Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

Вписанная окружность

Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей
    • Четырехугольник
      Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей
    • Многоугольник
      Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:Как найти расстояние между центрами | Олимпиадная математикаСкачать

    Как найти расстояние между центрами | Олимпиадная математика

    Вневписанные окружности

    Теорема 1 . В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.

    Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и продолжим, например, стороны BA и BC за точки A и C соответственно (рис.1).

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Проведём биссектрисы углов DAC и ECA , которые являются внешними углами треугольника ABC . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O . Докажем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC , который является внутренним углом треугольника ABC , не смежным с внешними углами DAC и ECA . С этой целью опустим из точки O перпендикуляры OF , OG и OH на прямые AB , AC и BC соответственно. Поскольку AO – биссектриса угла DAC , то справедливо равенство:

    Следовательно, справедливо равенство

    Замечание 1 . В ходе доказательства теоремы 1 мы установили, что справедливы равенства

    откуда вытекает, что точки F , G и H лежат на одной окружности с центром в точке O .

    Определение . Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник , или вневписанной окружностью, если она касается касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Замечание 2 . У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.

    Замечание 3 . Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 2, лежит на биссектрисе угла B , а окружность касается стороны b . Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b , и обозначать её радиус символом rb .

    Теорема 2 . Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC . Тогда отрезки касательных касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.

    Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и докажем, что выполнено равенство

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    где a, b, c – стороны треугольника ABC . Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A . Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C . Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B . Отсюда получаем:

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC . Теорема 2 доказана.

    Теорема 3 . Радиус вневписанной окружности , касающейся стороны b , вычисляется по формуле

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    где буквой S обозначена площадь треугольника ABC , а буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC .

    Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Следовательно, справедливо равенство

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    что и требовалось доказать.

    Следствие . Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC окружностей вычисляются по формулам:

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Теорема 4 . Если обозначить буквой r радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей,

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    что и требовалось доказать.

    Теорема 5 . Площадь треугольника можно вычислить по формуле

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Доказательство . Перемножим формулы

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    что и требовалось доказать.

    Теорема 6 . Если обозначить буквой R радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:

    Доказательство . Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:

    Видео:Планиметрия 11 |mathus.ru|  расстояние между центрами пересекающихся окружностейСкачать

    Планиметрия 11 |mathus.ru|  расстояние между центрами пересекающихся окружностей

    МАТЕМАТИКА

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Формула Эйлера

    Мы знаем, что в каждый треугольник можно вписать окружность и можно описать около него окружность. Ясно, что вписанная окружность лежит внутри описанной, поскольку вписанная окружность лежит внутри треугольника, а сам треугольник лежит внутри описанной окружности.

    Радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами всегда связаны между собой определенным соотношением. Справедлива следующая теорема.

    Теорема. В треугольнике радиус R описанной окружности и радиус r вписанной окружности связаны с расстоянием d между их центрами соотношением

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    В частности, если d=0 (центры окружностей совпадают), то Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей.

    Эта формула называется формулой Эйлера.

    Доказательство.

    Рассмотрим треугольник АВС, у которого точка О – центр описанной окружности, а точка Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей– центр вписанной окружности. Будем считать пока, что Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей(рисунок 1). Проведем биссектрисы Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностейи Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностейуглов А и В. Они пересекаются с описанной окружностью в некоторых точках Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностейи Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей. Пусть P и Q – точки пересечения прямой Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностейс описанной окружностью. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей, или

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Заметим теперь, что поскольку Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностейи Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей– биссектрисы углов А и В, то Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей, а Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей. Следовательно,

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Поэтому треугольник Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностейравнобедренный: Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей. Таким образом, соотношение можно переписать так:

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Проведем теперь диаметр Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностейописанной окружности и обозначим буквой К точку касания вписанной окружности и стороны АВ. Треугольники Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностейи Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностейподобны (они прямоугольные и имеют равные углы А и Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей), поэтому

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    Откуда Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей. Подставив это выражение, получим

    Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей

    В случае d=0 (рисунок 2) каждая из сторон треугольника АВС равна Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей, а значит, этот треугольник равносторонний.

    Поэтому Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей, Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей, и, следовательно, Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей. Теорема доказана.

    Замечание. В ходе доказательства теоремы мы установили весьма полезный факт:

    Точка пересечения продолжения биссектрисы, проведенной из одной из вершин треугольника, с описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и центра вписанной окружности.

    Теорема Птолемея

    В любой треугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Однако для других многоугольников это не так. Мы знаем, например, что в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей. Эти утверждения очень похожи друг на друга. Используя скобки, их можно объединить в одно:

    Описанная (вписанная) окружность для данного четырехугольника существует тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов (сторон) равны.

    Существуют и другие характеристические свойства вписанных и описанных четырехугольников. Наиболее известное основано на теореме Птолемея.

    Теорема (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

    Доказательство.

    Рассмотрим вписанный четырехугольник АВСD. Для удобства введем обозначение: АВ = а, ВС = b, CD = c, DA = d, AC = m, BD = n (рисунок 3) и докажем, что Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей.

    На диагонали АС возьмем такую точку М, что Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей. Треугольники АВМ и DBC подобны по двум углам ( Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностейпо построению, а углы ВАМ и BDC равны как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу). Следовательно, Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей, откуда Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей, или Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей(1).

    Далее, треугольники МВС и ADB также подобны, так как Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей, а углы ВСМ и BDA равны как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому , Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей, откуда Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей, или Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей(2).

    Сложив равенства (1) и (2), получим Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей, или Как найти расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей, что и требовалось доказать.

    Оказывается, что рассмотренное свойство вписанного четырехугольника является характеристическим, то есть верно и обратное утверждение.

    Если в выпуклом четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон, то около него можно описать окружность.

    Рекомендую далее изучить тему «Вневписанные окружности».

    Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях

    Источник: Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.

    🎦 Видео

    Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольникеСкачать

    Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольнике

    Как найти радиус - вневписанная окружность | Олимпиадная математикаСкачать

    Как найти радиус - вневписанная окружность | Олимпиадная математика

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    ✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис Трушин

    Егэ c4. Вневписанная окружностьСкачать

    Егэ c4. Вневписанная окружность

    Вневписанная окружностьСкачать

    Вневписанная окружность

    1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

    1 2 4  сопряжение окружностей

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

    Вневписанная окружностьСкачать

    Вневписанная окружность

    Вневписанная окружность.Теорема Птоломея.Скачать

    Вневписанная окружность.Теорема Птоломея.

    Задача о треугольнике из тренировочного варианта ЕГЭСкачать

    Задача о треугольнике из тренировочного варианта ЕГЭ

    Задача про две вневписанные окружности | ЕГЭ. Задание 16. Математика | Борис Трушин |Скачать

    Задача про две вневписанные окружности | ЕГЭ. Задание 16. Математика | Борис Трушин |

    Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

    Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

    Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.Скачать

    Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.

    [11] Окружности с нуля для ЕГЭ по математике. Вневписанная окружность Теория и практика 13 задач.Скачать

    [11] Окружности с нуля для ЕГЭ по математике. Вневписанная окружность Теория и практика 13 задач.

    ✓ Как найти второй радиус? | Ботай со мной #105 | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Как найти второй радиус? | Ботай со мной #105 | Борис Трушин
    Поделиться или сохранить к себе: