Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Свойства квадрата

  • Длины всех сторон квадрата равны.
  • Все углы квадрата прямые.
  • Диагонали квадрата равны.
  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
  • Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Как найти радиус окружности в которую вписан квадратКак найти радиус окружности в которую вписан квадратКак найти радиус окружности в которую вписан квадратКак найти радиус окружности в которую вписан квадратКак найти радиус окружности в которую вписан квадратКак найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Видео:Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.Скачать

Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат
Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат.(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Ответ: Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Видео:Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shorts

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Видео:Найти площадь квадрата описанного около окружности радиуса 19Скачать

Найти площадь квадрата описанного около окружности радиуса 19

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Ответ: Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Видео:Как найти сторону квадрата в который вписаны 2 окружностиСкачать

Как найти сторону квадрата в который вписаны 2 окружности

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Ответ: Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Видео:✓ Как найти второй радиус? | Ботай со мной #105 | Борис ТрушинСкачать

✓ Как найти второй радиус? | Ботай со мной #105 | Борис Трушин

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат
Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат(5)

Из формулы (5) найдем R:

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат
Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат(6)

или, умножая числитель и знаменатель на Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат, получим:

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат.(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Ответ: Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат
Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат.(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Как найти радиус окружности в которую вписан квадратНайти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя Как найти радиус окружности в которую вписан квадратв (8), получим:

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Ответ: Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадратаСкачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадрата

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат(9)

где Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат− сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат. Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя Как найти радиус окружности в которую вписан квадратв (9), получим:

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Ответ: Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом. Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Как найти радиус окружности в которую вписан квадратКак найти радиус окружности в которую вписан квадрат(11)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Как найти радиус окружности в которую вписан квадратКак найти радиус окружности в которую вписан квадрат(13)

Из (13) следует, что

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Видео:Задание 26 Вписанный квадратСкачать

Задание 26 Вписанный квадрат

Нахождение радиуса вписанной в квадрат окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в квадрат. Также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Через сторону квадрата

Радиус r вписанной в квадрат окружности равняется половине длины его стороны a.

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Через диагональ квадрата

Радиус r вписанной в квадрат окружности равняется длине его диагонали d, деленной на произведение числа 2 и квадратного корня из двух.

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Видео:Найти центр и радиус окружностиСкачать

Найти центр и радиус окружности

Примеры задач

Задание 1

Найдите радиус вписанной в квадрат окружности, если известно, что длина его стороны равняется 7 см.

Воспользуемся первой формулой, подставив в него известное значение:

Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Задание 2

Известно, что радиус вписанной в квадрат окружности составляет 12 см. Найдите длину его диагонали.

Формулу для нахождения диагонали можно вывести из формулы для расчета радиуса круга:

Видео:Геометрия Украденная задача Найти радиусСкачать

Геометрия Украденная задача Найти радиус

Квадрат вписанный в окружность

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Определение

Квадрат, вписанный в окружность — это квадрат, который находится
внутри окружности и соприкасается с ней углами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
квадрата
и окружность, вписанная в квадрат.
Как найти радиус окружности в которую вписан квадрат

Видео:Задача для тех, кто думает, что геометрия это сложноСкачать

Задача для тех, кто думает, что геометрия это сложно

Формулы

Радиус вписанной окружности в квадрат

  1. Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна сторона:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен периметр:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна площадь:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна диагональ:

Радиус описанной окружности около квадрата

  1. Радиус описанной окружности около квадрата, если известна сторона:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известен периметр:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известнаплощадь:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известен радиус вписанной окружности:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известнадиагональ:

Сторона квадрата

  1. Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнаплощадь:

Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнадиагональ:

Сторона квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Площадь квадрата

  1. Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:

Периметр квадрата

  1. Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известенрадиус вписанной окружности:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:

Диагональ квадрата

  1. Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

📺 Видео

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

Площадь круга. Математика 6 класс.

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: