Основные определения и свойства. Число π |
Формулы для площади круга и его частей |
Формулы для длины окружности и ее дуг |
Площадь круга |
Длина окружности |
Длина дуги |
Площадь сектора |
Площадь сегмента |
Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать
Основные определения и свойства
Фигура | Рисунок | Определения и свойства | ||||||||||||||||||||||||
Окружность | ||||||||||||||||||||||||||
Дуга | ||||||||||||||||||||||||||
Круг | ||||||||||||||||||||||||||
Сектор | ||||||||||||||||||||||||||
Сегмент | ||||||||||||||||||||||||||
Правильный многоугольник | ||||||||||||||||||||||||||
Окружность |
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Часть круга, ограниченная хордой
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.
Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.
Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:
Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.
Видео:Алгебра 10 класс. 20 сентября. Числовая окружность #6 координаты точекСкачать
Формулы для площади круга и его частей
Числовая характеристика | Рисунок | Формула | |||||||||
Площадь круга | |||||||||||
Площадь сектора | |||||||||||
Площадь сегмента |
Площадь круга |
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать
Формулы для длины окружности и её дуг
Числовая характеристика | Рисунок | Формула | |
Длина окружности | |||
Длина дуги |
Длина окружности |
где R – радиус круга, D – диаметр круга
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать
Площадь круга
Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).
Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .
Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .
Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна
Видео:10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскостиСкачать
Длина окружности
то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:
откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :
Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.
Видео:Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать
Длина дуги
Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать
Площадь сектора
Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Видео:Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать
Площадь сегмента
Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем
В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем
Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать
Как найти координаты точек на дуге зная координаты точек хорды?
Добрый день, спасибо за ответ.
Допустим, есть точки А(15,5), В(190,40) и радиус 300.
Тогда d = sqrt(300^2 — (190 — 15)^2 — (40 — 5)^2) = 241
Середина отрезка (x3, y3) = ((190 — 15)/2, (40 — 5)/2) = (87.5, 17.5)
|AB| = sqrt((190 — 15)^2 + (40 — 5)^2) = 178.5
Тогда направляющий вектор (x4, y4) = ((190 — 15)/178.5, (40 — 5)/178.5) = (0.98, 0.2)
Возьмем один вариант центра (x0, y0) = (87.5 + 241 * 0.2, 17.5 — 241 * 0.98) = (135.7, -218.7)
А что дальше, не понимаю. Подскажите плиз.
Итак, я уже записал, что d ≈ 286,4.
Середина отрезка (x3, y3) = ((190 + 15)/2, (40 + 5)/2) = (102,5, 22,5)
|AB| = sqrt((190 − 15)² + (40 − 5)²) = 178,5
КОНТРОЛЬ: 286,4² + 178,5²/4 = 300,0
(x4, y4) = (0,980, 0,196).
(x0, y0) = (102,5 + 286,4·0,196; 22,5 − 286,4·0,980) = (158,7, −258,1)
КОНТРОЛЬ: расстояние между точками:
(15 − 158,7)² + (5 + 258,1)² ≈ 299,8²
(190 − 158,7)² + (40 + 258,1)² ≈ 299,7²
Поскольку мы пошли вправо (в распространённой в математике правой системе координат; в компьютерах чаще используют левую) от вектора AB и нам нужна меньшая из двух дуг, в порядке увеличения полярного угла будет сначала B, потом A. (Пошли бы влево — было бы наоборот.) Радиус-векторы:
OB = (190 − 158,7; 40 + 258,1) = (31,3; 298,1)
OA = (15 − 158,7; 5 + 258,1) = (−143,7; 263,1)
atan2 соответствующих векторов: 84,0° и 118,6°. (Простите, считаю на эмуляторе МК-61, так что пусть будет в градусах.) Никакого упорядочивания не требуется. Разница 34,6°.
Промежуточные углы: 92,65°; 101,3°; 109,95°.
Возьмём, например, первую точку:
(158,7 + 300·cos 92,65°; −258,1 + 300·sin 92,65°) = (144,8, 41,6).
КОНТРОЛЬ: расстояние между точками:
(144,8 − 158,7)² + (41,6 + 258,1)² ≈ 300,0²
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Как найти координаты центр окружности??
Инструкция
1
Аналитически окружность задается уравнением вида (x-x0)²+(y-y0)²=R², где x0 и y0 − координаты центра окружности, R − ее радиус. Итак, центр окружности (x0;y0) здесь задан в явном виде.
2
Пример. Установите центр фигуры, заданной в декартовой системе координат уравнением (x-2)²+(y-5)²=25.
Решение. Данное уравнение является уравнением окружности. Ее центр имеет координаты (2;5). Радиус такой окружности равен 5.
3
Уравнение x²+y²=R² соответствует окружности с центром в начале координат, то есть, в точке (0;0). Уравнение (x-x0)²+y²=R² означает, что центр окружности имеет координаты (x0;0) и лежит на оси абсцисс. Вид уравнения x²+(y-y0)²=R² говорит о расположении центра с координатами (0;y0) на оси ординат.
4
Общее уравнение окружности в аналитической геометрии запишется как: x²+y²+Ax+By+C=0. Чтобы привести такое уравнение к выше обозначенному виду, надо сгруппировать члены и выделить полные квадраты: [x²+2(A/2)x+(A/2)²]+[y²+2(B/2)y+(B/2)²]+C-(A/2)²-(B/2)²=0. Для выделения полных квадратов, как можно заметить, требуется добавлять дополнительные величины: (A/2)² и (B/2)². Чтобы знак равенства сохранялся, эти же величины надо вычесть. Прибавление и вычитание одного и того же числа не меняет уравнения.
5
Таким образом, получается: [x+(A/2)]²+[y+(B/2)]²=(A/2)²+(B/2)²-C. Из этого уравнения уже видно, что x0=-A/2, y0=-B/2, R=√[(A/2)²+(B/2)²-C]. Кстати, выражение для радиуса можно упростить. Домножьте обе части равенства R=√[(A/2)²+(B/2)²-C] на 2. Тогда: 2R=√[A²+B²-4C]. Отсюда R=1/2·√[A²+B²-4C].
6
Окружность не может быть графиком функции в декартовой системе координат, так как, по определению, в функции каждому x соответствует единственное значение y, а для окружности таких «игреков» будет два. Чтобы убедиться в этом, проведите перпендикуляр к оси Ox, пересекающий окружность. Вы увидите, что точек пересечения две.
7
Но окружность можно представить как объединение двух функций: y=y0±√[R²-(x-x0)²]. Здесь x0 и y0, соответственно, представляют собой искомые координаты центра окружности. При совпадении центра окружности с началом координат объединение функций принимает вид: y=√[R²-x²].
🔥 Видео
Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать
Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать
Длина дуги числовой окружности | Алгебра 10 класс #9 | ИнфоурокСкачать
Нахождение длины дуги кривойСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать
ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать
Как найти длину дуги окружности центрального угла. Геометрия 8-9 классСкачать
Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать
Точки на числовой окружностиСкачать