Как найти точки пересечения параболы и окружности (3 видео)

Этап: построение окружности и параболы; нахождение точек их пересечения

2 этап: построение окружности и параболы; нахождение точек их пересечения.

3 этап: количество точек пересечения окружности и параболы является ответом на поставленный вопрос.

№2. Найдите множество точек, для каждой из которых расстояния от двух данных точек равны.

Обозначим данные точки через А и В. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с прямой АВ, а началом координат служила точка А Предположим далее, что АВ=а, тогда в выбранной системе координат А(0,0) и В(а,0). Точка М(х,у) принадлежит искомому множеству тогда и только тогда, когда АМ=МВ, или, что то же самое, АМ 2= МВ 2 . Используя формулу расстояния от одной точки координатной плоскости до другой, получаем АМ 2 =x 2 +y 2 , MB 2 =(x-a) 2 +y 2 . Тогда х 2 +у 2 =(х-а) 2 + у 2

Равенство х 2 +у 2 =(х-а) 2 +у 2 и является алгебраической моделью ситуации, данной в задаче. На этом заканчивается первый этап ее решения (перевод задачи на координатный язык).

На втором этапе осуществляется преобразование полученного выражения, в результате которого получаем соотношение .

На третьем этапе осуществляется перевод языка уравнения на геометрический язык. Полученное уравнение является уравнением прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от точки А на расстояние , т.е. серединного перпендикуляра к отрезку АВ.

2.2 Задачи, обучающие координатному методу

Для разработки методики формирования умения применять координатный метод важно выявить требования, которые предъявляет логическая структура решения задач мышлению решающего. Координатный метод предусматривает наличие у обучающихся умений и навыков, способствующих применению данного метода на практике. Проанализируем решение нескольких задач. В процессе этого анализа выделим умения, являющиеся компонентами умения использовать координатный метод при решении задач. Знание компонентов этого умения позволит осуществить его поэлементное формирование.

Задача №1 . В треугольнике ABC: AC=b, AB=c, ВС=а, BD — медиана. Докажите, что .

Выберем систему координат так, чтобы точка А служила началом координат, а осью Ох — прямая АС (рис. 2).

(умение оптимально выбирать систему координат, т. е. так, чтобы наиболее просто находить координаты данных точек).

В выбранной системе координат точки А, С и D имеют следующие координаты: А(0,0), D(,0) и С(b,0)

(умение вычислять координаты заданных точек). Обозначим координаты точки В через х и у. Тогда используя формулу для нахождения расстояний между двумя точками, заданными своими координатами, получаем:

х 2 +у 2 =с 2 , (x-b) 2 +y 2 =a 2 (1)

(умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами)

По той же формуле . (2)

Используя формулы (1) находим х и у.

; .

Далее, подставляя х и у в формулу (2), находим .

(умение выполнять преобразования алгебраических выражений)

Задача №2. Найти множество точек, для каждой из которых разность квадратов расстояний от двух данных точек есть величина постоянная.

Обозначим данные точки через А и В. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с прямой АВ, а началом координат служила точка А.

(умение оптимально выбирать систему координат).

Предположим АВ=а, тогда в выбранной системе координат А(0,0), В(а,0).

(умение находить координаты заданных точек)

Точка М(х,у) принадлежит искомому множеству тогда только тогда, когда AM 2 -MB 2 =b 2 где b — постоянная величина

(умение переводить геометрический язык на аналитический, составлять уравнения фигур).

Используя формулу расстояний между двумя точками, получаем:

, ,

(умение вычислять расстояние между точками, заданными координатами), или . Данное уравнение является уравнением прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от точки А на расстояние .

(умение видеть за уравнением конкретный геометрический образ)

Нетрудно видеть, что и для решения этой задачи необходимо овладение перечисленными выше умениями. Кроме того, для решения приведенной задачи, а также и других задач важно умение «видеть за уравнением» конкретный геометрический образ, которое является обратным к умению составлять уравнения конкретных фигур.

Выделенные умения являются основой при решении и более сложных задач.

Задача №3. В трапеции меньшая диагональ перпендикулярна основаниям. Найти большую диагональ, если сумма противоположных углов равна , а основания равны а и b.

Направим оси координат по меньшей диагонали и одному из оснований (рис. 3).

(умение оптимально выбирать систему координат).

Тогда точка А имеет координаты (0,0), точка В — (а,0), точка С — (0,c), точка D — (b,c).

(умение находить координаты заданных точек)

Пусть и острые углы в трапеции АВСD, тогда их сумма равна . Для вычисления длины большей диагонали BD надо найти значение с. Его можно вычислить 2 способами. Первый — из прямоугольного треугольника АВС по формуле находим . Второй способ из прямоугольного треугольника ACD: . Отсюда получили, что

(1)

Из равенства (1) находим отношение : оно равно —, так как . Выразим . Он равен , исходя из этого, пользуясь зависимостью (1), получаем .

(умение выразить недостающие координаты через уже известные величины)

Далее воспользовавшись координатной формулой расстояния между двумя точками, найдем длину BD.

(умение вычислять расстояние между точками, заданными координатами)

Она равна .

Итак, компонентами умения применять координатный метод в конкретных ситуациях являются следующие умения:

1. переводить геометрический язык на аналитический для одного типа задач и с аналитического на геометрический для другого;

2. стоить точку по заданным координатам;

3. находить координаты заданных точек;

4. вычислять расстояние между точками, заданными координатами;

5. оптимально выбирать систему координат;

6. составлять уравнения заданных фигур;

7. видеть за уравнением конкретный геометрический образ;

8. выполнять преобразование алгебраических соотношений.

Данные умения можно отработать на примере следующих задач, формирующих координатный метод:

1) задачи на построение точки по ее координатам;

2) задачи на нахождение координат заданных точек;

3) задачи на вычисление расстояния между точками, заданными координатами;

4) задачи на оптимальный выбор системы координат;

5) задачи на составление уравнения фигуры по ее характеристическому свойству;

6) задачи на определение фигуры по ее уравнению;

7) задачи на преобразование алгебраических равенств;

Приведем примеры таких задач.

I. Построение точек на плоскости.

С координатной прямой, а затем и с координатной плоскостью учащиеся знакомятся в 5-6 классах при изучении математического материала. При этом удобно использовать мультимедийные презентации, которые позволяют в динамике излагать необходимый материал, использовать всевозможные иллюстрации и звуковые эффекты, тем самым, заинтересовывая учащихся и являясь хорошим наглядным средством. Одним из примеров является презентация «Метод координат», опирающаяся на учебник [7]. (см. приложение 1). Приведем несколько примеров задач, которые можно использовать при изучении координатной плоскости. Эти задачи могут быть использованы:

— для оттачивания навыков построения точек по их координатам со всем классом;

— для дополнительных заданий отстающим ученикам;

— для развития интереса к изучаемой теме.

1) На координатной плоскости постройте точки А(7,2), B(-2,1), C(0,2).

2) Отметьте на плоскости несколько точек. Начертите произвольную систему координат и найдите в ней координаты заданных точек.

3) Постройте фигуры по координатам их узловых точек. Указание: узловыми будем называть точки, служащие концами отрезков, образующих фигуры. Точки, координаты которых записаны подряд через запятую, соединяйте последовательно друг с другом. Если же координаты разделяются знаком «;», то соответствующие точки не следует соединять. Они нужны для изображения вспомогательных элементов.

А) Камбала (Рис. 4)

Б)Найдите координаты выделенных на рисунке точек, двигаясь по часовой стрелке от самой жирной точки. (Рис. 5 и 6)

II.Задачи на выбор системы координат

Выбор системы координат имеет очень важное значение при применении метода координат.

Для примера возьмем задачу, которая рассмотрена в учебнике [2] «Середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин».

Первым шагом при применении метода координат является такой выбор осей и системы координат, при котором алгебраические выкладки становятся более простыми. Для данной задачи удачный выбор системы координат показан на рисунке 7. Таким образом, начало координат помещаем в точку А, а оси проводим через точки В и С так, чтобы эти точки лежали на положительных лучах осей. Следовательно, В(а,0) и С(0,b). Поэтому по формуле середины отрезка D(). Теперь , .

Поэтому AD=BD. А так как по определению середины отрезка BC=CD, то теорема доказана.

Можно выбрать систему координат и по-другому (рис.8, рис.9). Если выбрать оси совсем случайно, то легкую задачу можно превратить в очень трудную. Чтобы начать доказательство исходя из рисунка 10, нужно найти способ, позволяющий выразить алгебраически, что треугольник ABC имеет при вершине А прямой угол. Сделать это можно, но будет это не очень просто.

Поэтому необходимо вырабатывать у учащихся, начиная с 6 класса, представления о возможности произвольного выбора системы координат. Эту работу целесообразно вести в процессе решения задач. В целях пропедевтической работы можно рекомендовать в 6 классе задачи из учебника на нахождение координат точек по рисунку, разнообразя их с помощью изменения направления осей и начала координат. (см. приложение1)

1. Длина отрезка АВ равна 5см. а)Выберите систему координат, в которой можно было бы наиболее просто определить координаты концов отрезка. б)Выберите систему координат так, чтобы координаты концов отрезка были бы: А (-2.5,0), В(2.5,0).

2. Постройте квадрат ABCD со стороной 2 см; отметьте точку М- центр квадрата. Поместите начало координат последовательно в точки A, B, C, D и выберите направление осей координат так, чтобы точка М в каждой системе координат имела координаты (1;1). За единичный примите отрезок длиной 1 см.

3. Треугольник ABC равносторонний (длина стороны равна 6 см.). Выберите систему координат так, чтобы можно проще было бы определить координаты его вершин.

III. Расстояние между точками

1) Точка М(а,с) находится от начала координат и точки А(4,0) соответственно на расстояниях 3 и 4 см. Определите координаты точки М.

2) Дан прямоугольник ABCD (АВ=2 см., ВС=4 см.). Как выбрать систему координат, чтобы его вершины имели координаты А(-1,-2), В(-1,2), С(1,2), D(l,-2)?

3) Длины сторон треугольника ABC равны 3, 4 и 5 см. Выберете систему координат и определите в ней координаты вершин треугольника ABC.

4) Вершины четырехугольника ABCD имеют следующие координаты: А(-3,1), В(3,6), С(2,2) и D(-4,3). Установите вид четырехугольника.

IV. Составление уравнения фигур

Это умение является одним из основных умений, которые необходимы при применении метода координат к решению задач.

1) Изобразите систему координат. Отметьте на оси Ох точки А и В. Запишите соотношения, которым удовлетворяют координаты точек, принадлежащих: а)отрезку АВ; б)лучу АВ; в)лучу ВА;

2) Запишите уравнение прямой, содержащей начало координат и точку А(2,5).

3) Запишите уравнение прямой, содержащей точки А(2,7)и В(1,3).

4) Изобразите на координатной плоскости произвольную прямую и найдите ее уравнение.

5) Запишите соотношения, которым удовлетворяю координаты точек прямоугольника с вершинами А(2,3), В(2,5), С(4,5), D(4,3).

6) Что представляют собой множества точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенствам: а)х≤3; b)-5≤х≤0; c)x>1; d)x 2 +АР 2 не зависит от переменной b. Найдем АМ 2 и АР 2 используя формулу нахождения расстояния между двумя точками по их координатам: . Они соответственно равны и , а их сумма после приведения подобных равна 2а 2 +2. Это число не зависит от переменной b, что и требовалось доказать.

Пример 2. Доказать, что сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей. (Теорема Эйлера)

Решение: Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке 12.

Пусть точки А, В, С и D имеют координаты (0,0), (d,0), (c,d) и (0,d) соответственно. Следовательно, координаты точек L и P есть () и (). Найдем квадраты длин отрезков, с помощью формулы нахождения расстояния между точками по их координатам.

AD 2 =; BC 2 =; DC 2 =; AB 2 =;

AC 2 =; BD 2 =; LP 2 =.

Запишем выражение, которое необходимо доказать, используя найденные нами значения.

AD 2 +BC 2 +DC 2 +AB 2 =AC 2 +BD 2 +4LP 2

+++=++4

Раскроем скобки, приведем подобные и получим верное равенство 0=0. Значит, сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей.

Пример 3. Диаметры AB и CD окружности перпендикулярны. Хорда ЕА пересекает диаметр СD в точке К, хорда ЕС пересекает диаметр АВ в точке L. Докажите, что если СК:KD так же как 2:1, то AL:LB так же как 3:1.

Решение: Введем прямоугольную систему координат, направив оси по данным диаметрам AB и CD (рис. 13).

Радиус окружности будем считать равным 1. Тогда точки А, В, С, D будут иметь координаты (-1,0), (1,0), (0,-1), (0,1) соответственно. Так как СК:KD=2:1, то точка К имеет координаты (0,). Найдем координаты точки Е как точки пересечения прямой АК, имеющей уравнение и окружности, заданной уравнением . Получаем, что точка Е имеет координаты (). Точка L – это точка пересечения прямых СЕ и оси абсцисс, значит ординаты точки L равна 0.

Найдем абсциссу точки L. Прямая СЕ задана уравнением . Она пересекает ось Ох в точке (,0). Отсюда координаты точки L(,0). Найдем отношение AL:LB. Оно равно трем, что и требовалось доказать.

1. Доказать, что если в треугольнике две медианы конгруэнтны, то треугольник равнобедренный.

2. Найти множество таких точек Р, что отношение расстояний от каждой из них до двух данных точек равно а.

3. Докажите, что уравнение окружности с центром в точке С (а,с) и радиусом r имеет вид: (х-а) 2 +(у-с) 2 =r 2

4. Найти угол между прямыми Зх-4у+6=0 и 12х+5у+8=0

5. Определите расстояние от точки А(-3,4) до прямой у=х+2.

6. Вычислите площадь треугольника, вершины которого имеют следующие координаты: А (0,-2), В(6,2) и С(2,4) .

7. На прямой с даны три точки А, В, С так, что точка В лежит между точками А и С. В одной полуплоскости с границей а построены равносторонние треугольники АМВ и ВРС. Доказать, что середина отрезка РА, середина отрезка МС и точка В являются вершинами равностороннего треугольника.

8. Доказать, что для любой точки Р лежащей между вершинами В и треугольника ABC, справедливо равенство :

АВ 2 *РС+АС*ВР-АР 2 *ВС=ВС*ВР*РС.

9. Дан прямоугольник. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки, принадлежащей плоскости этого прямоугольника до его вершин, в два раза больше суммы квадратов расстояний от этой точки до сторон прямоугольника.

10. Доказать, что если через некоторую точку М провести прямую, пересекающую окружность в точках А и В, то произведение МА*МВ постоянно и не зависит от положения прямой.

11. Дан прямоугольник ABCD. Найти множество точек М, для которых MA 2 +MC 2 =MB 2 +MD 2 . (ответ: множество точек М есть плоскость)

Содержание

Окружности помещены внутри параболы
Парабола — определение и вычисление с примерами решения
Уравнение параболоида вращения
📸 Видео

Видео:Найти абсциссу второй точки пересечения параболы и прямойСкачать

Окружности помещены внутри параболы

Окружности w₁, w₂, w₃, . помещены внутри параболы y = x 2 так, что w₁ касается параболы в ее вершине и имеет радиус 0,5, окружность w_т _{+ 1} при каждом m касается окружности w_m и ветвей параболы. Найти радиус окружности w₂₀₀₉.

Решение:

(№641 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя метод индукции.

Тогда уравнение окружности w_т _{+ 1} имеет вид:

Условие касания означает, что уравнение y + (y– (2S_n+ r_n₊₁)) 2 = r_n₊₁ 2 имеет единственный корень, тогда его дискриминант:

Индукцией можно убедиться, что r_n = n – 1/2.

Значит, r₂₀₀₉ = 2009 – 1/2 = 2008,5.

Видео:8 класс. Найти координаты точек пересечения параболы с осями координатСкачать

Парабола — определение и вычисление с примерами решения

Парабола:

Определение: Параболой называется геометрическое место точек равноудаленных от выделенной точки F, называемой фокусом параболы, и прямой (l), называемой директрисой.

Получим каноническое уравнение параболы. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокус F лежал на оси абсцисс, а директриса проходила бы через точку, расположенную симметрично фокусу, перпендикулярно к оси абсцисс (Рис. 34). Пусть точка M(х; у) принадлежит параболе: Вычислим расстояния от точки M(х; у) до фокуса и директрисы

Рис. 34. Парабола, (уравнение директрисы.

Возведем обе части уравнения в квадрат

Раскрывая разность квадратов, стоящую в правой части уравнения, получим каноническое уравнение параболы: (а также аналогичные ему, см. Рис. 35а и Рис. 356).

Рис. 35а. Параболы и их уравнения.

Рис. 356. Параболы и их уравнения.

Найдем координаты точек пересечения параболы с координатными осями:

— точка пересечения параболы с осью абсцисс;
— точка пересечения параболы с осью ординат.

Определение: Точка О(0; 0) называется вершиной параболы.

Если точка М(х; у) принадлежит параболе, то ей принадлежат и точка следовательно, парабола симметрична относительно оси абсцисс.

Пример:

Дано уравнение параболы Определить координаты фокуса параболы и составить уравнение параболы.

Решение:

Так как из уравнения параболы следует, что следовательно, Таким образом, фокус этой параболы лежит в точке а уравнение директрисы имеет вид

Пример:

Составить каноническое уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ох слева от начала координат, а параметр р равен расстоянию от фокуса гиперболы до её асимптоты.

Решение:

Для определения координат фокусов гиперболы преобразуем её уравнение к каноническому виду.

Гипербола:

Следовательно, действительная полуось гиперболы а мнимая полуось — Гипербола вытянута вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данной гиперболы Итак, Вычислим расстояние от фокуса до асимптоты которое равно параметру р:

Следовательно, каноническое уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ох слева от начала координат имеет вид:

Пример:

Составить каноническое уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса Написать уравнение директрисы.

Решение:

Для определения координат фокусов эллипса преобразуем его уравнение к каноническому виду. Эллипс:

Следовательно, большая полуось эллипса а малая полуось Так как , то эллипс вытянут вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данного эллипса Итак, Так как фокус параболы совпадает с одним из фокусов или эллипса, то параметр р найдем из равенства уравнение параболы имеет вид Директриса определяется уравнением

Видео:Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Уравнение параболоида вращения

Пусть вертикальная парабола

расположенная в плоскости Охz, вращается вокруг своей оси (ось Oz). При вращении получается поверхность, носящая название параболоида вращения (рис. 207).

Для вывода уравнения поверхности рассмотрим произвольную точку параболоида вращения, и пусть эта точка получена в результате вращения точки N(X, 0, Z) данной параболы вокруг точки С(0, 0, Z).

Так как точки М и N расположены в одной и той же горизонтальной плоскости и CN = СМ как радиусы одной и той же окружности, то имеем

Подставляя формулы (2) в уравнение (1), получим уравнение параболоида вращения

Заметим, что форму параболоида вращения имеет поверхность ртути, находящейся в вертикальном цилиндрическом сосуде, быстро вращающемся вокруг своей оси. Это обстоятельство используют в технике для получения параболических зеркал.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Многогранник
Решение задач на вычисление площадей
Тела вращения: цилиндр, конус, шар
Четырехугольник
Многогранники
Окружность
Эллипс
Гипербола

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.