Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

Радиус описанной окружности трапеции

Как найти радиус описанной окружности для трапеции?

В зависимости от данных условия, сделать это можно разными способами. Готовой формулы радиуса описанной около трапеции окружности нет.

I. Радиус описанной около трапеции окружности как радиус окружности, описанной около треугольника, вершины которого — вершины трапеции

Описанная около трапеции окружность проходит через все её вершины, следовательно, является описанной для любого из треугольников, вершины которых являются вершинами трапеции.

В общем случае радиус описанной около треугольника окружности может быть найден по одной из формул

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

где a — сторона треугольника, α — противолежащий ей угол;

либо по формуле

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

где a, b, c — стороны, S — площадь треугольника.

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

Для трапеции ABCD радиус может быть найден, например, как радиус окружности, описанной около треугольника ABD:

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

где синус угла A можно найти из прямоугольного треугольника ABF:

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

III. Радиус описанной около трапеции окружности как расстояние до точки пересечения серединных перпендикуляров

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высотуРадиус описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров с сторонам трапеции. (Можно рассуждать иначе: в равнобедренном треугольнике AOD (AO=OD=R) высота ON является также медианой. Для треугольника BOC — аналогично).

Если известна высота трапеции KN=h, основания AD=a, BC=b, можно обозначить ON=x.

Если центр окружности лежит внутри трапеции, OK=h-x, из прямоугольных треугольников ANO и BKO можно выразить

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

и приравнять правые части

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

Решив это уравнения относительно x, можно найти R.

IV. Если диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне, центр описанной окружности лежит на середине большего основания и радиус равен половине большего основания.

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

точка O — середина AD

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высотуЕсли диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

I вариант нахождения радиуса для этого случая не изменяется.

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высотуВо II случае OK=h+x, соответственно, изменяется уравнение для нахождения x и R.

Позже рассмотрим конкретные задачи нахождения радиуса описанной около трапеции окружности.

Содержание
  1. Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту
  2. Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции
  3. Основные свойства трапеции
  4. Сторона трапеции
  5. Формулы определения длин сторон трапеции:
  6. Средняя линия трапеции
  7. Формулы определения длины средней линии трапеции:
  8. Высота трапеции
  9. Формулы определения длины высоты трапеции:
  10. Диагонали трапеции
  11. Формулы определения длины диагоналей трапеции:
  12. Площадь трапеции
  13. Формулы определения площади трапеции:
  14. Периметр трапеции
  15. Формула определения периметра трапеции:
  16. Окружность описанная вокруг трапеции
  17. Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
  18. Окружность вписанная в трапецию
  19. Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
  20. Другие отрезки разносторонней трапеции
  21. Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
  22. 📹 Видео

Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.

$$ 4.^$$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям — подобны.

$$ 4.^$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме

(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

$$ 4.^$$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` — диагональ, `c` — боковая сторона, `a` и `b` основания.

Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).

$$ 4.^$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Докажем, например, утверждение $$ 4.^$$ .

Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):

`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,

`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).

Проводим `CK«||«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:

`d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2ab`.

В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем

`d^2=c^2+ab`.

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.

`AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4.^$$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` — его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` — её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б).

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

По построению `ACKD` — параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@`

(т. к. угол `BDK` — это угол между диагоналями трапеции).

Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то

Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.

Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` — высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4.^$$ `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е. `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`, откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah` и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`, то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`.

Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).

Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4.^$$ около этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4.^$$

Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда

$$ 4.^$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

$$ 4.^$$. Если `S_1` и `S_2` — площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`.

$$ 4.^$$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` — какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` — смотрящий на неё вписанный угол.

Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Геометрия Задача № 26  Найти радиус вписанной в трапецию окружности

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

  • Основы трапеции — параллельные стороны
  • Боковые стороны — две другие стороны
  • Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
  • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Как найти радиус окружности описанной около трапеции зная высотуКак найти радиус окружности описанной около трапеции зная высоту
Рис.1Рис.2

Видео:Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)Скачать

Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

m =a + b
2

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =hd =h
sin αsin β

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

m =a + b
2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m =S
h

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
a + ba + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
2 m2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

h =2S
a + b

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

h =S
m

Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d 1 = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d 2 = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d 1 =d 2 + ab —a ( d 2 — c 2 )
a — b
d 2 =c 2 + ab —a ( c 2 — d 2 )
a — b

d 1 = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d 2 = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d 1 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 2 2

d 2 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 1 2

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Задача про трапецию, описанную около окружности

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

S =( a + b )· h
2

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =d 1 d 2· sin γ=d 1 d 2· sin δ
22

4. Формула площади через четыре стороны:

S =a + bc 2 —(( a — b ) 2 + c 2 — d 2)2
22( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S =a + b√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
| a — b |

где

p =a + b + c + d— полупериметр трапеции.
2

Видео:Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141Скачать

Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Видео:ВЫСОТЫ ТРАПЕЦИИ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ВЫСОТЫ ТРАПЕЦИИ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =a·c·d 1
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)

где

p =a + c + d 1
2

a — большее основание

Видео:Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математика

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

r =h
2

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =bKN = ML =aTO = OQ =a · b
22a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

📹 Видео

Трапеция вписана в окружность. Найти радиус окружностиСкачать

Трапеция вписана в окружность.  Найти радиус окружности

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 13 и 1. Найдите среднюю линию трапеции.Скачать

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 13 и 1. Найдите среднюю линию трапеции.

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Периметр прямоуг. трапеции, описанной около окружн., равен 100, ее большая боковая сторона равна 37.Скачать

Периметр прямоуг. трапеции, описанной около окружн., равен 100, ее большая боковая сторона равна 37.

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"Скачать

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 класс

Задача о площади равнобедренной трапецииСкачать

Задача о площади равнобедренной трапеции
Поделиться или сохранить к себе: