Как найти центр окружности в пятиугольнике

Правильный пятиугольник — построение, свойства и формулы

Бывают задачи на построение и нахождение некоторых геометрических параметров правильного пятиугольника. Построить фигуру непросто. Для этого математики рекомендуют несколько методик, позволяющих выполнить операцию более точно или за короткий промежуток времени. У фигуры есть свойства, а также формулы, позволяющие найти ее геометрические характеристики.

Как найти центр окружности в пятиугольнике

Видео:ПОСТРОИТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК [construction a regular pentagon]Скачать

ПОСТРОИТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК [construction a regular pentagon]

Точное построение фигуры

Специалисты рекомендуют некоторую последовательность действий, по которым построить правильный пятиугольник очень просто. Для операции необходимы обыкновенная тетрадь в клеточку, циркуль, карандаш, резинка и линейка. Следует выполнить некоторые шаги:

  • Построить окружность с центром в некоторой точке О.
  • Провести два диаметра. Они должны пересекаться под прямым углом.
  • Поставить точку V (пересечение окружности с одним из диаметров), которая является вершиной фигуры.
  • По левой стороне поставить точку D. Это пересечение диаметра (оси симметрии) с окружностью.
  • Отметить на отрезке OD точку А, которая делит его пополам.
  • Выполнить построение вспомогательной окружности, центром которой является точка, полученная в 5 пункте. Кроме того, круг с радиусом CV должен проходить через V.
  • Точку, полученную при пересечении диаметра и окружности, нужно обозначить литерой B.
  • Нарисовать окружность с радиусом, равным CV, из точки V.
  • Отметить пересечение круга с первой окружностью, центром которой является точка О. Искомое место пересечения обозначить литерой F (вторая вершина пентагона).
  • Поставить иглу циркуля в точку F и провести окружность через Е.
  • Обозначить пересечение окружностей с центрами в F и O точкой G, которая будет вершиной пентагона.
  • Аналогичным образом проделать шаг 11, только центр выбрать не в F, а в G. Полученную точку следует обозначить литерой H (последняя вершина фигуры).
  • Соединить пять точек (СVEFG) между собой с помощью линейки.

    Если все пункты алгоритма выполнены правильно, то должен получиться пентагон, изображенный на рисунке 1:

    Как найти центр окружности в пятиугольнике

    Этот способ следует применять для точных построений и чертежей деталей. Однако для решения задач, в которых необходимо схематически изобразить пятиугольник, этот вариант не подойдет.

    Видео:Быстро и легко определяем центр любой окружностиСкачать

    Быстро и легко определяем центр любой окружности

    Алгоритм Биона

    Прием Биона является менее точным методом, чем первый. Он позволяет построить любой правильный многоугольник, вписанный в произвольный круг. Для операции необходимо воспользоваться алгоритмом (шаблоном) Биона, имеющим такой вид:

    Как найти центр окружности в пятиугольнике

  • Начертить окружность с центром в точке О и радиусом R.
  • Провести в ней диаметр АD.
  • Построить правильный (равносторонний) треугольник с одной из сторон, равной диаметру.
  • Поделить диаметр на несколько равных частей (АС = СE = ED), количество которых вычисляется по формуле: (n — 2). Переменная «n» эквивалентна количеству граней правильного многоугольника, то есть n = 3. Соотношение можно записать следующей зависимостью: АС = [1 / (n — 2)] * AD = AD / 3.
  • Провести из точек С и Е прямые, перпендикулярные диаметру.
  • Точки пересечения прямых с окружностью обозначить F и G.
  • Если соединить точки, то получится пентагон ABDFG.

    Погрешность построения многоугольника с 5, 7, 9 и 10 сторонами при использовании алгоритма довольно маленькая. Ее значения равно 3,2%. Однако при n>10 погрешность составляет не более 11%.

    Видео:Построение пятиугольника циркулем и линейкойСкачать

    Построение пятиугольника циркулем и линейкой

    Приближенные методы

    Существует несколько методов, позволяющих приближенно изобразить фигуру. Однако оптимальным является построение пентагона (рис. 2), используя две окружности (описанную и вписанную).

    Метод известного математика А. Дюрера является оптимальным среди остальных, поскольку на построение затрачивается минимальное количество времени. Для его реализации следует выполнить определенные шаги алгоритма Дюрера:

    Как найти центр окружности в пятиугольнике

  • Начертить произвольную окружность с центром в точке О.
  • Не вынимая иглу циркуля из точки О, выполнить построение другой окружности. Ее радиус нужно уменьшить таким образом, чтобы общий радиус R был равен стороне пятиугольника.
  • Отметить на окружности с большим радиусом две произвольные точки. При этом следует руководствоваться правилом: прямая, проходящая через них, должна касаться малой окружности в одной точке (касательная).
  • Отметить следующую точку, чтобы можно было соединить ее с предыдущей. Правило при этом должно соблюдаться.
  • Аналогично проделать операции с другими сторонами пентагона.

    Существует еще один метод — построение пятиугольника из десятиугольника, который вписан в окружность. Для этого следует соединить его вершины через одну. Однако способ рекомендуется применять только в том случае, когда исходная фигура уже имеется. Кстати, его следует строить также методом А. Дюрера.

    Математики рекомендуют еще один простой способ. Для его реализации необходимо начертить окружность с диаметром АD. После этого его нужно поделить на 3 равные части, то есть AB = BC = CD. Затем из точки С следует опустить перпендикуляры на окружность. Обозначить места пересечения точками E и F. Проделать такую же процедуру с точкой B, обозначив пересечения точками G и H. Остается лишь соединить все точки отрезками.

    Видео:Как найти центр у любой окружности 🤔Скачать

    Как найти центр у любой окружности 🤔

    Признаки и свойства

    Не всегда получается верно идентифицировать пятиугольник. Для этого математики предлагают признаки, которые применимы только к правильной фигуре. К ним можно отнести следующие:

  • Стороны равны между собой.
  • Любой угол правильного пятиугольника равен остальным его углам.

    Следует отметить, что признаки справедливы для любого правильного многогранника. Пять осей симметрии имеет правильный пятиугольник (сколько сторон, столько и осей). Пентагон обладает некоторыми свойствами, которые будут очень полезны при решении задач. К ним можно отнести следующие:

    Как найти центр окружности в пятиугольнике

  • Равенство сторон.
  • Углы равны по 108 градусов.
  • Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
  • Сумма внутренних углов равна 180 * (5 — 2) = 540 (градусов), а внешних — 360.
  • Количество диагоналей соответствует 5.
  • Значение площади кольца, которое образуется между вписанным и описанным кругами, эквивалентно произведению квадрата длины стороны на константу Pi / 4.
  • Биссектрисы, проведенные через центр, равны.
  • Диагонали — трисектрисы внутренних углов. Одна диагональ делит его на 1/3 и 2/3 части.
  • Отношение диагонали к стороне эквивалентно «золотому сечению» и равно [1 + 5^(1/2)] / 2.

    Однако свойств недостаточно при решении задач, поскольку существуют некоторые формулы и соотношения для нахождения основных параметров пентагона.

    Видео:Деление окружности на пять равных частей. Урок 7. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

    Деление окружности на пять равных частей. Урок 7. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

    Расчет параметров

    С помощью соотношений можно легко найти необходимые характеристики любой фигуры. Однако в некоторых источниках не указаны условные обозначения известного параметра пентагона. Это существенно затрудняет понимание формулы, а также ее дальнейшее использование. Перед изучением следует нарисовать фигуру и обозначить некоторые величины, которыми могут быть диагонали, стороны, апофемы и радиусы.

    Как найти центр окружности в пятиугольнике

    Рекомендуется использовать различные литеры или буквенные обозначения. Недопустимо пронумеровывать вершины, поскольку при вычислениях можно ошибиться. Нельзя использовать вместо букв цифры при обозначениях. Например, пентагон ABCDE является правильной записью. Допускается применение чисел в индексах, а именно, в пятиугольнике правильного типа ABCDE при пересечении его диагоналей образовался пентагон A1B1C1D1E1.

    Математики рекомендуют обозначать только промежуточные фигуры или их проекции литерами с индексами. Для каждой новой фигуры следует вводить другие обозначения. Не следует использовать зарезервированные переменные. Например, центр окружности в точке P является недопустимой записью, поскольку такой буквой обозначается периметр.

    Условные обозначения

    Для нахождения основных величин пентагона следует обозначить некоторые его параметры. Фигура имеет следующие обозначения:

  • Сторона: a.
  • Радиус вписанной и описанной окружностей: r и R соответственно.
  • Площадь: S.
  • Периметр и полупериметр: P и p соответственно.
  • Диагональ: d.
  • Отношение золотого сечения: Ф.

    Значения сторон равны между собой. Площадь правильного пятиугольника — характеристика двумерной фигуры, которая показывает ее размерность. Периметром называется сумма всех 5 сторон. Полупериметр вычисляется по следующему соотношению: p = P / 2. Диагонали — отрезки, проведенные из одной вершины к противоположной (несмежной).

    Соотношения и формулы

    После обозначений следует переходить к рассмотрению основных формул, при помощи которых можно вычислять параметры фигуры. Сторону можно найти, воспользовавшись такими соотношениями:

  • a = 2r * tg(36).
  • a = 2R * sin(36).
  • a = R * [(5 — (5)^(1/2)) / 2]^(1/2).

    Радиус вписанной окружности в пентагон можно найти, используя тригонометрические функции. Однако существует также формула, позволяющая вычислить приближенное значение. Это необходимо в том случае, когда под рукой нет специального онлайн-калькулятора, компьютера или таблиц Брадиса. Формулы для нахождения радиуса вписанной окружности:

    Как найти центр окружности в пятиугольнике

  • r = a / (2tg(36)).
  • r = a * [5^(1/2) * [5 + 2 * 5^(1/2)]^(1/2) / 10].

    Математики также рекомендуют описать вокруг пентагона окружность. Это расширит возможности по поиску его основных характеристик. Однако ее радиус следует вычислить. Формулы для его нахождения выглядят таким образом:

  • R = a / (2sin(36)).
  • R = a * [10^(1/2) * [5 + 5^(1/2)]^(1/2) / 10] = (5^(1/2) — 1) * r.

    Периметр определяется просто: Р = 5а. Значение полупериметра эквивалентно половине периметра, то есть p = P / 2 = 5a / 2 = 2,5a. Площадь можно найти, используя такие формулы:

    Как найти центр окружности в пятиугольнике

  • S = (5a^2 / 4) * ctg(36).
  • S = 5r^2 * tg(36).
  • S = 2,5 * R^2 * sin(72).
  • S = (5/12) * R * d.

    Высота правильного пятиугольника (h) — отрезок, проведенный из центра на любую из сторон. Она делит ее на две равные части, поскольку является биссектрисой и медианой равнобедренного треугольника. У последнего две стороны — радиусы описанной окружности, а третья — сторона пентагона. Высота называется также апофемой и проекцией на «а». Вычисляется ее значение по формуле h = a * tg(72) / 2.

    Величина Ф является отношением площади пентагона (S) к площади (S1) правильного пятиугольника, полученного при пересечении диагоналей первого: S / S1 = Ф^4 = 3Ф + 2 = (3 * 5^(1/2) + 7) / 2. Длина диагонали находится по такому соотношению: d = [Ф * 5^(1/2) * R]^(1/2).

    Таким образом, при решении задач необходимо знать основные признаки, свойства, соотношения и формулы для нахождения основных характеристик пентагона. Практика обязательна, поскольку теоретические знания без практического применения бесполезны.

    Видео:Построение пятиугольника циркулемСкачать

    Построение пятиугольника циркулем

    Окружность, вписанная в правильный многоугольник

    На этом занятии мы рассмотрим следующую тему – «Окружность, вписанная в правильный многоугольник». В первую очередь дадим определение правильному многоугольнику. После чего докажем теорему о том, что внутри любого правильного многоугольника можно вписать окружность, и притом только одну. Кроме того, рассмотрим следствия из этой теоремы.

    Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

    Видео:Как найти центр круга с помощью подручных средств? ЛЕГКО.Скачать

    Как найти центр круга с помощью подручных средств? ЛЕГКО.

    Правильные многоугольники

    Многоугольник — замкнутая ломаная линия. В школьной планиметрии изучают плоские линии, без самопересечений. Часть плоскости, ограниченная этой линией, также называется многоугольником. В этом смысле многоугольник имеет площадь. Многоугольник с n вершинами, а значит и с n сторонами, называется n-угольником.
    Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.

    Как найти центр окружности в пятиугольнике

    На этом рисунке

    1 — простая (без самопересечений) ломаная линия, имеет 6 звеньев и 7 вершин;
    2 — шестизвенная ломаная, имеющая одно самопересечение;
    3 — выпуклый многоугольник, пятиугольник;
    4 — невыпуклый многоугольник, десятиугольник.

    Итак, слово «правильный» в условии задачи сразу говорит нам о том, что все стороны и все углы многоугольника одинаковые. Количество углов (вершин) и количество сторон определяем по названию многоугольника. Далее в формулах и задачах будем обозначать это количество символом n.

    Как найти центр окружности в пятиугольнике
    и так далее.

    правильный пятиугольник.

    Чтобы построить другие правильные многоугольники, задайте количество сторон n (от 3-ёх до 12-ти).

    Многоугольники можно вписывать в окружность или описывать вокруг неё. Однако, это получается не для всех и не всегда. Говоря математическим языком, не всегда существует окружность, которая удовлетворяет определению.

    Если многоугольник вписан в окружность, то можно сказать, что окружность описана около многоугольника, или, наобррот, если многоугольник описан около окружности, то окружность вписана в него. Такие формулировки тоже встречаются в условиях геометрических задач. Чтобы не путаться запомним — вписанная фигура находится внутри описанной около неё.

    Как найти центр окружности в пятиугольникеЧетырехугольник вписан в окружность.

    Как найти центр окружности в пятиугольникеЧетырехугольник описан около окружности.

    Рассмотрим другие примеры.

    Произвольный прямоугольник всегда можно вписать в окружность, но описать нельзя. Описать получится только тогда, когда прямоугольник — это квадрат.

    Как найти центр окружности в пятиугольнике

    Параллелограмм нельзя вписать в окружность. Описать можно только ромб.

    Как найти центр окружности в пятиугольнике

    В окружность можно вписать только равнобочную трапецию, описать около окружности тоже можно не всякую трапецию.

    Как найти центр окружности в пятиугольнике

    Существование вписанной и описанной окружности для произвольных многоугольников связано с величинами их углов и сторон. Есть специальные теоремы, позволяющие определить будет ли многоугольник являться вписанным и/или описанным. Сейчас мы на них останавливаться не будем. Сейчас важно отметить следующее:

    Как найти центр окружности в пятиугольникеТреугольник вписан в зеленую окружность, описан вокруг синей.

    Как найти центр окружности в пятиугольникеПятиугольник вписан в зеленую окружность, описан вокруг синей.

    Правильные многоугольники имеют центр, точнее совпадающие в одной точке центр симметрии, центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей. Если соединить с центром правильного n-угольника его вершины, то многоугольник разобьется на n равных равнобедренных треугольников.

    Как найти центр окружности в пятиугольнике

    Боковые стороны этих треугольников (на рисунке — зелёные отрезки) будут равны радиусу описанной окружности (R), а их основания (на рисунке — красные отрезки) равны стороне многоугольника (a).

    Пользуясь таким чертежом, можно вычислять различные отрезки и углы в многоугольнике на основе знаний о равнобедренных треугольниках.
    Например, угол AOB в пятиугольнике равен 360/5 = 72° (360° — полный круг). Угол OAB равен углу OBA и равен (180 − 72)/2 = 54°. Угол CAB = 2×54 = 108°. Сумма всех углов при вершинах пятиугольника 5×108 = 540°.

    При решении задач на правильный многоугольник, часто бывает удобно дорисовать внешнюю (описанную) или внутреннюю (вписанную) окружность даже, если они не упоминаются в условии, и соединить вершины и точки касания с центром. Получатся равнобедренные или прямоугольные треугольники, о которых много известно, поэтому задачу будет решать легко.

    Как найти центр окружности в пятиугольникеСиние треугольники равнобедренные потому, что их боковые стороны это радиусы одной и той же окруюности.

    Как найти центр окружности в пятиугольникеОранжевые треугольники прямоугольные потому, что касательная к окружности перпендикулярна её радиусу.

    На ОГЭ по математике в 9-ом классе и на ЕГЭ в 11-ом встречаются задачи с правильными многоугольниками, часто они включают в себя и вписанную или описанную окружность.

    Видео:Как найти центр круга в мастерской (4 способа)Скачать

    Как найти центр круга в мастерской (4 способа)

    Задачи на правильные многоугольники

    Внимание: задачи с решениями, но они временно скрыты. Сначала сделайте попытку решить задачу самостоятельно, и только после этого нажимайте кнопки «Посмотреть ответ» и «Посмотреть решение». Cовпадать обязан только ответ. Способ решения может отличаться.

    Доказать, что площадь правильного n-угольника можно вычислить по формуле S = pr, где p — полупериметр многоугольника, r — радиус вписанной окружности.

    Ответ: S = pr

    Середины сторон правильного восьмиугольника ABCDEFGH последовательно соединили. Какую часть площади исходного многоугольника занимает получившийся многоугольник KLMNPQRS ?
    Ответ дайте в процентах, округлив до целых.

    Примечание: Отношение сторон многоугольников можно найти иначе, например, достроить другие внутренние отрезки и рассмотреть прямоугольные треугольники.

    Ответ: 85

    В круг вписан правильный шестиугольник ABCDEF. Найти площадь круга, если радиус окружности, вписанной в треугольник ADE, равен r.

    Определим площадь треугольника ADE двумя способами:
    через произведение катетов [S = frac<cdot> = frac<xsqrt>cdotfraccdotfrac = frac<x^2sqrt>; ] и через полупериметр и заданный радиус вписанной окружности [S = fraccdot r = fraccdot big(frac<xsqrt>+frac+ xbig) = frac <rx(sqrt+ 3) > ]

    Теперь можно составить уравнение и решить его относительно х.
    [ frac<x^2sqrt> = frac <rx(sqrt+ 3)> ] [ frac<xsqrt> = frac <r(sqrt+ 3)> ] [x = frac <2r(sqrt+ 3)><sqrt> = 2r(1 + sqrt)] Так как AD = x — диаметр окружности, то её площадь можно найти по формуле [S = frac = frac <pi (2r)^2 (1 + sqrt)^2> = pi r^2(1 +2 sqrt + 3) = pi r^2(4 + 2sqrt) = 2pi r^2(2 + sqrt)]

    Ответ: r 2 (2 + √3 _ )

    Найти отношение площади правильного двадцатичетырёхугольника, вписанного в некоторую окружность, к площади правильного двенадцатиугольника, вписанного в ту же окружность.

    Ответ: 4sin15° ≈ 1,04

    Как найти центр окружности в пятиугольникеТочка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF, в котором AC = 10,5. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF.

    Примечание: Если Вы не догадались использовать свойство медиан треугольника, то можно рассматривать треугольники AOC, AOH и т.п., теорему косинусов или теорему Пифагора. Ответ будет получен с чуть большим объёмом вычислений.

    Ответ: 7

    Как найти центр окружности в пятиугольникеТочка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 7. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников BOD, DOF и BOF.

    🔍 Видео

    Центр кругаСкачать

    Центр круга

    4K Как найти центр окружности, how to find the center of a circleСкачать

    4K Как найти центр окружности, how to find the center of a circle

    Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать

    Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shorts

    Как найти центр окружности с помощью циркуля и линейкиСкачать

    Как найти центр окружности с помощью циркуля и линейки

    Возьми на заметку! Как быстро найти центр окружности.#shortsСкачать

    Возьми на заметку! Как быстро найти центр окружности.#shorts

    НАЙТИ ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ. [FIND а CENTER of the CIRCLE]Скачать

    НАЙТИ ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ. [FIND а CENTER of the CIRCLE]

    КАК НАЙТИ ЦЕНТР КРУГАСкачать

    КАК НАЙТИ ЦЕНТР КРУГА

    Как найти центр кругаСкачать

    Как найти центр круга

    Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

    Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкам

    Как начертить пятиугольник вписанный в круг или звездаСкачать

    Как начертить пятиугольник вписанный в круг или звезда

    Как найти центр кругаСкачать

    Как найти центр круга

    4K Как построить правильный пятиугольник, how to draw a regular pentagonСкачать

    4K Как построить правильный пятиугольник, how to draw a regular pentagon
  • Поделиться или сохранить к себе: