Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Сегмент круга

Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.

Как найти расстояние между хордами окружности найдитеСегмент круга

Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота

Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:

Видео:Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Расстояние от центра окружности до хорды

Рассмотрим, как найти расстояние от центра окружности до хорды.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Значит, расстояние от центра окружности до хорды равно длине перпендикуляра, проведённого из центра окружности к этой хорде.

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Например, расстояние от точки O — центра окружности — до хорды AB равно длине перпендикуляра OF:

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найти расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=24, CD=10, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 5.

Как найти расстояние между хордами окружности найдитеДано: окружность (O; R), AB и CD — хорды,

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите1) Соединим центр окружности с концами хорд.

2) Треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD (AO=BO=CO=DO как радиусы).

Значит, их высоты OF и OK являются также медианами. Следовательно,

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

3) Рассмотрим треугольник AOF, где ∠AFO=90 º.

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

4) Рассмотрим треугольник COK, где ∠CKO=90 º.

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

Расстояние между хордами окружности найдите

Видео:Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CDСкачать

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Как найти расстояние между хордами окружности найдитеОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Как найти расстояние между хордами окружности найдитеСвойства хорд и дуг окружности
Как найти расстояние между хордами окружности найдитеТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Как найти расстояние между хордами окружности найдитеДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Как найти расстояние между хордами окружности найдитеТеорема о бабочке

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность
Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеКак найти расстояние между хордами окружности найдитеДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыКак найти расстояние между хордами окружности найдитеЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныКак найти расстояние между хордами окружности найдитеБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиКак найти расстояние между хордами окружности найдитеУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыКак найти расстояние между хордами окружности найдитеДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиКак найти расстояние между хордами окружности найдите

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:ОГЭ 2022 Демоверсия. 16 заданиеСкачать

ОГЭ 2022 Демоверсия. 16 задание

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Касательные, проведённые к окружности из одной точкиКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Секущие, проведённые из одной точки вне кругаКак найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Пересекающиеся хорды
Как найти расстояние между хордами окружности найдите
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Как найти расстояние между хордами окружности найдите
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Как найти расстояние между хордами окружности найдите
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Как найти расстояние между хордами окружности найдите
Пересекающиеся хорды
Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Видео:Демо ОГЭ по математике. Задание 17. Хорда окружности.Скачать

Демо ОГЭ по математике. Задание 17. Хорда окружности.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Тогда справедливо равенство

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Задача на нахождение длины хорды окружностиСкачать

Задача на нахождение длины хорды окружности

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Задание 24 Две пересекающиеся окружностиСкачать

Задание 24 Две пересекающиеся окружности

Сегмент круга

Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.

Как найти расстояние между хордами окружности найдитеСегмент круга

Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота

Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Расстояние от центра окружности до хорды

Рассмотрим, как найти расстояние от центра окружности до хорды.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Значит, расстояние от центра окружности до хорды равно длине перпендикуляра, проведённого из центра окружности к этой хорде.

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Например, расстояние от точки O — центра окружности — до хорды AB равно длине перпендикуляра OF:

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найти расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=24, CD=10, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 5.

Как найти расстояние между хордами окружности найдитеДано: окружность (O; R), AB и CD — хорды,

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите1) Соединим центр окружности с концами хорд.

2) Треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD (AO=BO=CO=DO как радиусы).

Значит, их высоты OF и OK являются также медианами. Следовательно,

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

3) Рассмотрим треугольник AOF, где ∠AFO=90 º.

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

Как найти расстояние между хордами окружности найдите

4) Рассмотрим треугольник COK, где ∠CKO=90 º.

🎥 Видео

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.Скачать

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.

Планиметрия 12 | mathus.ru | расстояние между центрами пересекающихся окружностейСкачать

Планиметрия 12 | mathus.ru | расстояние между центрами пересекающихся окружностей

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый

Хорда АВ стягивает дугу окружности в 40 градусов. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной..Скачать

Хорда АВ стягивает дугу окружности в 40 градусов. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной..

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

ищем хорду в окружности. огэ 1 часть геометрияСкачать

ищем хорду в окружности. огэ 1 часть геометрия

Как найти длину хорды по радиусу и центральному углу. Геометрия 8-9 классСкачать

Как найти длину хорды по радиусу и центральному углу. Геометрия 8-9 класс

Найдите длину хорды окружности радиусом 13, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5.Скачать

Найдите длину хорды окружности радиусом 13, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5.

Как решить задачу 339892 решу ОГЭ по математике 2023Скачать

Как решить задачу 339892 решу ОГЭ по математике 2023

Досрочный ОГЭ (2 вариант). Задание 4.Скачать

Досрочный ОГЭ (2 вариант). Задание 4.
Поделиться или сохранить к себе: