О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
- Основные понятия
- Формула радиуса окружности
- Если известна площадь круга
- Если известна длина
- Если известен диаметр окружности
- Если известна диагональ вписанного прямоугольника
- Если известна сторона описанного квадрата
- Если известны стороны и площадь вписанного треугольника
- Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника
- Если известна площадь сектора и его центральный угол
- Если известна сторона вписанного правильного многоугольника
- Скачать онлайн таблицу
- Квадрат. Онлайн калькулятор
- Свойства квадрата
- Диагональ квадрата
- Окружность, вписанная в квадрат
- Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата
- Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности
- Окружность, описанная около квадрата
- Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата
- Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности
- Периметр квадрата
- Признаки квадрата
- Нахождение радиуса описанной вокруг квадрата окружности
- Формулы вычисления радиуса описанной окружности
- Через сторону квадрата
- Через диагональ квадрата
- Примеры задач
Видео:Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать
Основные понятия
Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.
Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости. Если говорить проще, то это замкнутая линия, как, например, обруч и кольцо.
Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.
Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. Общепринятое обозначение радиуса — латинская буква R.
Возможно тебе интересно узнать — как найти длину окружности?
Видео:Радиус и диаметрСкачать
Формула радиуса окружности
Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.
Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать
Если известна площадь круга
R = √ S : π, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.
Видео:Радиус описанной окружностиСкачать
Если известна длина
R = P : 2 * π, где P — длина (периметр круга).
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Видео:Лучший способ найти площадь кругаСкачать
Если известен диаметр окружности
R = D : 2, где D — диаметр.
Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.
Видео:ПЛОЩАДЬ КРУГА. ЛАЙФХАК #math #логика #загадка #математика #геометрияСкачать
Если известна диагональ вписанного прямоугольника
R = d : 2, где d — диагональ.
Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:
d = √ a 2 + b 2 , где a, b — стороны вписанного прямоугольника.
Видео:Найти центр и радиус окружностиСкачать
Если известна сторона описанного квадрата
R = a : 2, где a — сторона.
Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.
Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать
Если известны стороны и площадь вписанного треугольника
R = (a * b * c) : (4 * S), где a, b, с — стороны, S — площадь треугольника.
Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать
Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника
R = S : p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.
Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.
Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать
Если известна площадь сектора и его центральный угол
R = √ (360° * S) : (π * α), где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.
Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.
Видео:Найти площадь квадрата описанного около окружности радиуса 19Скачать
Если известна сторона вписанного правильного многоугольника
R = a : (2 * sin (180 : N)), где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.
В правильном многоугольнике все стороны равны.
Видео:КАК НАЙТИ РАДИУС КРУГА (ОКРУЖНОСТИ), ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать
Скачать онлайн таблицу
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.
Видео:+Как найти длину окружностиСкачать
Квадрат. Онлайн калькулятор
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):
Можно дать и другие определение квадрата.
Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).
Видео:Как Найти Радиус Сегмента на Потолке. Радиус Окружности По Хорде И Высоте СегментаСкачать
Свойства квадрата
- Длины всех сторон квадрата равны.
- Все углы квадрата прямые.
- Диагонали квадрата равны.
- Диагонали пересекаются под прямым углом.
- Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
- Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:
Видео:Квадрат кассается окружности в двух точках Найти радиус окружностиСкачать
Диагональ квадрата
Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.
На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.
Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:
. | (1) |
Из равенства (1) найдем d:
. | (2) |
Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.
Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:
Ответ:
Видео:КАК НАЙТИ РАДИУС КРУГА, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ПЛОЩАДЬ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать
Окружность, вписанная в квадрат
Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):
Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать
Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата
Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:
(3) |
Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.
Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:
Ответ:
Видео:Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать
Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности
Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:
(4) |
Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.
Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:
Ответ:
Видео:8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружностиСкачать
Окружность, описанная около квадрата
Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):
Видео:Радиус Хорда ДиаметрСкачать
Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата
Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.
Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:
(5) |
Из формулы (5) найдем R:
(6) |
или, умножая числитель и знаменатель на , получим:
. | (7) |
Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:
Ответ:
Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности
Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.
Из формулы (1) выразим a через R:
. | (8) |
Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Найти сторону квадрата.
Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя в (8), получим:
Ответ:
Периметр квадрата
Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.
Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:
(9) |
где − сторона квадрата.
Пример 6. Сторона квадрата равен . Найти периметр квадрата.
Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя в (9), получим:
Ответ:
Признаки квадрата
Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.
Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом.
Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).
Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть
(10) |
Так как AD и BC перпендикулярны, то
(11) |
Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда
(12) |
Эти реугольники также равнобедренные. Тогда
(13) |
Из (13) следует, что
(14) |
Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).
Нахождение радиуса описанной вокруг квадрата окружности
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около квадрата. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.
Формулы вычисления радиуса описанной окружности
Через сторону квадрата
Радиус R окружности, описанной около квадрата, равняется длине его стороны a, умноженной на квадратный корень из двух и деленной на два.
Через диагональ квадрата
Радиус R описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали d.
Примеры задач
Задание 1
Длина стороны квадрата равняется 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.
Применим первую формулу, рассмотренную выше:
Задание 2
Вычислите длину диагонали квадрата, если радиус описанной вокруг него окружности составляет 6 см.
Как мы знаем, радиус описанной окружности равняется половине диагонали квадрата. Следовательно, общая длина диагонали равняется 12 см (6 см ⋅ 2).