Как найти координаты дуги окружности

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
Как найти координаты дуги окружностиОсновные определения и свойства. Число π
Как найти координаты дуги окружностиФормулы для площади круга и его частей
Как найти координаты дуги окружностиФормулы для длины окружности и ее дуг
Как найти координаты дуги окружностиПлощадь круга
Как найти координаты дуги окружностиДлина окружности
Как найти координаты дуги окружностиДлина дуги
Как найти координаты дуги окружностиПлощадь сектора
Как найти координаты дуги окружностиПлощадь сегмента

Как найти координаты дуги окружности

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

ФигураРисунокОпределения и свойства
ОкружностьКак найти координаты дуги окружности
ДугаКак найти координаты дуги окружности
КругКак найти координаты дуги окружности
СекторКак найти координаты дуги окружности
СегментКак найти координаты дуги окружности
Правильный многоугольникКак найти координаты дуги окружности
Как найти координаты дуги окружности
Окружность
Как найти координаты дуги окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

ДугаКак найти координаты дуги окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

КругКак найти координаты дуги окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

СекторКак найти координаты дуги окружности

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

СегментКак найти координаты дуги окружности

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольникКак найти координаты дуги окружности

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Как найти координаты дуги окружности

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Как найти координаты дуги окружности

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Видео:Алгебра 10 класс. 20 сентября. Числовая окружность #6 координаты точекСкачать

Алгебра 10 класс. 20 сентября. Числовая окружность #6 координаты точек

Формулы для площади круга и его частей

Как найти координаты дуги окружности,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Как найти координаты дуги окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Как найти координаты дуги окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Как найти координаты дуги окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Как найти координаты дуги окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаКак найти координаты дуги окружности
Площадь сектораКак найти координаты дуги окружности
Площадь сегментаКак найти координаты дуги окружности
Площадь круга
Как найти координаты дуги окружности

Как найти координаты дуги окружности,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораКак найти координаты дуги окружности

Как найти координаты дуги окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Как найти координаты дуги окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаКак найти координаты дуги окружности

Как найти координаты дуги окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Как найти координаты дуги окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

Как найти координаты дуги окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Длина окружностиКак найти координаты дуги окружности
Длина дугиКак найти координаты дуги окружности
Длина окружности
Как найти координаты дуги окружности

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дугиКак найти координаты дуги окружности

если величина угла α выражена в радианах

Как найти координаты дуги окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Как найти координаты дуги окружности

Как найти координаты дуги окружности

Как найти координаты дуги окружности

Как найти координаты дуги окружности

Как найти координаты дуги окружности

Как найти координаты дуги окружности

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Видео:10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскостиСкачать

10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскости

Длина окружности

Как найти координаты дуги окружности

Как найти координаты дуги окружности

Как найти координаты дуги окружности

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

Как найти координаты дуги окружности

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Видео:Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать

Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат Лекция

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Как найти координаты дуги окружности

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Как найти координаты дуги окружности

из которой вытекает равенство:

Как найти координаты дуги окружности

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Как найти координаты дуги окружности

из которой вытекает равенство:

Как найти координаты дуги окружности

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Как найти координаты дуги окружности

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Как найти координаты дуги окружности

из которой вытекает равенство:

Как найти координаты дуги окружности

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Как найти координаты дуги окружности

из которой вытекает равенство:

Как найти координаты дуги окружности

Видео:Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать

Как найти координаты точек на тригонометрической окружности

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Как найти координаты дуги окружности

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

Как найти координаты дуги окружности

Как найти координаты дуги окружности

Как найти координаты дуги окружности

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Как найти координаты точек на дуге зная координаты точек хорды?

Как найти координаты дуги окружности

Добрый день, спасибо за ответ.
Допустим, есть точки А(15,5), В(190,40) и радиус 300.
Тогда d = sqrt(300^2 — (190 — 15)^2 — (40 — 5)^2) = 241
Середина отрезка (x3, y3) = ((190 — 15)/2, (40 — 5)/2) = (87.5, 17.5)
|AB| = sqrt((190 — 15)^2 + (40 — 5)^2) = 178.5
Тогда направляющий вектор (x4, y4) = ((190 — 15)/178.5, (40 — 5)/178.5) = (0.98, 0.2)
Возьмем один вариант центра (x0, y0) = (87.5 + 241 * 0.2, 17.5 — 241 * 0.98) = (135.7, -218.7)

А что дальше, не понимаю. Подскажите плиз.

Как найти координаты дуги окружности

Как найти координаты дуги окружности

Итак, я уже записал, что d ≈ 286,4.
Середина отрезка (x3, y3) = ((190 + 15)/2, (40 + 5)/2) = (102,5, 22,5)
|AB| = sqrt((190 − 15)² + (40 − 5)²) = 178,5

КОНТРОЛЬ: 286,4² + 178,5²/4 = 300,0

(x4, y4) = (0,980, 0,196).
(x0, y0) = (102,5 + 286,4·0,196; 22,5 − 286,4·0,980) = (158,7, −258,1)

КОНТРОЛЬ: расстояние между точками:
(15 − 158,7)² + (5 + 258,1)² ≈ 299,8²
(190 − 158,7)² + (40 + 258,1)² ≈ 299,7²

Поскольку мы пошли вправо (в распространённой в математике правой системе координат; в компьютерах чаще используют левую) от вектора AB и нам нужна меньшая из двух дуг, в порядке увеличения полярного угла будет сначала B, потом A. (Пошли бы влево — было бы наоборот.) Радиус-векторы:
OB = (190 − 158,7; 40 + 258,1) = (31,3; 298,1)
OA = (15 − 158,7; 5 + 258,1) = (−143,7; 263,1)
atan2 соответствующих векторов: 84,0° и 118,6°. (Простите, считаю на эмуляторе МК-61, так что пусть будет в градусах.) Никакого упорядочивания не требуется. Разница 34,6°.
Промежуточные углы: 92,65°; 101,3°; 109,95°.

Возьмём, например, первую точку:
(158,7 + 300·cos 92,65°; −258,1 + 300·sin 92,65°) = (144,8, 41,6).

КОНТРОЛЬ: расстояние между точками:
(144,8 − 158,7)² + (41,6 + 258,1)² ≈ 300,0²

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Как найти координаты центр окружности??

Инструкция
1
Аналитически окружность задается уравнением вида (x-x0)²+(y-y0)²=R², где x0 и y0 − координаты центра окружности, R − ее радиус. Итак, центр окружности (x0;y0) здесь задан в явном виде.
2
Пример. Установите центр фигуры, заданной в декартовой системе координат уравнением (x-2)²+(y-5)²=25.
Решение. Данное уравнение является уравнением окружности. Ее центр имеет координаты (2;5). Радиус такой окружности равен 5.
3
Уравнение x²+y²=R² соответствует окружности с центром в начале координат, то есть, в точке (0;0). Уравнение (x-x0)²+y²=R² означает, что центр окружности имеет координаты (x0;0) и лежит на оси абсцисс. Вид уравнения x²+(y-y0)²=R² говорит о расположении центра с координатами (0;y0) на оси ординат.
4
Общее уравнение окружности в аналитической геометрии запишется как: x²+y²+Ax+By+C=0. Чтобы привести такое уравнение к выше обозначенному виду, надо сгруппировать члены и выделить полные квадраты: [x²+2(A/2)x+(A/2)²]+[y²+2(B/2)y+(B/2)²]+C-(A/2)²-(B/2)²=0. Для выделения полных квадратов, как можно заметить, требуется добавлять дополнительные величины: (A/2)² и (B/2)². Чтобы знак равенства сохранялся, эти же величины надо вычесть. Прибавление и вычитание одного и того же числа не меняет уравнения.
5
Таким образом, получается: [x+(A/2)]²+[y+(B/2)]²=(A/2)²+(B/2)²-C. Из этого уравнения уже видно, что x0=-A/2, y0=-B/2, R=√[(A/2)²+(B/2)²-C]. Кстати, выражение для радиуса можно упростить. Домножьте обе части равенства R=√[(A/2)²+(B/2)²-C] на 2. Тогда: 2R=√[A²+B²-4C]. Отсюда R=1/2·√[A²+B²-4C].
6
Окружность не может быть графиком функции в декартовой системе координат, так как, по определению, в функции каждому x соответствует единственное значение y, а для окружности таких «игреков» будет два. Чтобы убедиться в этом, проведите перпендикуляр к оси Ox, пересекающий окружность. Вы увидите, что точек пересечения две.
7
Но окружность можно представить как объединение двух функций: y=y0±√[R²-(x-x0)²]. Здесь x0 и y0, соответственно, представляют собой искомые координаты центра окружности. При совпадении центра окружности с началом координат объединение функций принимает вид: y=√[R²-x²].

🔥 Видео

Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 класс

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкам

Длина дуги числовой окружности | Алгебра 10 класс #9 | ИнфоурокСкачать

Длина дуги числовой окружности | Алгебра 10 класс #9 | Инфоурок

Нахождение длины дуги кривойСкачать

Нахождение длины дуги кривой

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Как найти длину дуги окружности центрального угла. Геометрия 8-9 классСкачать

Как найти длину дуги окружности центрального угла. Геометрия 8-9 класс

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Точки на числовой окружностиСкачать

Точки на числовой окружности
Поделиться или сохранить к себе: