Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Окружность на координатной плоскости

Окружность на плоскости — это множество точек на плоскости равноудаленных от точки центра. На рисунке данная точка обозначена C.

Содержание
  1. Окружность радиуса R с центром в начале координат представляется уравнением:
  2. Как найти радиус и центр окружности
  3. Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности
  4. Числовая ось
  5. Прямоугольная декартова система координат на плоскости
  6. Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
  7. Уравнение окружности на координатной плоскости
  8. Как найти радиус окружности декартовы координаты
  9. Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности
  10. Числовая ось
  11. Прямоугольная декартова система координат на плоскости
  12. Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
  13. Уравнение окружности на координатной плоскости
  14. Радиус — что это такое и как найти радиус окружности
  15. Через длину стороны
  16. Найти радиус круга, зная окружность
  17. Радиус и диаметр
  18. Вычисление радиуса
  19. Если известен диаметр
  20. Если известна длина окружности круга
  21. Если известна площадь круга
  22. Способ расчета радиуса круга:
  23. Через сторону описанного квадрата
  24. Как посчитать радиус зная длину окружности
  25. Формула
  26. Свойства радиуса
  27. По площади сектора и центральному углу
  28. Площадь сегмента
  29. Формулы для площади круга и его частей
  30. Центральный угол, вписанный угол и их свойства
  31. Связанные определения
  32. Примеры задач
  33. Длина дуги
  34. Уравнение окружности

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Окружность радиуса R с центром в начале координат представляется уравнением:

Как найти радиус окружности на координатной плоскости
Окружность радиуса R с центром в точке C(a;b) представляется уравнением:

Как найти радиус окружности на координатной плоскости
Как найти радиус окружности на координатной плоскости
Расстояние от центра окружности С(a;b) до точки M(x;y) называется радиусом окружности R (на рисунке красная линия ).
Это уравнение можно записать в виде:
Как найти радиус окружности на координатной плоскости
Если уравнение помножить на любое число A, то получим

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Примечание
Окружность относится к линии второго порядка, так как представляется уравнением второй степени.

Необходимые условия для этого:
1. Отсутствие в уравнение второй степени члена с произведением xy;
2. Коэффициенты при x 2 и y 2 были равны в уравнение вида:
Как найти радиус окружности на координатной плоскости
3. Если выполняется неравенство
Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Видео:10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскостиСкачать

10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскости

Как найти радиус и центр окружности

Уравнение Ax 2 +Bx+Ay 2 +Cy+D=0 если оно удовлетворяет примечаниям (1, 2 и 3), то тогда (a;b) и радиус R окружности можно найти по формулам:

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Пример 1
Уравнение 5x 2 -10x+5y 2 +20y-20=0
Здесь
A=5, B=-10, C=20, D=-20
Оно удовлетворяет примечаниям 1, 2 и выполняется неравенство

Как найти радиус окружности на координатной плоскости
Решая, получаем что центр есть (1;-2), а радиус R=3

Анимационный график окружности

Пример 2
Уравнение второй степени x 2 +4xy+y 2 =1 не является окружностью, так как в нём есть член 4xy.

Пример 3
Уравнение второй степени 4x 2 +9y 2 =36 не представляет окружность, так как в нём коэффициенты при x 2 и y 2 не равны.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.3 / 5. Количество оценок: 4

Видео:Найти центр и радиус окружностиСкачать

Найти центр и радиус окружности

Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности

Как найти радиус окружности на координатной плоскостиЧисловая ось
Как найти радиус окружности на координатной плоскостиПрямоугольная декартова система координат на плоскости
Как найти радиус окружности на координатной плоскостиФормула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
Как найти радиус окружности на координатной плоскостиУравнение окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Видео:Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shorts

Числовая ось

Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .

Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.

Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координатыабсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA1 и AA2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A2 на числовой оси Oy .

Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .

Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).

Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .

Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости

вычисляется по формуле

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

| A1A2| 2 =
= ( x2x1) 2 + ( y2y1) 2 .
(1)

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

что и требовалось доказать.

Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

9 класс, 6 урок, Уравнение окружности

Уравнение окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:

Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A0 (x0 ; y0) .

Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид

Видео:начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать

начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.

Как найти радиус окружности декартовы координаты

Видео:КАК НАЙТИ РАДИУС КРУГА (ОКРУЖНОСТИ), ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ РАДИУС КРУГА (ОКРУЖНОСТИ), ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности

Как найти радиус окружности на координатной плоскостиЧисловая ось
Как найти радиус окружности на координатной плоскостиПрямоугольная декартова система координат на плоскости
Как найти радиус окружности на координатной плоскостиФормула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
Как найти радиус окружности на координатной плоскостиУравнение окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Числовая ось

Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .

Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.

Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координатыабсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA1 и AA2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A2 на числовой оси Oy .

Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .

Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).

Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .

Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости

вычисляется по формуле

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

| A1A2| 2 =
= ( x2x1) 2 + ( y2y1) 2 .
(1)

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

что и требовалось доказать.

Видео:Алгебра 10 класс. 20 сентября. Числовая окружность #6 координаты точекСкачать

Алгебра 10 класс. 20 сентября. Числовая окружность #6 координаты точек

Уравнение окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:

Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A0 (x0 ; y0) .

Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид

Видео:Числовая окружность на координатной плоскости | Алгебра 10 класс #10 | ИнфоурокСкачать

Числовая окружность на координатной плоскости | Алгебра 10 класс #10 | Инфоурок

Радиус — что это такое и как найти радиус окружности

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Через длину стороны

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Формула для нахождения длины окружности через радиус:

, где r — радиус окружности.

Видео:3 Единичная окружность на координатной плоскости 10 классСкачать

3  Единичная окружность на координатной плоскости  10 класс

Найти радиус круга, зная окружность

Как найти радиус окружности на координатной плоскостиКак найти радиус окружности на координатной плоскости
Окружность круга PРезультат

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Видео:Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

Окружность. Как найти Радиус и Диаметр

Радиус и диаметр

Радиус в математике всегда обозначается латинской буквой «R» или «r». Принципиальной разницы, большую букву писать или маленькую, нет.

А два соединенных вместе радиуса, которые к тому же находятся на одной прямой, называются диаметром. Или по-другому:

Диаметр – это отрезок, который проходит через центр окружности и соединяет две противоположные точки на ее поверхности. По аналогии с радиусом под диаметром подразумевают и длину этого отрезка.

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Обозначается диаметр также первой буквой своего слова – D или d.

Исходя из определения диаметра, можно сделать простой вывод, который одновременно является одной из базовых основ геометрии.

Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Видео:УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИСкачать

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ

Вычисление радиуса

Радиус можно посчитать разными способами.

Если известен диаметр

Этот способ самый простой. Диаметр равен двум радиусам. Поэтому радиус будет высчитываться по формуле r=d/2.

Если известна длина окружности круга

Также несложно будет узнать радиус, если известна длина окружности круга. Формула для расчета длины окружности C=2πr, в которой C является длиной окружности, π=3,14, а r — это как раз искомый радиус.

Преобразовав данную формулу, получим: r=C/2π. Вообще, число «Пи» в формуле — это постоянное значение, округленное до 3,14. На самом деле «Пи» выглядит так:

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Означает данное значение отношение длины окружности к диаметру той же окружности.

Если известна площадь круга

Формула площади круга выглядит так: A= π(r²). Эту формулу можно преобразовать в формулу радиуса:

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

В ней A — это площадь круга, число «Пи» мы уже знаем, оно равно округленно 3,14, а r — это и есть искомое значение радиуса.

Как найти радиус круга, все школьники учат на геометрии. Взрослые, конечно, со временем забывают эти формулы. Но, прочитав данную статью, радиус круга может найти каждый: и взрослый, и ребенок.

Видео:Уравнение окружности, строим на координатной плоскостиСкачать

Уравнение окружности, строим на координатной плоскости

Способ расчета радиуса круга:

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Круг (окружность) – геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центр круга).
Формула радиуса круга: Как найти радиус окружности на координатной плоскости
где P – длина окружности, pi – число π, равное примерно 3.14

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Круг (окружность) – геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центр круга).
Формула радиуса круга: Как найти радиус окружности на координатной плоскости
где S – площадь круга, pi – число π, равное примерно 3.14

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Через сторону описанного квадрата

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности. А диаметр — повторимся — равен двум радиусам. Поэтому разделите сторону квадрата на два.

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

  • r — искомый радиус окружности.
  • a — сторона описанного квадрата.

Как посчитать радиус зная длину окружности

Чему равен радиус (r) если длина окружности C?

Формула

r = C / , где π ≈ 3.14

Свойства радиуса

В отношении радиуса действуют несколько важных правил:

  1. Радиус составляет половину диаметра. Это мы продемонстрировали только что.
  2. У окружности может быть сколько угодно радиусов. Но все они будут равны по длине между собой.

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Радиус, который перпендикулярен хорде, делит ее на две равные части.

Напомним, хордой называется любой отрезок, который проходит через две точки на поверхности окружности, но не через центр. Этим она принципиально отличается от диаметра.

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

По площади сектора и центральному углу

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

  • Например, если площадь сектора равна 50 см 2 , а центральный угол равен 120 градусов, формула запишется следующим образом: .

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла .

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах , получаем

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

В случае, когда величина α выражена в в радианах , получаем

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Формулы для площади круга и его частей

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаКак найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораКак найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости,

если величина угла α выражена в радианах

Как найти радиус окружности на координатной плоскости,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаКак найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости,

если величина угла α выражена в радианах

Как найти радиус окружности на координатной плоскости,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь круга
Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораКак найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости,

если величина угла α выражена в радианах

Как найти радиус окружности на координатной плоскости,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаКак найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости,

если величина угла α выражена в радианах

Как найти радиус окружности на координатной плоскости,

если величина угла α выражена в градусах

Центральный угол, вписанный угол и их свойства

Связанные определения

  • Центральный угол в окружности — это угол , образованный двумя радиусами.
  • Радиус кривизны кривой — это радиус окружности, имеющей с этой кривой касание второго порядка.

Примеры задач

Задание 1
Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.

Решение:
Используем первую формулу (через периметр):
Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Задание 2
Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см 2 .

Решение:
Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:
Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла .

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

В случае, когда величина α выражена в градусах , справедлива пропорция

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

из которой вытекает равенство:

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

В случае, когда величина α выражена в радианах , справедлива пропорция

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

из которой вытекает равенство:

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Уравнение окружности

r 2 = ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2

3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами ( a, b ) в декартовой системе координат:

0 это уравнение задаёт окружность с радиусом

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

При a²+b²-c=0 уравнению удовлетворяют координаты единственной точки (a;b).

При a²+b²-c Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Выделяем в уравнении полные квадраты. В первых скобках удвоенное слагаемое 10x представляем как 10x=2·a·5 (чтобы получить 2ab для формулы a²+2ab+b²=(a+b)²). Получается, что b=5. Если прибавить и вычесть b², результат не изменится:

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Центром этой окружности является точка (-5;3), радиус R=7.

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Как найти радиус окружности на координатной плоскости

Центр окружности — точка (2,5;0), радиус R=1,5.

Поделиться или сохранить к себе: