Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольникаСерединный перпендикуляр к отрезку
Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольникаОкружность описанная около треугольника
Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольникаСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольникаДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Видео:№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиусСкачать

№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольникаВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаКак найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольникаОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиКак найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольникаЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиКак найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольникаЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовКак найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника
Площадь треугольникаКак найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника
Радиус описанной окружностиКак найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаКак найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиКак найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиКак найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиКак найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовКак найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаКак найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиКак найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математика

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Радиус описанной окружности

Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус описанной окружности для треугольника, квадрата, многоугольника размещены на одной странице.

Формулы для нахождения радиуса описанной окружности треугольника (верны для треугольника любого вида):

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

где a, b, c — длины сторон треугольника, α, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, S — площадь треугольника.

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

у остроугольного треугольника — внутри треугольника;

у прямоугольного — на середине гипотенузы;

у тупоугольного — вне треугольника, напротив тупого угла.

Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы:

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Окружность, описанная около многоугольника

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Если около многоугольника можно описать окружность, ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Радиус описанной около многоугольника окружности находят как радиус окружности, описанной около треугольника. Для этого берут любые три вершины многоугольника.

Например, для пятиугольника ABCDE можно взять любой из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, CDE, ACD, ACE, ADE, BDE.

Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного многоугольника

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

где a — длина стороны многоугольника, n — количество его сторон.

Частные случаи — правильный треугольник, правильный четырехугольник (то есть квадрат), правильный шестиугольник.

Радиус описанной окружности правильного треугольника

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольникаФормула радиуса описанной окружности для правильного треугольника

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Если без иррациональности в знаменателе —

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

У правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Радиус описанной окружности квадрата

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Формула радиуса описанной окружности для квадрата

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Если без иррациональности в знаменателе —

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного шестиугольника

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Равносторонний треугольник

Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

где a – сторона треугольника.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Как найти радиус описанной окружности около остроугольного треугольника

Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.

💡 Видео

Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу.Скачать

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу.

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Как найти радиус описанной окружности (Задача №324618)Скачать

Как найти радиус описанной окружности (Задача №324618)

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Геометрия Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиусСкачать

Геометрия Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиус

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Как найти радиус описанной окружности?Скачать

Как найти радиус описанной окружности?

Как найти радиус описанной окружности? / ПРОФИЛЬ /#541815Скачать

Как найти радиус описанной окружности? / ПРОФИЛЬ /#541815

РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данирСкачать

РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данир
Поделиться или сохранить к себе: