Как найти пары параллельных прямых без построения

Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых

В этой статье мы расскажем о параллельных прямых, дадим определения, обозначим признаки и условия параллельности. Для наглядности теоретического материала будем использовать иллюстрации и решение типовых примеров.

Содержание
  1. Параллельные прямые: основные сведения
  2. Параллельность прямых: признаки и условия параллельности
  3. Параллельность прямых в прямоугольной системе координат
  4. Параллельные прямые
  5. Пересечение параллельных прямых
  6. Построение параллельных прямых
  7. Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения
  8. Определения параллельных прямых
  9. Признаки параллельности двух прямых
  10. Аксиома параллельных прямых
  11. Обратные теоремы
  12. Пример №1
  13. Параллельность прямых на плоскости
  14. Две прямые, перпендикулярные третьей
  15. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  16. Признаки параллельности прямых
  17. Пример №2
  18. Пример №3
  19. Пример №4
  20. Аксиома параллельных прямых
  21. Пример №5
  22. Пример №6
  23. Свойства параллельных прямых
  24. Пример №7
  25. Пример №8
  26. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  27. Расстояние между параллельными прямыми
  28. Пример №9
  29. Пример №10
  30. Справочный материал по параллельным прямым
  31. Перпендикулярные и параллельные прямые
  32. 📺 Видео

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Параллельные прямые: основные сведения

Параллельные прямые на плоскости – две прямые на плоскости, не имеющие общих точек.

Как найти пары параллельных прямых без построения

Параллельные прямые в трехмерном пространстве – две прямые в трехмерном пространстве, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Как найти пары параллельных прямых без построения

Необходимо обратить внимание, что для определения параллельных прямых в пространстве крайне важно уточнение «лежащие в одной плоскости»: две прямые в трехмерном пространстве, не имеющие общих точек и не лежащие в одной плоскости, являются не параллельными, а скрещивающимися.

Чтобы обозначить параллельность прямых, общепринято использовать символ ∥ . Т.е., если заданные прямые a и b параллельны, кратко записать это условие нужно так: a ‖ b . Словесно параллельность прямых обозначается следующим образом: прямые a и b параллельны, или прямая а параллельна прямой b , или прямая b параллельна прямой а .

Сформулируем утверждение, играющее важную роль в изучаемой теме.

Через точку, не принадлежащую заданной прямой проходит единственная прямая, параллельная заданной. Это утверждение невозможно доказать на базе известных аксиом планиметрии.

В случае, когда речь идет о пространстве, верна теорема:

Через любую точку пространства, не принадлежащую заданной прямой, будет проходить единственная прямая, параллельная заданной.

Эту теорему просто доказать на базе вышеуказанной аксиомы (программа геометрии 10 — 11 классов).

Видео:6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямые

Параллельность прямых: признаки и условия параллельности

Признак параллельности есть достаточное условие, при выполнении которого гарантирована параллельность прямых. Иначе говоря, выполнения этого условия достаточно, чтобы подтвердить факт параллельности.

В том числе, имеют место необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в пространстве. Поясним: необходимое – значит то условие, выполнение которого необходимо для параллельности прямых; если оно не выполнено – прямые не являются параллельными.

Резюмируя, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – такое условие, соблюдение которого необходимо и достаточно, чтобы прямые были параллельны между собой. С одной стороны, это признак параллельности, с другой – свойство, присущее параллельным прямым.

Перед тем, как дать точную формулировку необходимого и достаточного условия, напомним еще несколько дополнительных понятий.

Секущая прямая – прямая, пересекающая каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

Пересекая две прямые, секущая образует восемь неразвернутых углов. Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие, будем использовать такие типы углов, как накрест лежащие, соответственные и односторонние. Продемонстрируем их на иллюстрации:

Как найти пары параллельных прямых без построения

Если две прямые на плоскости пересекаются секущей, то для параллельности заданных прямых необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равными, либо были равными соответственные углы, либо сумма односторонних углов была равна 180 градусам.

Проиллюстрируем графически необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости:

Как найти пары параллельных прямых без построения

Доказательство указанных условий присутствует в программе геометрии за 7 — 9 классы.

В общем, эти условия применимы и для трехмерного пространства при том, что две прямые и секущая принадлежат одной плоскости.

Укажем еще несколько теорем, часто используемых при доказательстве факта параллельности прямых.

На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Этот признак доказывается на основе аксиомы параллельности, указанной выше.

В трехмерном пространстве две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Доказательство признака изучается в программе геометрии 10 класса.

Дадим иллюстрацию указанных теорем:

Как найти пары параллельных прямых без построения

Укажем еще одну пару теорем, являющихся доказательством параллельности прямых.

На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Сформулируем аналогичное для трехмерного пространства.

В трехмерном пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Как найти пары параллельных прямых без построения

Все указанные выше теоремы, признаки и условия позволяют удобно доказать параллельность прямых методами геометрии. Т.е., чтобы привести доказательство параллельности прямых, можно показать, что равны соответственные углы, или продемонстрировать факт, что две заданные прямые перпендикулярны третьей и т.д. Но отметим, что зачастую для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве удобнее использовать метод координат.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Параллельность прямых в прямоугольной системе координат

В заданной прямоугольной системе координат прямая определяется уравнением прямой на плоскости одного из возможных видов. Так и прямой линии, заданной в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве.

Запишем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от типа уравнения, описывающего заданные прямые.

Начнем с условия параллельности прямых на плоскости. Оно базируется на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора прямой на плоскости.

Чтобы на плоскости две несовпадающие прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы заданных прямых были коллинеарными, или были коллинеарными нормальные векторы заданных прямых, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору другой прямой.

Становится очевидно, что условие параллельности прямых на плоскости базируется на условии коллинеарности векторов или условию перпендикулярности двух векторов. Т.е., если a → = ( a x , a y ) и b → = ( b x , b y ) являются направляющими векторами прямых a и b ;

и n b → = ( n b x , n b y ) являются нормальными векторами прямых a и b , то указанное выше необходимое и достаточное условие запишем так: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y или n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y или a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , где t – некоторое действительное число. Координаты направляющих или прямых векторов определяются по заданным уравнениям прямых. Рассмотрим основные примеры.

  1. Прямая a в прямоугольной системе координат определяется общим уравнением прямой: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; прямая b — A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты ( А 1 , В 1 ) и ( А 2 , В 2 ) соответственно. Условие параллельности запишем так:

A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2

  1. Прямая a описывается уравнением прямой с угловым коэффициентом вида y = k 1 x + b 1 . Прямая b — y = k 2 x + b 2 . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты ( k 1 , — 1 ) и ( k 2 , — 1 ) соответственно, а условие параллельности запишем так:

k 1 = t · k 2 — 1 = t · ( — 1 ) ⇔ k 1 = t · k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Таким образом, если параллельные прямые на плоскости в прямоугольной системе координат задаются уравнениями с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты заданных прямых будут равны. И верно обратное утверждение: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат определяются уравнениями прямой с одинаковыми угловыми коэффициентами, то эти заданные прямые параллельны.

  1. Прямые a и b в прямоугольной системе координат заданы каноническими уравнениями прямой на плоскости: x — x 1 a x = y — y 1 a y и x — x 2 b x = y — y 2 b y или параметрическими уравнениями прямой на плоскости: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y и x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Тогда направляющие векторы заданных прямых будут: a x , a y и b x , b y соответственно, а условие параллельности запишем так:

a x = t · b x a y = t · b y

Заданы две прямые: 2 x — 3 y + 1 = 0 и x 1 2 + y 5 = 1 . Необходимо определить, параллельны ли они.

Решение

Запишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y — 1 = 0

Мы видим, что n a → = ( 2 , — 3 ) — нормальный вектор прямой 2 x — 3 y + 1 = 0 , а n b → = 2 , 1 5 — нормальный вектор прямой x 1 2 + y 5 = 1 .

Полученные векторы не являются коллинеарными, т.к. не существует такого значения t , при котором будет верно равенство:

2 = t · 2 — 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 — 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 — 3 = 1 5

Таким образом, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, а значит заданные прямые не параллельны.

Ответ: заданные прямые не параллельны.

Заданы прямые y = 2 x + 1 и x 1 = y — 4 2 . Параллельны ли они?

Решение

Преобразуем каноническое уравнение прямой x 1 = y — 4 2 к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

x 1 = y — 4 2 ⇔ 1 · ( y — 4 ) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Мы видим, что уравнения прямых y = 2 x + 1 и y = 2 x + 4 не являются одинаковыми (если бы было иначе, прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, а значит заданные прямые являются параллельными.

Попробуем решить задачу иначе. Сначала проверим, совпадают ли заданные прямые. Используем любую точку прямой y = 2 x + 1 , например, ( 0 , 1 ) , координаты этой точки не отвечают уравнению прямой x 1 = y — 4 2 , а значит прямые не совпадают.

Следующим шагом определим выполнение условия параллельности заданных прямых.

Нормальный вектор прямой y = 2 x + 1 это вектор n a → = ( 2 , — 1 ) , а направляющий вектором второй заданной прямой является b → = ( 1 , 2 ) . Скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n a → , b → = 2 · 1 + ( — 1 ) · 2 = 0

Таким образом, векторы перпендикулярны: это демонстрирует нам выполнение необходимого и достаточного условия параллельности исходных прямых. Т.е. заданные прямые параллельны.

Ответ: данные прямые параллельны.

Для доказательства параллельности прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства используется следующее необходимое и достаточное условие.

Чтобы две несовпадающие прямые в трехмерном пространстве были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляюще векторы этих прямых были коллинеарными.

Т.е. при заданных уравнениях прямых в трехмерном пространстве ответ на вопрос: параллельны они или нет, находится при помощи определения координат направляющих векторов заданных прямых, а также проверки условия их коллинеарности. Иначе говоря, если a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) являются направляющими векторами прямых a и b соответственно, то для того, чтобы они были параллельны, необходимо существование такого действительного числа t , чтобы выполнялось равенство:

a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y a z = t · b z

Заданы прямые x 1 = y — 2 0 = z + 1 — 3 и x = 2 + 2 λ y = 1 z = — 3 — 6 λ . Необходимо доказать параллельность этих прямых.

Решение

Условиями задачи заданы канонические уравнения одной прямой в пространстве и параметрические уравнения другой прямой в пространстве. Направляющие векторы a → и b → заданных прямых имеют координаты: ( 1 , 0 , — 3 ) и ( 2 , 0 , — 6 ) .

1 = t · 2 0 = t · 0 — 3 = t · — 6 ⇔ t = 1 2 , то a → = 1 2 · b → .

Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямых в пространстве выполнено.

Ответ: параллельность заданных прямых доказана.

Видео:Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

Параллельные прямые

Две прямые называются параллельными, если они лежат на одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжали:

Как найти пары параллельных прямых без построения

Для обозначения параллельности двух прямых используется знак || , обозначающий параллельность. Запись AB || CD (или a || b) читается так: прямая AB параллельна прямой CD (или прямая a параллельна прямой b ).

Видео:ПЛОЩАДЬ КОЛЬЦА. Сделай выбор: на чьей ты стороне?Скачать

ПЛОЩАДЬ КОЛЬЦА. Сделай выбор: на чьей ты стороне?

Пересечение параллельных прямых

Если несколько параллельных прямых пересечь прямой линией, то эта прямая пересечёт каждую из параллельных прямых под одним и тем же углом:

Как найти пары параллельных прямых без построения

Если прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Как найти пары параллельных прямых без построения

Обе прямые m и n перпендикулярны прямой a, значит прямые m и n параллельны.

Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Построение параллельных прямых

На свойстве пересечения прямой линией параллельных прямых основан способ их построения с помощью угольника и линейки.

Если прямая линия уже построена, то для постройки второй линии, параллельной первой, надо расположить сторону угольника вдоль построенной линии и зафиксировать это положение линейкой:

Как найти пары параллельных прямых без построения

Передвинув угольник вдоль линейки, можно провести ещё одну прямую, которая будет параллельна первой.

Видео:Параллельные прямые циркулемСкачать

Параллельные прямые циркулем

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Как найти пары параллельных прямых без построения). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Как найти пары параллельных прямых без построения

Как найти пары параллельных прямых без построения

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Как найти пары параллельных прямых без построенияимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Как найти пары параллельных прямых без построения, но не принадлежит прямой Как найти пары параллельных прямых без построения. Говорят, что прямые Как найти пары параллельных прямых без построенияпересекаются в точке М.
Как найти пары параллельных прямых без построения

Это можно записать так: Как найти пары параллельных прямых без построения— знак принадлежности точки прямой, «Как найти пары параллельных прямых без построения» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Как найти пары параллельных прямых без построенияпараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Как найти пары параллельных прямых без построения

Как найти пары параллельных прямых без построения

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Как найти пары параллельных прямых без построенияперпендикулярны (рис. 12), то пишут Как найти пары параллельных прямых без построения

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Как найти пары параллельных прямых без построения

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аКак найти пары параллельных прямых без построенияb.
  2. Если Как найти пары параллельных прямых без построения1 = Как найти пары параллельных прямых без построения2 = 90°, то а Как найти пары параллельных прямых без построенияАВ и b Как найти пары параллельных прямых без построенияАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аКак найти пары параллельных прямых без построенияb.
  3. Если Как найти пары параллельных прямых без построения1 = Как найти пары параллельных прямых без построения2Как найти пары параллельных прямых без построения90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Как найти пары параллельных прямых без построенияa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Как найти пары параллельных прямых без построенияОFА = Как найти пары параллельных прямых без построенияОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Как найти пары параллельных прямых без построения1 = Как найти пары параллельных прямых без построения2). Из равенства этих треугольников следует, что Как найти пары параллельных прямых без построенияЗ = Как найти пары параллельных прямых без построения4 и Как найти пары параллельных прямых без построения5 = Как найти пары параллельных прямых без построения6.
  6. Так как Как найти пары параллельных прямых без построения3 = Как найти пары параллельных прямых без построения4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Как найти пары параллельных прямых без построения5 = Как найти пары параллельных прямых без построения6 следует, что Как найти пары параллельных прямых без построения6 = 90°. Получаем, что а Как найти пары параллельных прямых без построенияFF1 и b Как найти пары параллельных прямых без построенияFF1, а аКак найти пары параллельных прямых без построенияb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Как найти пары параллельных прямых без построения1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Как найти пары параллельных прямых без построения1 = Как найти пары параллельных прямых без построения2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Как найти пары параллельных прямых без построения
2) Заметим, что Как найти пары параллельных прямых без построения2 = Как найти пары параллельных прямых без построения3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Как найти пары параллельных прямых без построения1 = Как найти пары параллельных прямых без построения2 и Как найти пары параллельных прямых без построения2 = Как найти пары параллельных прямых без построения3 следует, что Как найти пары параллельных прямых без построения1 = Как найти пары параллельных прямых без построения3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аКак найти пары параллельных прямых без построенияb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Как найти пары параллельных прямых без построенияAOF = Как найти пары параллельных прямых без построенияABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Как найти пары параллельных прямых без построения1 + Как найти пары параллельных прямых без построения2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Как найти пары параллельных прямых без построения3 + Как найти пары параллельных прямых без построения2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Как найти пары параллельных прямых без построенияl + Как найти пары параллельных прямых без построения2 = 180° и Как найти пары параллельных прямых без построения3 + Как найти пары параллельных прямых без построения2 = 180° следует, что Как найти пары параллельных прямых без построения1 = Как найти пары параллельных прямых без построения3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Как найти пары параллельных прямых без построенияa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Как найти пары параллельных прямых без построения

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аКак найти пары параллельных прямых без построенияb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Как найти пары параллельных прямых без построения

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Как найти пары параллельных прямых без построения1 = Как найти пары параллельных прямых без построенияF и Как найти пары параллельных прямых без построения2 = Как найти пары параллельных прямых без построенияF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аКак найти пары параллельных прямых без построенияb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Как найти пары параллельных прямых без построения

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Как найти пары параллельных прямых без построения

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Как найти пары параллельных прямых без построения2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Как найти пары параллельных прямых без построения2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Как найти пары параллельных прямых без построенияb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Как найти пары параллельных прямых без построения1 = Как найти пары параллельных прямых без построения2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Как найти пары параллельных прямых без построения3 = Как найти пары параллельных прямых без построенияB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Как найти пары параллельных прямых без построения1 = Как найти пары параллельных прямых без построения3. Кроме того, Как найти пары параллельных прямых без построения2 = Как найти пары параллельных прямых без построения3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Как найти пары параллельных прямых без построения1 = Как найти пары параллельных прямых без построения3 и Как найти пары параллельных прямых без построения2 = Как найти пары параллельных прямых без построения3 следует, что Как найти пары параллельных прямых без построения1 = Как найти пары параллельных прямых без построения2.

Как найти пары параллельных прямых без построения

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Как найти пары параллельных прямых без построения4 = Как найти пары параллельных прямых без построенияBAF. Действительно, Как найти пары параллельных прямых без построения4 и Как найти пары параллельных прямых без построенияFAC равны как соответственные углы, a Как найти пары параллельных прямых без построенияFAC = Как найти пары параллельных прямых без построенияBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Как найти пары параллельных прямых без построения1 + Как найти пары параллельных прямых без построения2 = 180° (рис. 97, а).

Как найти пары параллельных прямых без построения

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Как найти пары параллельных прямых без построения1 = Как найти пары параллельных прямых без построения3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Как найти пары параллельных прямых без построения2 + Как найти пары параллельных прямых без построения3= 180°.

4) Из равенств Как найти пары параллельных прямых без построения= Как найти пары параллельных прямых без построения3 и Как найти пары параллельных прямых без построения2 + Как найти пары параллельных прямых без построения3 = 180° следует, что Как найти пары параллельных прямых без построения1 + Как найти пары параллельных прямых без построения2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Как найти пары параллельных прямых без построенияBAF + Как найти пары параллельных прямых без построенияTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сКак найти пары параллельных прямых без построенияа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Как найти пары параллельных прямых без построения

Так как Как найти пары параллельных прямых без построения1 = 90°, то и Как найти пары параллельных прямых без построения2 = Как найти пары параллельных прямых без построения1 = 90°, а, значит, сКак найти пары параллельных прямых без построенияb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Пары углов в геометрииСкачать

Пары углов в геометрии

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построенияпараллельны, то есть Как найти пары параллельных прямых без построенияКак найти пары параллельных прямых без построения Как найти пары параллельных прямых без построения(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Как найти пары параллельных прямых без построения, лучи АВ и КМ.

Как найти пары параллельных прямых без построения

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Как найти пары параллельных прямых без построенияКак найти пары параллельных прямых без построенияКак найти пары параллельных прямых без построения, Как найти пары параллельных прямых без построенияКак найти пары параллельных прямых без построенияКак найти пары параллельных прямых без построения, то Как найти пары параллельных прямых без построенияКак найти пары параллельных прямых без построения Как найти пары параллельных прямых без построения(рис. 161).

Как найти пары параллельных прямых без построения

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Как найти пары параллельных прямых без построения(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Как найти пары параллельных прямых без построения, перпендикулярную прямой Как найти пары параллельных прямых без построения. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Как найти пары параллельных прямых без построенияи строят другую перпендикулярную прямую Как найти пары параллельных прямых без построения, затем — третью прямую Как найти пары параллельных прямых без построенияи т. д. Поскольку прямые Как найти пары параллельных прямых без построения, Как найти пары параллельных прямых без построения, Как найти пары параллельных прямых без построенияперпендикулярны одной прямой Как найти пары параллельных прямых без построения, то из указанной теоремы следует, что Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построения, Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построения, Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построения.

Как найти пары параллельных прямых без построения

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Как найти пары параллельных прямых без построения

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Как найти пары параллельных прямых без построения, параллельной прямой Как найти пары параллельных прямых без построенияи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Как найти пары параллельных прямых без построенияКак найти пары параллельных прямых без построения Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построенияКак найти пары параллельных прямых без построенияКак найти пары параллельных прямых без построения, то Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построения. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построениятретьей прямой Как найти пары параллельных прямых без построения, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Как найти пары параллельных прямых без построения

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Как найти пары параллельных прямых без построения3 иКак найти пары параллельных прямых без построения5,Как найти пары параллельных прямых без построения4 иКак найти пары параллельных прямых без построения6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Как найти пары параллельных прямых без построения2 иКак найти пары параллельных прямых без построения8,Как найти пары параллельных прямых без построения1 иКак найти пары параллельных прямых без построения7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Как найти пары параллельных прямых без построения2 иКак найти пары параллельных прямых без построения6,Как найти пары параллельных прямых без построения3 иКак найти пары параллельных прямых без построения7,Как найти пары параллельных прямых без построения1 иКак найти пары параллельных прямых без построения5,Как найти пары параллельных прямых без построения4 иКак найти пары параллельных прямых без построения8 — соответственные углы;
  • Как найти пары параллельных прямых без построения3 иКак найти пары параллельных прямых без построения6,Как найти пары параллельных прямых без построения4 иКак найти пары параллельных прямых без построения5 — внутренние односторонние углы;
  • Как найти пары параллельных прямых без построения2 иКак найти пары параллельных прямых без построения7,Как найти пары параллельных прямых без построения1 иКак найти пары параллельных прямых без построения8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Как найти пары параллельных прямых без построения

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построения— данные прямые, АВ — секущая, Как найти пары параллельных прямых без построения1 =Как найти пары параллельных прямых без построения2 (рис. 166).

Как найти пары параллельных прямых без построения

Доказать: Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построения.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Как найти пары параллельных прямых без построенияи продлим его до пересечения с прямой Как найти пары параллельных прямых без построенияв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Как найти пары параллельных прямых без построения1 = Как найти пары параллельных прямых без построения2 по условию, Как найти пары параллельных прямых без построенияBMK =Как найти пары параллельных прямых без построенияAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Как найти пары параллельных прямых без построенияANM =Как найти пары параллельных прямых без построенияBKM = 90°. Тогда прямые Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построенияперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построения.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Как найти пары параллельных прямых без построения1 =Как найти пары параллельных прямых без построения2 (рис. 167).

Как найти пары параллельных прямых без построения

Доказать: Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построения.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построенияи секущей Как найти пары параллельных прямых без построения. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построения. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Как найти пары параллельных прямых без построенияl +Как найти пары параллельных прямых без построения2 = 180° (рис. 168).

Как найти пары параллельных прямых без построения

Доказать: Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построения.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построенияи секущей Как найти пары параллельных прямых без построения. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построения. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Как найти пары параллельных прямых без построения

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Как найти пары параллельных прямых без построенияAOB = Как найти пары параллельных прямых без построенияDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Как найти пары параллельных прямых без построенияBAO=Как найти пары параллельных прямых без построенияCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Как найти пары параллельных прямых без построенияBAK = 26°, Как найти пары параллельных прямых без построенияADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Как найти пары параллельных прямых без построения

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Как найти пары параллельных прямых без построенияBAC = 2 •Как найти пары параллельных прямых без построенияBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Как найти пары параллельных прямых без построенияADK +Как найти пары параллельных прямых без построенияBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Как найти пары параллельных прямых без построения

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Как найти пары параллельных прямых без построения1=Как найти пары параллельных прямых без построения2. Так как Как найти пары параллельных прямых без построенияBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Как найти пары параллельных прямых без построения1 =Как найти пары параллельных прямых без построения3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Как найти пары параллельных прямых без построения2 =Как найти пары параллельных прямых без построения3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построенияи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Как найти пары параллельных прямых без построения||Как найти пары параллельных прямых без построения.

Реальная геометрия

Как найти пары параллельных прямых без построения

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Как найти пары параллельных прямых без построения

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Как найти пары параллельных прямых без построенияпроходит через точку М и параллельна прямой Как найти пары параллельных прямых без построения(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Как найти пары параллельных прямых без построенияв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Как найти пары параллельных прямых без построения

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Как найти пары параллельных прямых без построения||Как найти пары параллельных прямых без построения, Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построения(рис. 187).

Как найти пары параллельных прямых без построения

Доказать: Как найти пары параллельных прямых без построения||Как найти пары параллельных прямых без построения.

Доказательство:

Предположим, что прямые Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построенияне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построения, параллельные третьей прямой Как найти пары параллельных прямых без построения. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Как найти пары параллельных прямых без построения||Как найти пары параллельных прямых без построения. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Как найти пары параллельных прямых без построения1 =Как найти пары параллельных прямых без построения2,Как найти пары параллельных прямых без построения3 =Как найти пары параллельных прямых без построения4. Доказать, что Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построения.

Как найти пары параллельных прямых без построения

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построенияпо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построения. Так как Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построения, то Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построенияпо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построения— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Как найти пары параллельных прямых без построения

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Как найти пары параллельных прямых без построения, которая параллельна прямой Как найти пары параллельных прямых без построенияпо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построенияне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построения, которые параллельны прямой Как найти пары параллельных прямых без построения. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построенияпересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построения, АВ — секущая,Как найти пары параллельных прямых без построения1 иКак найти пары параллельных прямых без построения2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Как найти пары параллельных прямых без построения

Доказать: Как найти пары параллельных прямых без построения1 =Как найти пары параллельных прямых без построения2.

Доказательство:

Предположим, чтоКак найти пары параллельных прямых без построения1 Как найти пары параллельных прямых без построенияКак найти пары параллельных прямых без построения2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построенияпо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построения, параллельные прямой Как найти пары параллельных прямых без построения. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иКак найти пары параллельных прямых без построения1 =Как найти пары параллельных прямых без построения2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построения, Как найти пары параллельных прямых без построения— секущая,Как найти пары параллельных прямых без построения1 иКак найти пары параллельных прямых без построения2 — соответственные (рис. 196).

Как найти пары параллельных прямых без построения

Доказать:Как найти пары параллельных прямых без построения1 =Как найти пары параллельных прямых без построения2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построения. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Как найти пары параллельных прямых без построения1 =Как найти пары параллельных прямых без построения2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построения, Как найти пары параллельных прямых без построения— секущая,Как найти пары параллельных прямых без построения1 иКак найти пары параллельных прямых без построения2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Как найти пары параллельных прямых без построения

Доказать:Как найти пары параллельных прямых без построенияl +Как найти пары параллельных прямых без построения2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Как найти пары параллельных прямых без построения2 +Как найти пары параллельных прямых без построения3 = 180°. По свойству параллельных прямыхКак найти пары параллельных прямых без построенияl =Как найти пары параллельных прямых без построения3 как накрест лежащие. Следовательно,Как найти пары параллельных прямых без построенияl +Как найти пары параллельных прямых без построения2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построенияКак найти пары параллельных прямых без построенияКак найти пары параллельных прямых без построения, т. е.Как найти пары параллельных прямых без построения1 = 90°. Согласно следствию Как найти пары параллельных прямых без построенияКак найти пары параллельных прямых без построенияКак найти пары параллельных прямых без построения, т. е.Как найти пары параллельных прямых без построения2 = 90°.

Как найти пары параллельных прямых без построения

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Как найти пары параллельных прямых без построения

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Как найти пары параллельных прямых без построенияАОВ =Как найти пары параллельных прямых без построенияDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Как найти пары параллельных прямых без построения

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Как найти пары параллельных прямых без построенияABD =Как найти пары параллельных прямых без построенияCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Как найти пары параллельных прямых без построенияADB =Как найти пары параллельных прямых без построенияCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построенияпараллельны, то пишут: Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построения(рис. 211).

Как найти пары параллельных прямых без построения

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Как найти пары параллельных прямых без построения

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Как найти пары параллельных прямых без построения

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеКак найти пары параллельных прямых без построения2 =Как найти пары параллельных прямых без построения3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоКак найти пары параллельных прямых без построения1 =Как найти пары параллельных прямых без построения3. Значит,Как найти пары параллельных прямых без построения1 =Как найти пары параллельных прямых без построения2.

Как найти пары параллельных прямых без построения

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построенияи АВКак найти пары параллельных прямых без построенияКак найти пары параллельных прямых без построения, то расстояние между прямыми Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построенияравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Как найти пары параллельных прямых без построения. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Как найти пары параллельных прямых без построения

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построения, А Как найти пары параллельных прямых без построенияКак найти пары параллельных прямых без построения, С Как найти пары параллельных прямых без построенияКак найти пары параллельных прямых без построения, АВКак найти пары параллельных прямых без построенияКак найти пары параллельных прямых без построения, CDКак найти пары параллельных прямых без построенияКак найти пары параллельных прямых без построения.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Как найти пары параллельных прямых без построения

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построенияи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Как найти пары параллельных прямых без построенияCAD =Как найти пары параллельных прямых без построенияBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Как найти пары параллельных прямых без построенияравны (см. рис. 285). Прямая Как найти пары параллельных прямых без построения, проходящая через точку А параллельно прямой Как найти пары параллельных прямых без построения, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Как найти пары параллельных прямых без построения, которая параллельна прямой Как найти пары параллельных прямых без построения. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Как найти пары параллельных прямых без построениябудет перпендикуляром и к прямой Как найти пары параллельных прямых без построения(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Как найти пары параллельных прямых без построенияADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Как найти пары параллельных прямых без построенияBAD +Как найти пары параллельных прямых без построенияADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Как найти пары параллельных прямых без построения

Тогда Как найти пары параллельных прямых без построенияBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Как найти пары параллельных прямых без построенияАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построения— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Как найти пары параллельных прямых без построения, параллельную прямой Как найти пары параллельных прямых без построения.

Как найти пары параллельных прямых без построения

Тогда Как найти пары параллельных прямых без построения|| Как найти пары параллельных прямых без построения. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Как найти пары параллельных прямых без построенияравноудалены от прямых Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построенияна расстояние Как найти пары параллельных прямых без построенияАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построения, то есть расстояние от точки М до прямой Как найти пары параллельных прямых без построенияравно Как найти пары параллельных прямых без построенияАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Как найти пары параллельных прямых без построения. Но через точку К проходит единственная прямая Как найти пары параллельных прямых без построения, параллельная Как найти пары параллельных прямых без построения. Значит, точка М принадлежит прямой Как найти пары параллельных прямых без построения.

Таким образом, все точки прямой Как найти пары параллельных прямых без построенияравноудалены от прямых Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построения. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Как найти пары параллельных прямых без построения. Прямая Как найти пары параллельных прямых без построения, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построения, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Как найти пары параллельных прямых без построения

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Как найти пары параллельных прямых без построенияКак найти пары параллельных прямых без построения

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Как найти пары параллельных прямых без построения

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построения— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построения— параллельны.

Как найти пары параллельных прямых без построения

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Как найти пары параллельных прямых без построенияи Как найти пары параллельных прямых без построенияесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Как найти пары параллельных прямых без построения

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📺 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

ВСЕ О СЕЧЕНИЯХ В СТЕРЕОМЕТРИИСкачать

ВСЕ О СЕЧЕНИЯХ В СТЕРЕОМЕТРИИ

7 класс, 26 урок, Практические способы построения параллельных прямыхСкачать

7 класс, 26 урок, Практические способы построения параллельных прямых

Практические способы построения параллельных прямых | Геометрия 7-9 класс #29 | ИнфоурокСкачать

Практические способы построения параллельных прямых | Геометрия 7-9 класс #29 | Инфоурок

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямыхСкачать

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямых

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

26. Практические способы построения параллельных прямыхСкачать

26. Практические способы построения параллельных прямых
Поделиться или сохранить к себе: