Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Как найти сторону треугольника описанного окружностью
Содержание
  1. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  2. Типы треугольников
  3. По величине углов
  4. По числу равных сторон
  5. Вершины углы и стороны треугольника
  6. Свойства углов и сторон треугольника
  7. Теорема синусов
  8. Теорема косинусов
  9. Теорема о проекциях
  10. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  11. Медианы треугольника
  12. Свойства медиан треугольника:
  13. Формулы медиан треугольника
  14. Биссектрисы треугольника
  15. Свойства биссектрис треугольника:
  16. Формулы биссектрис треугольника
  17. Высоты треугольника
  18. Свойства высот треугольника
  19. Формулы высот треугольника
  20. Окружность вписанная в треугольник
  21. Свойства окружности вписанной в треугольник
  22. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  23. Окружность описанная вокруг треугольника
  24. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  25. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  26. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  27. Средняя линия треугольника
  28. Свойства средней линии треугольника
  29. Периметр треугольника
  30. Формулы площади треугольника
  31. Формула Герона
  32. Равенство треугольников
  33. Признаки равенства треугольников
  34. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  35. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  36. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  37. Подобие треугольников
  38. Признаки подобия треугольников
  39. Первый признак подобия треугольников
  40. Второй признак подобия треугольников
  41. Третий признак подобия треугольников
  42. Треугольник. Соотношения между сторонами треугольника и радиусами вписанного и описанного кругов.
  43. Все формулы для треугольника
  44. 1. Как найти неизвестную сторону треугольника
  45. 2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
  46. 3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
  47. 4. Найти длину высоты треугольника
  48. Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
  49. Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
  50. Серединный перпендикуляр к отрезку
  51. Окружность, описанная около треугольника
  52. Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
  53. Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Типы треугольников

По величине углов

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

По числу равных сторон

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольника

Медианы треугольника

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133Скачать

Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133

Биссектрисы треугольника

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Высоты треугольника

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Окружность вписанная в треугольник

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Окружность описанная вокруг треугольника

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Геометрия Радиус окружности, описанной около треугольника MKP равен 5 см SinM = 0,7 Найдите сторонуСкачать

Геометрия Радиус окружности, описанной около треугольника MKP равен 5 см SinM = 0,7 Найдите сторону

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Периметр треугольника

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать

Задание 24 ОГЭ по математике #7

Формулы площади треугольника

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Подобие треугольников

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:2047 радиус окружности описанной около правильного треугольника равна 36 корней из 3Скачать

2047 радиус окружности описанной около правильного треугольника равна 36 корней из 3

Треугольник. Соотношения между сторонами треугольника и радиусами вписанного и описанного кругов.

По двум сторонам a и b треугольника ABC и радиусу R описанного круга вычислить третью сторону x треугольника.

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Применяя к этому четырехугольнику теорему Птоломея будем иметь:

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

откуда легко найдем x .

Задача будет иметь другое решение, если предположим, что стороны a и b лежат по одну сторону от центра. Применяя к этому случаю теорему Птоломея, мы получим следующее уравнение:

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Теорема.

Произведение двух сторон треугольника равно:

1. произведению диаметра описанного круга на высоту, проведенную к третьей стороне.

2. квадрату биссектрисы угла, заключенного между этими сторонами, сложенному с произведением отрезков третьей стороны.

1.Обозначим стороны треугольника ABC через a, b и с, высоту, опущенную на сторону a через ha , а радиус описанного круга через R.Проведем диаметр AD и соединим D с B.

Треугольники ABD и AEC подобны, потому что углы B и E прямые и D= С , как углы вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу.

Из этой формулы легко определить величину радиуса R описанного круга.

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

По первой теореме мы имеем: bс = 2Rha , где b и с есть две стороны треугольника, haвысота, опущенная на третью сторону треугольника, и Rрадиус описанного круга.

Из этого равенства выводим:

Исключим из этой формулы высоту ha: для этого умножим числитель и знаменатель дроби на a. Тогда, заменив произведение ha a удвоенной площадью треугольника (которую обозначим S), получим:

Как найти сторону треугольника описанного около окружности,

Чтобы найти радиус r внутреннего вписанного круга рассмотрим треугольник АВС со вписанной в него окружностью. Отметим центр вписанной окружности и примем во внимание, что прямые OA, OB и разделяют данный треугольник на три других треугольника, у которых основаниями служат стороны данного треугольника, а высотой — радиус r.

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Поэтому: S=1/2ar + 1/2br + 1/2cr = r ½ (a+b+c) = rp.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Все формулы для треугольника

Видео:КАК НАЙТИ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО ПРАВИЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА? Примеры | ГЕОМЕТРИЯ 9 классСкачать

КАК НАЙТИ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО ПРАВИЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА? Примеры | ГЕОМЕТРИЯ 9 класс

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Формулы для катета, ( b ):

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Видео:Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138Скачать

Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Формулы длины равных сторон , (a):

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Видео:Как найти диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

Как найти диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

Как найти сторону треугольника описанного около окружностиH — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Как найти сторону треугольника описанного около окружностиСерединный перпендикуляр к отрезку
Как найти сторону треугольника описанного около окружностиОкружность описанная около треугольника
Как найти сторону треугольника описанного около окружностиСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Как найти сторону треугольника описанного около окружностиДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Как найти сторону треугольника описанного около окружности,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Как найти сторону треугольника описанного около окружностиВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаКак найти сторону треугольника описанного около окружностиОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиКак найти сторону треугольника описанного около окружностиЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиКак найти сторону треугольника описанного около окружностиЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовКак найти сторону треугольника описанного около окружности
Площадь треугольникаКак найти сторону треугольника описанного около окружности
Радиус описанной окружностиКак найти сторону треугольника описанного около окружности
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаКак найти сторону треугольника описанного около окружности

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиКак найти сторону треугольника описанного около окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиКак найти сторону треугольника описанного около окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиКак найти сторону треугольника описанного около окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовКак найти сторону треугольника описанного около окружности

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Как найти сторону треугольника описанного около окружности,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаКак найти сторону треугольника описанного около окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиКак найти сторону треугольника описанного около окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Как найти сторону треугольника описанного около окружности.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Поделиться или сохранить к себе: