Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Свойства квадрата

  • Длины всех сторон квадрата равны.
  • Все углы квадрата прямые.
  • Диагонали квадрата равны.
  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
  • Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписаннойКак найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписаннойКак найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписаннойКак найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписаннойКак найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписаннойКак найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной
Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной.(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Ответ: Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Ответ: Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Ответ: Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадратаСкачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадрата

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной
Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной(5)

Из формулы (5) найдем R:

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной
Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной(6)

или, умножая числитель и знаменатель на Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной, получим:

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной.(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Ответ: Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной
Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной.(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписаннойНайти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписаннойв (8), получим:

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Ответ: Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной(9)

где Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной− сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной. Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписаннойв (9), получим:

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Ответ: Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Видео:17 задание ОГЭ по математикеСкачать

17 задание ОГЭ по математике

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом. Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписаннойКак найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной(11)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписаннойКак найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной(13)

Из (13) следует, что

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Видео:Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.Скачать

Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Нахождение радиуса описанной вокруг квадрата окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около квадрата. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Через сторону квадрата

Радиус R окружности, описанной около квадрата, равняется длине его стороны a, умноженной на квадратный корень из двух и деленной на два.

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Через диагональ квадрата

Радиус R описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали d.

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Видео:Найти площадь квадрата описанного около окружности радиуса 19Скачать

Найти площадь квадрата описанного около окружности радиуса 19

Примеры задач

Задание 1

Длина стороны квадрата равняется 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Применим первую формулу, рассмотренную выше:

Как найти радиус описанной окружности квадрата зная радиус вписанной

Задание 2

Вычислите длину диагонали квадрата, если радиус описанной вокруг него окружности составляет 6 см.

Как мы знаем, радиус описанной окружности равняется половине диагонали квадрата. Следовательно, общая длина диагонали равняется 12 см (6 см ⋅ 2).

Видео:Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shorts

Найти радиус описанной окружности квадрата c известным радиусом вписанной окружности онлайн с формулами расчётов

Введите в поле «радиус вписанной окружности» Ваше измерение и нажмите «Рассчитать»

Введите данные:

Достаточно ввести только одно значение, остальное калькулятор посчитает сам.

Округление:

Радиус вписанной окружности (R1) = 10

Cторона, диаметр вписанной окружности (L) = (R1*2) = (10*2) = 28.28

Диагональ, диаметр описанной окружности (M) = (2*L^) = (2*20^) = 20

Радиус описанной окружности (R2) = (frac) = (frac) = 14.14

Периметр (P) = (L*4) = (20*4) = 80

📺 Видео

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания
Поделиться или сохранить к себе: