Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Радиус описанной около треугольника окружности

Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по одной из двух общих формул.

Кроме того, для правильного и прямоугольного треугольников существуют дополнительные формулы.

Радиус описанной около произвольного треугольника окружности

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

То есть радиус описанной окружности равен отношению длины стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего этой стороне угла.

В общем виде эту формулу записывают так:

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

То есть чтобы найти радиус описанной около треугольника окружности, надо произведения длин сторон треугольника разделить на четыре площади треугольника.

Если площадь треугольника находить по формуле Герона

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

где p — полупериметр,

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

то получим формулу радиуса описанной около треугольника окружности через длины сторон:

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Обе эти формулы можно применить к треугольнику любого вида. Следует только учесть положение центра.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника, напротив тупого угла.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и уголФормула:

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

То есть в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

Обычно гипотенузу обозначают через c (AB=c) и формулу записывают так:

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Если без иррациональности в знаменателе, то

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Равносторонний треугольник

Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

где a – сторона треугольника.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Треугольник найти радиус описанной окружности решу егэ

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Равносторонний треугольник

Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

где a – сторона треугольника.

Видео:Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математика

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Треугольник найти радиус описанной окружности решу егэ

Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и уголНайдите больший угол треугольника Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и уголОтвет дайте в градусах.

пусть меньшая часть окружности равна x тогда

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит,

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Как найти радиус описанной окружности треугольника зная сторону и угол

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

📸 Видео

Изогонали угла. Радиус описанной окружности и высота, проведенные из одной вершины треугольника.Скачать

Изогонали угла. Радиус описанной окружности и высота, проведенные из одной вершины треугольника.

Найти радиус окружности, зная угол и противолежащую сторону вписанного треугольника, и наоборотСкачать

Найти радиус окружности, зная угол и противолежащую сторону вписанного треугольника, и наоборот

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Три способа нахождения радиуса описанной окружности вокруг треугольникаСкачать

Три способа нахождения радиуса описанной окружности вокруг треугольника

ЕГЭ 6 номер. Нахождение стороны правильного треугольника по радиусу вписанной окружности.Скачать

ЕГЭ 6 номер. Нахождение стороны правильного треугольника по радиусу вписанной окружности.

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

За 5 секунд находим радиус описанной окружности #геометрия #образование #обучение #репетиторСкачать

За 5 секунд находим радиус описанной окружности #геометрия #образование #обучение #репетитор

Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика
Поделиться или сохранить к себе: