Как найти точку высоты треугольника

Формулы для нахождения высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Видео:8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольника

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

Как найти точку высоты треугольника

1. Через площадь и длину стороны

Как найти точку высоты треугольника

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

Как найти точку высоты треугольника

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

Как найти точку высоты треугольника

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

Как найти точку высоты треугольника

4. Через стороны и радиус описанной окружности

Как найти точку высоты треугольника

Как найти точку высоты треугольника

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Как найти точку высоты треугольника

Как найти точку высоты треугольника

Высота в прямоугольном треугольнике

Как найти точку высоты треугольника

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

Как найти точку высоты треугольника

2. Через стороны треугольника

Как найти точку высоты треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Как найти точку высоты треугольника

Как найти точку высоты треугольника

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Как найти точку высоты треугольника

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

  1. Найти уравнение стороны треугольника.
  2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Как найти точку высоты треугольника

Таким образом, уравнение прямой BC —

Как найти точку высоты треугольника

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Как найти точку высоты треугольника

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Как найти точку высоты треугольника

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Как найти точку высоты треугольника

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

Как найти точку высоты треугольника

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Как найти точку высоты треугольника

Уравнение прямой AB:

Как найти точку высоты треугольника

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Как найти точку высоты треугольника

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Как найти точку высоты треугольника

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Как найти точку высоты треугольника

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Как найти точку высоты треугольника

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Как найти точку высоты треугольника

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

A ( ; ), B ( ; ), C ( ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

🎦 Видео

Высоты треугольника.Скачать

Высоты треугольника.

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Точка пересечения высот треугольника.Скачать

Точка пересечения высот треугольника.

Построение высоты в треугольникеСкачать

Построение высоты в треугольнике

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершин

Как найти высоту треугольникаСкачать

Как найти высоту треугольника

Геометрия 7.Треугольники урок 6. Высота треугольника. Определение, свойства, точки пересечения высотСкачать

Геометрия 7.Треугольники урок 6. Высота треугольника. Определение, свойства, точки пересечения высот

Геометрия 8 класс (Урок№31 - Теорема о пересечении высот треугольника.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№31 - Теорема о пересечении высот треугольника.)

Высоты треугольника пересекаются в одной точкеСкачать

Высоты треугольника пересекаются в одной точке

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Точка пересечения высот треугольникаСкачать

Точка пересечения высот треугольника

найти уравнение высоты треугольникаСкачать

найти уравнение высоты треугольника

Уравнение прямой и треугольник. Задача про высотуСкачать

Уравнение прямой и треугольник. Задача про высоту

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис Трушин

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.Скачать

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.
Поделиться или сохранить к себе: