Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатамЧисловая ось
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатамПрямоугольная декартова система координат на плоскости
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатамФормула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатамУравнение окружности на координатной плоскости

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Содержание
  1. Числовая ось
  2. Прямоугольная декартова система координат на плоскости
  3. Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
  4. Уравнение окружности на координатной плоскости
  5. Как найти расстояние между центрами окружностей
  6. Взаимное расположение двух окружностей
  7. Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
  8. Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
  9. Ответ
  10. Проверено экспертом
  11. Найти расстояние между центрами окружностей по координатам
  12. Как найти расстояние между центрами окружностей
  13. Взаимное расположение двух окружностей
  14. Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
  15. Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
  16. Ответ
  17. Проверено экспертом
  18. Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности
  19. Числовая ось
  20. Прямоугольная декартова система координат на плоскости
  21. Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
  22. Уравнение окружности на координатной плоскости
  23. Пересечение двух окружностей
  24. Точки пересечения двух окружностей
  25. Первая окружность
  26. Вторая окружность
  27. Пересечение окружностей

Видео:Расстояние между центрами. Окружность. Математика 10-11 классы.Скачать

Расстояние между центрами. Окружность. Математика 10-11 классы.

Числовая ось

Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .

Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .

Видео:Как найти расстояние между центрами | Олимпиадная математикаСкачать

Как найти расстояние между центрами | Олимпиадная математика

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.

Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координатыабсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA1 и AA2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A2 на числовой оси Oy .

Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .

Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).

Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .

Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.

Видео:Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольникеСкачать

Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольнике

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости

вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

| A1A2| 2 =
= ( x2x1) 2 + ( y2y1) 2 .
(1)

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

что и требовалось доказать.

Видео:Планиметрия 11 |mathus.ru|  расстояние между центрами пересекающихся окружностейСкачать

Планиметрия 11 |mathus.ru|  расстояние между центрами пересекающихся окружностей

Уравнение окружности на координатной плоскости

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:

Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A0 (x0 ; y0) .

Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид

Видео:Расстояние между двумя точками. Координаты середины отрезка.Скачать

Расстояние между двумя точками. Координаты середины отрезка.

Как найти расстояние между центрами окружностей

У Вас недостаточно прав для добавления комментариев.
Вам необходимо зарегистрироваться на сайте

Все права защищены 2019
Перепечатка информации возможна только при наличии
согласия администратора и активной ссылки на источник!

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатамВзаимное расположение двух окружностей
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатамОбщие касательные к двум окружностям
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатамФормулы для длин общих касательных и общей хорды
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатамДоказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Видео:Планиметрия 5 | mathus.ru | расстояние между центрами окружностей в параллелограммеСкачать

Планиметрия 5 | mathus.ru | расстояние между центрами окружностей в параллелограмме

Взаимное расположение двух окружностей

ФигураРисунокСвойства
Две окружности на плоскостиКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другойКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностейКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностейКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Окружности пересекаются в двух точкахКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другойКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностейКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностейКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Окружности пересекаются в двух точкахКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другойКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностейКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Окружности пересекаются в двух точкахКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Внутренняя касательная к двум окружностямКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Внутреннее касание двух окружностейКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Окружности пересекаются в двух точкахКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внешнее касание двух окружностейКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Каждая из окружностей лежит вне другой

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Внешняя касательная к двум окружностям
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Внутренняя касательная к двум окружностямКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Внутреннее касание двух окружностейКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Окружности пересекаются в двух точкахКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внешнее касание двух окружностейКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатамКаждая из окружностей лежит вне другой

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Видео:Расстояние между точками по координатам.Скачать

Расстояние между точками по координатам.

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей
Каждая из окружностей лежит вне другой

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

ФигураРисунокФормула
Внешняя касательная к двум окружностямКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Внутренняя касательная к двум окружностямКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Общая хорда двух пересекающихся окружностейКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Внешняя касательная к двум окружностям
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Внутренняя касательная к двум окружностямКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Общая хорда двух пересекающихся окружностейКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Видео:Длина отрезкаСкачать

Длина отрезка

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Ответ

Проверено экспертом

Уравнение окружности с центром (a;b) и радиусом R

центр окружности (-2;6) радиус 6

центр окружности (4;-5)радиус 5

по формуле расстояние между двумя точками :

находим расстояние между центрами заданных окружностей

Видео:✓ Как найти второй радиус? | Ботай со мной #105 | Борис ТрушинСкачать

✓ Как найти второй радиус? | Ботай со мной #105 | Борис Трушин

Найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Видео:Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать

Как найти координаты точек на тригонометрической окружности

Как найти расстояние между центрами окружностей

У Вас недостаточно прав для добавления комментариев.
Вам необходимо зарегистрироваться на сайте

Все права защищены 2019
Перепечатка информации возможна только при наличии
согласия администратора и активной ссылки на источник!

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатамВзаимное расположение двух окружностей
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатамОбщие касательные к двум окружностям
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатамФормулы для длин общих касательных и общей хорды
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатамДоказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Видео:Расстояние от точки до прямой (метод координат)Скачать

Расстояние от точки до прямой (метод координат)

Взаимное расположение двух окружностей

ФигураРисунокСвойства
Две окружности на плоскостиКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другойКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Внешнее касание двух окружностейКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Внутреннее касание двух окружностейКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Окружности пересекаются в двух точкахКак найти расстояние между центрами окружностей по координатамКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Каждая из окружностей лежит вне другой
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Внешнее касание двух окружностей
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Внутреннее касание двух окружностей
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Окружности пересекаются в двух точках
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Каждая из окружностей лежит вне другой
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Внутренняя касательная к двум окружностямКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Внутреннее касание двух окружностейКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Окружности пересекаются в двух точкахКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Внешнее касание двух окружностейКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Внешняя касательная к двум окружностям
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Внутренняя касательная к двум окружностямКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Внутреннее касание двух окружностейКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Окружности пересекаются в двух точкахКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внешнее касание двух окружностейКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатамКаждая из окружностей лежит вне другой

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Видео:10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскостиСкачать

10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскости

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей
Каждая из окружностей лежит вне другой

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

ФигураРисунокФормула
Внешняя касательная к двум окружностямКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Внутренняя касательная к двум окружностямКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Общая хорда двух пересекающихся окружностейКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам
Внешняя касательная к двум окружностям
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Внутренняя касательная к двум окружностямКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Общая хорда двух пересекающихся окружностейКак найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Видео:Найти центр и радиус окружностиСкачать

Найти центр и радиус окружности

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Видео:Расстояние от точки до плоскости / Вывод формулыСкачать

Расстояние от точки до плоскости / Вывод формулы

Ответ

Проверено экспертом

Уравнение окружности с центром (a;b) и радиусом R

центр окружности (-2;6) радиус 6

центр окружности (4;-5)радиус 5

по формуле расстояние между двумя точками :

находим расстояние между центрами заданных окружностей

Видео:расстояние между центрамиСкачать

расстояние между центрами

Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатамЧисловая ось
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатамПрямоугольная декартова система координат на плоскости
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатамФормула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
Как найти расстояние между центрами окружностей по координатамУравнение окружности на координатной плоскости

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Видео:8 класс. Координаты середины отрезка. Расстояние между точками. Уравнение окружности. КонтрольнаяСкачать

8 класс. Координаты середины отрезка. Расстояние между точками. Уравнение окружности. Контрольная

Числовая ось

Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .

Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .

Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

9 класс, 6 урок, Уравнение окружности

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.

Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координатыабсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA1 и AA2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A2 на числовой оси Oy .

Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .

Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).

Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .

Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.

Видео:начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать

начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости

вычисляется по формуле

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

| A1A2| 2 =
= ( x2x1) 2 + ( y2y1) 2 .
(1)

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

что и требовалось доказать.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Уравнение окружности на координатной плоскости

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:

Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A0 (x0 ; y0) .

Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид

Пересечение двух окружностей

Этот онлайн калькулятор находит точки пересечения двух окружностей, если они существуют

Чтобы использовать калькулятор, введите координаты x и y центра и радиус каждой окружности.

Формулы для расчета приведены под калькулятором.

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Точки пересечения двух окружностей

Первая окружность

Вторая окружность

Пересечение окружностей

Сама по себе задача нахождения точек пересечения двух окружностей достаточно проста, однако предварительно надо проанализировать если ли вообще точки пересения у данных двух окружностей. Поэтому начать надо с вычисления расстояния d в декартовых координатах между центрами окружностей и сравнения его с радиусами окружностей r1 и r2.

При этом возможно следующие случаи (расстояние между центрами показано красным отрезком):

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

Как найти расстояние между центрами окружностей по координатам

СлучайОписаниеУсловие
Тривиальный случай — окружности совпадают (это одна и та же окружность)
Окружности не касаются друг другаr1 + r2″ />
Одна окружность содержится внутри другой и не касается ее
Окружности пересекаются в двух точкахНе выполнено ни одно из условий выше
Окружности соприкасаются в одной точкеЧастный случай предыдущего

Если окружности действительно пересекаются, калькулятор использует следующие формулы (в-основном выведенные из теоремы Пифагора), проиллюстрированные рисунком ниже:

Сначала калькулятор находит отрезок a

Чтобы найти точку P3, калькулятор использует следующую формулу (в векторном виде):

И наконец, чтобы найти точки пересечения, калькулятор использует следующие уравнения:
Первая точка:

Обратите внимание на разные знаки перед вторым слагаемым

По теме также можно посмотреть следующие ссылки (на английском языке): Circle-Circle Intersection и Circles and spheres

Поделиться или сохранить к себе: