и m называется величина наименьшего из смежных углов, образованных пересекающимися прямыми l1 и m1 ( l1 || l , m1 || m). Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

Угол между прямыми l и m обозначается ( widehat ). Из определения следует, что если он измеряется в градусах, то 0° π /2 .

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Найти угол между прямыми АВ и DС1.

Прямые АВ и DС1 скрещивающиеся. Так как прямая DC параллельна прямой АВ, то угол между прямыми АВ и DС1, согласно определению, равен (widehat<C_DC>).

Следовательно, (widehat) = 45°.

Прямые l и m называются перпендикулярными, если ( widehat ) = π /2. Например, в кубе

(см. рис. 139) прямая A1D1перпендикулярна прямым DC, DC1, СС1 .

Содержание
  1. Вычисление угла между прямыми.
  2. Угол между прямыми онлайн
  3. Предупреждение
  4. 1. Угол между прямыми на плоскости
  5. Прямые заданы каноническими уравнениями
  6. 1.1. Определение угла между прямыми
  7. 1.2. Условие параллельности прямых
  8. 1.3. Условие перпендикулярности прямых
  9. Прямые заданы общими уравнениями
  10. 1.4. Определение угла между прямыми
  11. 1.5. Условие параллельности прямых
  12. 1.6. Условие перпендикулярности прямых
  13. 2. Угол между прямыми в пространстве
  14. 2.1. Определение угла между прямыми
  15. 2.2. Условие параллельности прямых
  16. 2.3. Условие перпендикулярности прямых
  17. Углы и расстояния в пространстве — определение и вычисление с примерами решения
  18. Угол между двумя прямыми в пространстве
  19. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
  20. Угол между двумя плоскостями, пространства
  21. Пример №1
  22. Расстояния в пространстве
  23. Пример №2
  24. Пример №3
  25. Пример №4
  26. 🌟 Видео

Видео:Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.

Вычисление угла между прямыми.

Задача вычисления угла между двумя прямыми в пространстве решается так же, как и на плоскости. Обозначим через φ величину угла между прямыми l1 и l2, а через ψ — величину угла между направляющими векторами а и b этих прямых.

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

ψ 90° (рис. 206,6), то φ = 180° — ψ. Очевидно, что в обоих случаях верно равенство cos φ = |cos ψ|. По формуле (косинус угла между ненулевыми векторами а и b равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин) имеем

Пусть прямые заданы своими каноническими уравнениями

Тогда угол φ между прямыми определяется с помощью формулы

Если одна из прямых (или обе) задана не каноничecкими уравнениями, то для вычисления угла нужно найти координаты направляющих векторов этих прямых, а затем воспользоваться формулой (1).

Задача 1. Вычислить угол между прямыми

Направляющие векторы прямых имеют координаты:

По формуле (1) находим

Следовательно, угол между данными прямыми равен 60°.

Задача 2. Вычислить угол между прямыми

За направляющий вектор а первой прямой возьмем векторное произведение нормальных векторов n1 = (3; 0; -12) и n2 = (1; 1; -3) плоскостей, задающих эту прямую. По формуле ( [a; b]=begin i & j & k \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 end ) получаем

$$ a=[n_1; n_2]=begin i & j & k \ 3 & 0 & -12 \ 1 & 1 & -3 end=12i-3i+3k $$

Аналогично находим направляющий вектор второй прямой:

$$ b=begin i & j & k \ 4 & -1 & 1 \ 0 & 1 & 1 end=-2i-4i+4k $$

Но формуле (1) вычисляем косинус искомого угла:

Следовательно, угол между данными прямыми равен 90°.

Задача 3. В треугольной пирамиде МАВС ребра MA, MB и МС взаимно перпендикулярны, (рис. 207);

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

их длины соответственно равны 4, 3, 6. Точка D — середина [МА]. Найти угол φ между прямыми СА и DB.

Пусть СА и DB — направляющие векторы прямых СА и DB.

Примем точку М за начало координат. По условию зядачи имеем А (4; 0; 0), В(0; 0; 3), С(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Поэтому (overrightarrow) = (4; — 6;0), (overrightarrow)= (-2; 0; 3). Воспользуемся формулой (1):

По таблице косинусов находим, что угол между прямыми СА и DB равен приблизительно 72°.

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

Угол между прямыми онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

1. Угол между прямыми на плоскости

Прямые заданы каноническими уравнениями

1.1. Определение угла между прямыми

Пусть в двухмерном пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве,(1.1)
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве,(1.2)

Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 (рис.1).

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве,
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве,(1.3)

Из выражения (1.3) получим:

Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеКак найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(1.4)

Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ1. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.

Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(1.5)
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(1.6)
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.

Упростим и решим:

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Угол между прямыми равен:

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

1.2. Условие параллельности прямых

Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(1.7)

Сделаем преобразования с выражением (1.7):

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве,
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве,
Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеКак найти угол между параллельными прямыми в пространстве,
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве,
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве,
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(1.8)

Таким образом условие параллельности прямых L1 и L2 имеет вид (1.8). Если m2≠0 и p2≠0, то (1.8) можно записать так:

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(1.9)

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(1.10)
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(1.11)
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.

Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

1.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(1.12)

Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(1.13)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(1.14)
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(1.15)
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(16)

Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Прямые заданы общими уравнениями

1.4. Определение угла между прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(1.17)
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(1.18)

Так как нормальным вектором прямой L1 является n1=(A1, B1), а нормальным вектором прямой L2 является n2=(A2, B2), то задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла φ между векторами n1 и n2 (Рис.2).

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.

Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(1.19)

Из уравнения (19) получим

Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеКак найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(1.20)

Пример 4. Найти угол между прямыми

5x1−2x2+3=0(1.21)
x1+3x2−1=0.(1.22)
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(23)
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Упростим и решим:

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

1.5. Условие параллельности прямых

Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(1.24)

С другой стороны условие параллельности прямых L1 и L2 эквивалентно условию коллинеарности векторов n1 и n2 и можно представить так:

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(1.25)

Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A2≠0 и B2≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).

Пример 5. Определить, параллельны ли прямые

4x+2y+2=0(1.26)

Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

1.6. Условие перпендикулярности прямых

Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n1,n2)=0. Откуда

A1A2+B1B2=0.(1.28)

Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).

Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые

4x−1y+2=0(1.29)
2x+8y−14=0.(1.30)

Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Видео:14. Угол между прямыми в пространствеСкачать

14. Угол между прямыми в пространстве

2. Угол между прямыми в пространстве

2.1. Определение угла между прямыми

Пусть в пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве,(2.1)
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве,(2.2)

Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 .

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве,(2.3)

Из выражения (2.3) получим:

Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеКак найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(2.4)

Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.

Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(2.5)
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(2.6)
Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеКак найти угол между параллельными прямыми в пространстве.
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.

Упростим и решим:

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Угол между прямыми равен:

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

2.2. Условие параллельности прямых

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q1 и q2, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть

m1=αm2, p1=αp2, l1=αl2(2.7)

где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q1 и q2 пропорциональны, и, следовательно прямые L1 и L2 параллельны.

Условие параллельности прямых можно представить и так:

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(2.8)

Отметим, что любую пропорцию Как найти угол между параллельными прямыми в пространственужно понимать как равенство ad=bc.

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(2.9)
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(2.10)
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.

Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.

Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.

Пример 3. Определить, параллельны ли прямые

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(2.11)
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(2.12)
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(2.13)

Выражение (2.13) нужно понимать так:

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(2.14)

Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

2.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(2.15)

Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(2.16)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(2.17)
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(2.18)
Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеКак найти угол между параллельными прямыми в пространстве.(2.19)

Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Видео:19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми

Углы и расстояния в пространстве — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

В планиметрии угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки — вершины угла (лучи — стороны угла). Такое определение понятия угла переносится и в стереометрию. Углы в пространстве рассматриваются между двумя прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями. Опишем и определим каждый из этих случаев.

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 11 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 11 класс.

Угол между двумя прямыми в пространстве

Две прямые, лежащие в одной плоскости, при пересечении образуют смежные и вертикальные углы. В модуле 1 мы повторили все свойства таких углов (вертикальные углы равны, а смежные — дополняют друг друга до 180°). В пространстве (аналогично планиметрии) также сохраняются все названия и понятия об углах и их величинах. Меньший из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, называют углом между прямыми. Угол между перпендикулярными прямыми равен 90°. Считают, что параллельные прямые также образуют угол, равный 0°. В стереометрии рассматривают угол между скрещивающимися прямыми. Пусть даны скрещивающиеся прямые Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между прямыми, которые пересекаются и соответственно параллельны скрещивающимся. Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— угол между скрещивающимися прямыми Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.1). Он не зависит от выбора пересекающихся прямых, поскольку параллельное перенесение сохраняет равенство соответствующих углов с параллельными сторонами. Например, если Как найти угол между параллельными прямыми в пространствето углом между прямыми Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространствебудет угол между прямыми Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, где Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.1,6).

Итак,Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве
Если Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, то Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. Однако о перпендикулярности скрещивающихся прямых не говорят, поскольку выдерживается определение понятия перпендикулярных прямых.

Угол между прямой и плоскостью в пространстве

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Об угле наклона прямой к плоскости говорят в том случае, когда прямая пересекает эту плоскость. Чтобы построить, например, угол между прямой Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи плоскостью Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеКак найти угол между параллельными прямыми в пространстве, последовательно выполняют такие шаги (рис. 6.2):

  1. выбирают точку Как найти угол между параллельными прямыми в пространствепрямой Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеКак найти угол между параллельными прямыми в пространстве;
  2. проводят из точки Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеперпендикуляр к плоскости Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеКак найти угол между параллельными прямыми в пространствеКак найти угол между параллельными прямыми в пространстве;
  3. проводят через точки плоскости Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространствепрямую Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.

Прямую Как найти угол между параллельными прямыми в пространственазывают проекцией прямой Как найти угол между параллельными прямыми в пространствена плоскость Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеа.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Если прямая Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеперпендикулярна Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, то угол между ней и плоскостью равен 90°, если параллельна, то — 0°.
Угол между прямой Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи плоскостью Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеобозначают Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеили Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеили Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. Читают: «угол между прямой Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи плоскостью Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве».

Угол между двумя плоскостями, пространства

Прямая на плоскости разбивает ее на две полуплоскости. Две полуплоскости могут иметь общую прямую и не образовывать одну плоскость. В этом случае они образуют фигуру, которую называют двугранным углом.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями вместе с общей прямой, их ограничивающей. Эту прямую называют ребром двугранного угла.

Если двугранный угол пересечь плоскостью, перпендикулярной его ребру, то лучи, по которым она пересекает заданные
полуплоскости, образуют линейный угол, например Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.3). Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Пересекающиеся плоскости образуют четыре угла. Чтобы определить угол между двумя плоскостями, проводят плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями. Т.е. угол между двумя пересекающимися плоскостями — это угол между двумя прямыми, которые принадлежат этим плоскостям и перпендикулярны прямой их пересечения.
Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.3).

Если линейный угол — 90°, то плоскости перпендикулярны. Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0°.

Теорема 1

Угол между плоскостями не зависит от места построения линейного угла.

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Выберем точки Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.4), принадлежащие прямой Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— линии пересечения плоскостей Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, — и построим два линейных угла для плоскостей Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. Для этого проведем плоскости Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, которые пересекут плоскости Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространствепо прямым Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. Прямые Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространствележат в плоскости Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи перпендикулярны прямой Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, значит Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. Если к плоскости Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеприменить параллельный перенос, который переводит точку Как найти угол между параллельными прямыми в пространствев точку Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, то прямая Как найти угол между параллельными прямыми в пространствесовпадет с прямой Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, а прямая Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— с прямой Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. Это возможно, поскольку прямые параллельны. А потому плоскости Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространствесовпадают, отсюда совпадение линейных углов и соответственно их равенство. Теорема доказана.

Пример №1

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Концы отрезка длиной 24 см принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Расстояния от концов отрезка до линии пересечения данных плоскостей равны 12 см и Как найти угол между параллельными прямыми в пространствесм. Найдите углы, образованные отрезком с этими плоскостями.

Дано: Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— отрезок,Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеКак найти угол между параллельными прямыми в пространстве
Найти: углы, образованные отрезком Как найти угол между параллельными прямыми в пространствес плоскостями Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.

Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— проекции точек Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространствена плоскости Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространствесоответственно. Поскольку Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(или Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве) — прямая пересечения этих плоскостей, то Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.
Итак, Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— прямоугольные, у которых: Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(по условию).
Из Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеКак найти угол между параллельными прямыми в пространствеКак найти угол между параллельными прямыми в пространстве
Из Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеКак найти угол между параллельными прямыми в пространстве
Ответ. 30°; 45°.

Почему именно так?

В этой задаче важно построить проекции концов отрезка на другую, перпендикулярную ей, плоскость. При этом следует помнить, что они должны лежать на прямой пересечения данных перпендикулярных плоскостей, согласно свойствам перпендикулярных плоскостей. Далее, рассматривая прямоугольные треугольники, нужно правильно использовать определение синуса угла как отношения противолежащего катета к гипотенузе и таблицу значений: Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Расстояния в пространстве

Одним из ключевых понятий геометрии является длина отрезка. Через него вводится много других понятий, связанных с понятием расстояния. Как известно, расстоянием между двумя точками Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве и Как найти угол между параллельными прямыми в пространственазывается длина отрезка Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.14). Расстояние от точки Как найти угол между параллельными прямыми в пространстведо прямой Как найти угол между параллельными прямыми в пространстверавно длине перпендикуляра Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, проведенного из этой точки на данную прямую (рис. 6.15). Поскольку все другие отрезки Как найти угол между параллельными прямыми в пространствес концами в точке Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи произвольной точке Как найти угол между параллельными прямыми в пространствепрямой, отличной от Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, — наклонные, то их длина больше длины перпендикуляра. Поэтому говорят, что расстояние от точки до прямой — это длина наименьшего из всех возможных отрезков, проведенных из этой точки к прямой. Такой отрезок является перпендикуляром к прямой. Опираясь на такие рассуждения, определим понятие расстояния между некоторыми другими фигурами в пространстве.

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Рассмотрим плоскость Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи точку Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, не принадлежащую ей (рис. 6.16). Понятно, что за расстояние от точки Как найти угол между параллельными прямыми в пространстведо плоскости Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеследует выбрать длину перпендикуляра Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, проведенного из этой точки к плоскости, поскольку все другие отрезки Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, где Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— произвольная точка плоскости, отличная от Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, будут наклонными и поэтому их длина больше чем Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.

Итак, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

Если точка принадлежит плоскости, то в этом случае расстояние от нее до плоскости равно нулю.

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Расстояние от точки Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве до отрезка Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.17) определяется по такому алгоритму: 1) проводим перпендикуляр Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеиз точки Как найти угол между параллельными прямыми в пространствек прямой Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве; 2) если основание Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеэтого перпендикуляра принадлежит данному отрезку Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, то искомое расстояние равно длине отрезка Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.17, а); в другом случае оно равно длине отрезка Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеили Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(в зависимости от того, какая из точек — Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеили Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— лежит ближе к точке Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве) (рис. 6.17, б). Аналогично определяется расстояние от точки до луча.

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине общего перпендикуляра этих прямых (рис. 6.18). Это вытекает из того, что все такие перпендикуляры Как найти угол между параллельными прямыми в пространстверавны между собой, а каждый отрезок с концами Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространствена данных прямых, не являющийся их общим перпендикуляром, имеет длину, большую чем длина общего перпендикуляра Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.

Теорема 2 (о расстоянии между параллельными прямой и плоскостью)

Расстояние между параллельными прямой и плоскостью равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки прямой к плоскости.

Данная теорема доказывается рассуждениями, аналогичными приведенным выше, о расстоянии между параллельными прямыми.

Теорема 3 (о расстоянии между параллельными плоскостями)

Расстояние между параллельными плоскостями равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки одной плоскости ко второй.

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Пусть имеем две параллельные плоскости Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.19). Поскольку прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна
и второй, то перпендикуляр Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, проведенный из произвольной точки Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеодной из этих плоскостей ко второй, будет перпендикуляром и к первой, т.е. их общим перпендикуляром. Поскольку любые два попарно взятых общих перпендикуляра Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространствепараллельных плоскостей Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространствепараллельны, то они равны между собой как отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями. Для полного доказательства теоремы остается показать, что любой отрезок Как найти угол между параллельными прямыми в пространствес концами в данных плоскостях Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, не являющийся их общим перпендикуляром, больше общего перпендикуляра Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.

А это вытекает из того, что перпендикуляр Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, к плоскости Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеменьше наклонной Как найти угол между параллельными прямыми в пространствек этой плоскости. Теорема доказана.

Понятие расстояния между точками широко применяется в разнообразных сферах жизни человека — от науки до быта и досуга. Используется оно в тех случаях, когда размерами реальных объектов, расстояние между которыми вычисляется, в данных условиях можно пренебречь. Так мы говорим о расстоянии между звездами, планетами, передатчиками и принима-телями информации, населенными пунктами, ядрами атома и электронами на его орбите и т.п.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Сначала рассмотрим определение перпендикуляра, проведенного к двум скрещивающимся прямым, и докажем его существование и единственность.

Общим перпендикуляром к двум скрещивающимся прямым называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из них.

Теорема 4

Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром к параллельным плоскостям, проходящим через эти прямые.

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Действительно, пусть Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— данные скрещивающиеся прямые (рис. 6.20). Проведем прямые Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, соответственно параллельные Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, так, что прямая Как найти угол между параллельными прямыми в пространствепересекается с прямой Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, а прямая Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. Через прямые Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространствекоторые попарно пересекаются, проводим плоскости Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.
Плоскости Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— параллельные. Произвольные прямые Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, которые пересекают прямую Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи перпендикулярны плоскости Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, лежат в одной плоскости. Назовем ее Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. Эта плоскость пересекает плоскость Как найти угол между параллельными прямыми в пространствепо прямой Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, параллельной Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. Пусть точка Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— точка пересечения прямых Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи некой прямой Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, а точка Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— точка пересечения той же прямой Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. Тогда прямая Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, перпендикулярная плоскости Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, перпендикулярна и плоскости Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, поскольку Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. Отсюда вытекает, что Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.

Отрезок Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— общий перпендикуляр к плоскостям Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, а следовательно, и к прямым Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. Докажем, что он единственный. Пусть прямые Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеимеют другой общий перпендикуляр Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. Проведем через точку Как найти угол между параллельными прямыми в пространствепрямую Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, параллельную Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. Прямая Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеперпендикулярна прямой Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, а следовательно, и Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.

Поскольку она перпендикулярна прямым Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеиКак найти угол между параллельными прямыми в пространстве, которые проходят через точку Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, то она перпендикулярна плоскости Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. Тогда Как найти угол между параллельными прямыми в пространствепараллельна прямой Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. Имеем, что через прямые Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, как через параллельные прямые, можно провести плоскость и она будет содержать скрещивающиеся прямые Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. А это невозможно. Получили противоречие. Теорема доказана.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Пример №2

Отрезок Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеперпендикулярен плоскости треугольника Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, стороны Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространствекоторого соответственно равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите расстояние от точки Как найти угол между параллельными прямыми в пространстведо стороны Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, если Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Пусть Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— высота данного остроугольного треугольника Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.21). Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи длина Как найти угол между параллельными прямыми в пространствебудет расстоянием от точки Как найти угол между параллельными прямыми в пространстведо стороны Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. Определим ее из прямоугольного треугольника Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(поскольку Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве), то Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве). Для этого предварительно найдем Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.

Из формулы для площади треугольника Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве.
Необходимую площадь определим по формуле Герона: Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве
Тогда Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеиКак найти угол между параллельными прямыми в пространстве.

Пример №3

Прямая Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеперпендикулярна плоскости ромба, диагонали которого пересекаются в точке Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. Докажите, что расстояния от точки Как найти угол между параллельными прямыми в пространстведо всех сторон ромба равны между собой.

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Пусть Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— ромб и Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— точка пересечения его диагоналей (рис. 6.22). Тогда Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— центр вписанной в ромб окружности. Пусть Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— точки касания сторон к окружности. Тогда Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. Поскольку Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеКак найти угол между параллельными прямыми в пространстве, то по теореме о трех перпендикулярах Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. Итак, Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— расстояния от точки Как найти угол между параллельными прямыми в пространстведо сторон ромба. Из равенства треугольников Как найти угол между параллельными прямыми в пространствевытекает, что Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. Ч.т.д.

Пример №4

Точка Как найти угол между параллельными прямыми в пространствене лежит в плоскости прямоугольного треугольника Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи находится на расстояниях Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеот прямых, содержащих катеты Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.23). Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— перпендикуляр к плоскости этого треугольника. Докажите, что четырехугольник Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве-прямоугольник.

Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве

Поскольку отрезки Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— расстояния от точки Как найти угол между параллельными прямыми в пространствесоответственно до прямых Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, то Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве. По условию Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве, поэтому Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— проекции наклонных Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространствена плоскость Как найти угол между параллельными прямыми в пространствеи Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве(по теореме о трех перпендикулярах). Однако Как найти угол между параллельными прямыми в пространствепо условию, поэтому Как найти угол между параллельными прямыми в пространстве— прямоугольник. Ч.т.д.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Подобие треугольников
  • Решение прямоугольных треугольников
  • Параллелограмм
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Квадрат и его свойства
  • Трапеция и ее свойства
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🌟 Видео

10 класс, 9 урок, Угол между прямымиСкачать

10 класс, 9 урок, Угол между прямыми

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекции

9. Угол между прямымиСкачать

9. Угол между прямыми

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.

Урок 6. Угол между прямыми в пространстве. Стереометрия с нуля.Скачать

Урок 6. Угол между прямыми в пространстве. Стереометрия с нуля.

Видеоурок "Угол между прямыми в пространстве"Скачать

Видеоурок "Угол между прямыми в пространстве"

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

Видеоурок "Расстояние между прямыми в пространстве"Скачать

Видеоурок "Расстояние между прямыми в пространстве"

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

9. Угол между плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности плоскостейСкачать

9. Угол между плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

Расстояние между параллельными прямымиСкачать

Расстояние между параллельными прямыми

7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямымиСкачать

7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

ЕГЭ по математике - Угол между скрещивающимися прямымиСкачать

ЕГЭ по математике - Угол между скрещивающимися прямыми
Поделиться или сохранить к себе: