Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.
Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:
- Треугольник
- Выпуклый, правильный многоугольник
- Квадрат
- Равнобедренная трапеция
- Ромб
В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.
Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.
Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.
Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.
Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.
Свойства вписанной окружности
В треугольник
- В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
- Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
- Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
- Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:
[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]
p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.
окружность и любая из сторон треугольника.
перпендикуляры к любой точке касания.
треугольника на 3 пары равных отрезков.
Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:
с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
R — радиус описанной около треугольника.
r — радиус вписанной окружности треугольника.
В четырехугольник
- Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
- Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито). - Центр вписанной окружности и середины двух
диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона). - Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
- Точка касания — это точка, в которой соприкасается
окружность и любая из сторон четырехугольника. - Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:
[ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]
p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.
равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
Примеры вписанной окружности
- Треугольник
- Четырехугольник
- Многоугольник
Примеры описанного четырехугольника:
равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.
Примеры описанного треугольника:
равносторонний, равнобедренный,
прямоугольный треугольники.
Верные и неверные утверждения
- Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение. - Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
- В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
- В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
- Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
- Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
- Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение. - Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение. - Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
- Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.
Окружность вписанная в угол
Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
лежит внутри этого угла и касается его сторон.
Центр окружности, которая вписана в угол,
расположен на биссектрисе этого угла.
К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.
Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.
Видео:Как найти расстояние между центрами | Олимпиадная математикаСкачать
Вневписанные окружности
Теорема 1 . В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и продолжим, например, стороны BA и BC за точки A и C соответственно (рис.1).
Проведём биссектрисы углов DAC и ECA , которые являются внешними углами треугольника ABC . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O . Докажем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC , который является внутренним углом треугольника ABC , не смежным с внешними углами DAC и ECA . С этой целью опустим из точки O перпендикуляры OF , OG и OH на прямые AB , AC и BC соответственно. Поскольку AO – биссектриса угла DAC , то справедливо равенство:
Следовательно, справедливо равенство
Замечание 1 . В ходе доказательства теоремы 1 мы установили, что справедливы равенства
откуда вытекает, что точки F , G и H лежат на одной окружности с центром в точке O .
Определение . Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник , или вневписанной окружностью, если она касается касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).
Замечание 2 . У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.
Замечание 3 . Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 2, лежит на биссектрисе угла B , а окружность касается стороны b . Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b , и обозначать её радиус символом rb .
Теорема 2 . Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC . Тогда отрезки касательных касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.
Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и докажем, что выполнено равенство
где a, b, c – стороны треугольника ABC . Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A . Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C . Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B . Отсюда получаем:
где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC . Теорема 2 доказана.
Теорема 3 . Радиус вневписанной окружности , касающейся стороны b , вычисляется по формуле
где буквой S обозначена площадь треугольника ABC , а буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC .
Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства
Следовательно, справедливо равенство
что и требовалось доказать.
Следствие . Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC окружностей вычисляются по формулам:
Теорема 4 . Если обозначить буквой r радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:
Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности
,
что и требовалось доказать.
Теорема 5 . Площадь треугольника можно вычислить по формуле
Доказательство . Перемножим формулы
что и требовалось доказать.
Теорема 6 . Если обозначить буквой R радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:
Доказательство . Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим
Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:
Видео:Планиметрия 11 |mathus.ru| расстояние между центрами пересекающихся окружностейСкачать
МАТЕМАТИКА
Формула Эйлера
Мы знаем, что в каждый треугольник можно вписать окружность и можно описать около него окружность. Ясно, что вписанная окружность лежит внутри описанной, поскольку вписанная окружность лежит внутри треугольника, а сам треугольник лежит внутри описанной окружности.
Радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами всегда связаны между собой определенным соотношением. Справедлива следующая теорема.
Теорема. В треугольнике радиус R описанной окружности и радиус r вписанной окружности связаны с расстоянием d между их центрами соотношением
В частности, если d=0 (центры окружностей совпадают), то .
Эта формула называется формулой Эйлера.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник АВС, у которого точка О – центр описанной окружности, а точка – центр вписанной окружности. Будем считать пока, что (рисунок 1). Проведем биссектрисы и углов А и В. Они пересекаются с описанной окружностью в некоторых точках и . Пусть P и Q – точки пересечения прямой с описанной окружностью. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд , или
Заметим теперь, что поскольку и – биссектрисы углов А и В, то , а . Следовательно,
Поэтому треугольник равнобедренный: . Таким образом, соотношение можно переписать так:
Проведем теперь диаметр описанной окружности и обозначим буквой К точку касания вписанной окружности и стороны АВ. Треугольники и подобны (они прямоугольные и имеют равные углы А и ), поэтому
Откуда . Подставив это выражение, получим
В случае d=0 (рисунок 2) каждая из сторон треугольника АВС равна , а значит, этот треугольник равносторонний.
Поэтому , , и, следовательно, . Теорема доказана.
Замечание. В ходе доказательства теоремы мы установили весьма полезный факт:
Точка пересечения продолжения биссектрисы, проведенной из одной из вершин треугольника, с описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и центра вписанной окружности.
Теорема Птолемея
В любой треугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Однако для других многоугольников это не так. Мы знаем, например, что в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна . Эти утверждения очень похожи друг на друга. Используя скобки, их можно объединить в одно:
Описанная (вписанная) окружность для данного четырехугольника существует тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов (сторон) равны.
Существуют и другие характеристические свойства вписанных и описанных четырехугольников. Наиболее известное основано на теореме Птолемея.
Теорема (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
Доказательство.
Рассмотрим вписанный четырехугольник АВСD. Для удобства введем обозначение: АВ = а, ВС = b, CD = c, DA = d, AC = m, BD = n (рисунок 3) и докажем, что .
На диагонали АС возьмем такую точку М, что . Треугольники АВМ и DBC подобны по двум углам ( по построению, а углы ВАМ и BDC равны как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу). Следовательно, , откуда , или (1).
Далее, треугольники МВС и ADB также подобны, так как , а углы ВСМ и BDA равны как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому , , откуда , или (2).
Сложив равенства (1) и (2), получим , или , что и требовалось доказать.
Оказывается, что рассмотренное свойство вписанного четырехугольника является характеристическим, то есть верно и обратное утверждение.
Если в выпуклом четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон, то около него можно описать окружность.
Рекомендую далее изучить тему «Вневписанные окружности».
Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях
Источник: Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.
🎦 Видео
Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольникеСкачать
Как найти радиус - вневписанная окружность | Олимпиадная математикаСкачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис ТрушинСкачать
Егэ c4. Вневписанная окружностьСкачать
Вневписанная окружностьСкачать
1 2 4 сопряжение окружностейСкачать
Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать
Вневписанная окружностьСкачать
Вневписанная окружность.Теорема Птоломея.Скачать
Задача о треугольнике из тренировочного варианта ЕГЭСкачать
Задача про две вневписанные окружности | ЕГЭ. Задание 16. Математика | Борис Трушин |Скачать
Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать
Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.Скачать
[11] Окружности с нуля для ЕГЭ по математике. Вневписанная окружность Теория и практика 13 задач.Скачать
✓ Как найти второй радиус? | Ботай со мной #105 | Борис ТрушинСкачать