С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:
- Три стороны треугольника.
- Две стороны треугольника и угол между ними.
- Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
- Одна сторона и любые два угла.
Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.
- Решение треугольника по трем сторонам
- Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
- Решение треугольника по стороне и любым двум углам
- Теория и практика по треугольникам (Часть Ⅱ)
- Площадь произвольного треугольника
- Тригонометрия в прямоугольных треугольниках
- Теорема синусов и теорема косинусов
- Что нужно знать:
- Как найти стороны прямоугольного треугольника
- Онлайн калькулятор
- Найти гипотенузу (c)
- Найти гипотенузу по двум катетам
- Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу
- Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу
- Найти гипотенузу по двум углам
- Найти катет
- Найти катет по гипотенузе и катету
- Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу
- Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу
- Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу
- Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу
- 💡 Видео
Видео:Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать
Решение треугольника по трем сторонам
Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .
(1) |
(2) |
Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения
. |
Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).
Решение. Из формул (1) и (2) находим:
. |
. |
, . |
И, наконец, находим угол C:
Видео:Найдите третью сторону треугольникаСкачать
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.
Найдем сторону c используя теорему косинусов:
. |
. |
Далее, из формулы
. |
. | (3) |
Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.
Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:
. |
Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.
Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:
, |
. |
Из формулы (3) найдем cosA:
. |
Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:
. |
Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
Решение треугольника по стороне и любым двум углам
Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.
Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:
. |
Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:
, . |
, . |
Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.
Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:
Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:
Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:
Видео:Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5Скачать
Теория и практика по треугольникам (Часть Ⅱ)
Площадь треугольников.
Тригонометрия в прямоугольных треугольниках.
Что такое синус/косинус.
Таблицы Брадиса. Как пользоваться.
Теорема синусов и косинусов.
Геометрия — это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах.
С основными свойствами разобрались, теперь рассмотрим формулы и их приминение.
Площадь произвольного треугольника
Нет, это не кривая пентаграмма, нужны на этом рисунке только обозначения. Рассмотрим формулы школьной программы.
Высоту умножаем на ту сторону, на которую приходит высота:
В эту формулу подставляем угол между сторонами a и b:
Удобно использовать эту формулу, когда известны все стороны треугольника, p — полупериметр (половина суммы длин всех сторон):
Данная формула отлично помогает найти радиус вписанной окружности для любого треугольника, если известна площадь:
А эта формула помогает найти радиус описанной окружности для любого треугольника:
А зачем такое количество формул? К каждой задаче будут предоставлять разное дано, удобно знать и применять все формулы, чтобы максимально быстро решать задачи.
Полезные формулы для прямоугольного и равностороннего треугольника:
В данном случае получается, что один катет «b» — высота треугольника, а катет «а» — основание.
Эту формулу можно вывести большим количеством способов, самый простой через формулу №2
Задача №1. Дано на рисунке:
Оттолкнемся от вопроса: нужно найти площадь. Помимо 5 формул для произвольного треугольника, нам подойдет формула нахождения площади через полупроизведение катетов.
Вариантов здесь много (можно через т. Пифагора), но самый быстрый — найти ∠А = 180°− 90° − 60° = 30°, тогда площадь найдем по (2) формуле: S = ½absinα
Ответ: 60
Задача №2. Дано на рисунке:
Снова оттолкнемся от вопроса: нужно найти площадь. Дан обычный треугольник, значит, наш выбор ограничен первыми 5−ью формулами. В первой нужна высота, во второй угол, а в третьей полупериметр, но мы же знаем все стороны! Для начала найдем периметр и полупериметр:
Теперь можно подставить все числа в формулу площади:
Главное — правильно определиться с формулой.
Задача №3. Дано на рисунке:
В ΔABH: ∠A = 180°− 90° − 45° = 45°, значит, ∠A = ∠B => BH = AH = 12.
Тогда площадь можно найти по формуле (1) S=½bh. Высота AH = 12, основание AC = 16+12 = 28. => S = ½×12×28 = 168
Задача №4. Дано на рисунке:
Оттолкнемся от отношения, которое нам дано. Мы знаем, что сумма данных углов равна 90°, если ∠ACM = х и ∠ВCM = 2х, тогда 2х+х = 90°
∠ACM = х = 30° => ∠ВCM = 60°. А что у нас равно 4-ем? Да, медиана! А медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы (2−ое свойство). Тогда отметим равные углы:
В ΔBCM получается ∠ВCM = ∠СВM = 60°, тогда ∠СМВ = 60° и ΔBCM — правильный:
Площадь найдем по (2) формуле: S = ½absinα:
Задача №5. Дано на рисунке:
В дано есть только стороны, а найти нужно угол. Как это сделать? Вот стороны 14,2 и 7,1 во сколько раз отличаются? Да, в 2 раза, а значит угол ∠BAL = 30° (против угла в 30° лежит катет, который в два раза меньше гипотенузы).
Значит, ∠A = 60° => ∠ACB = 180° − 90° − 60° = 30°, а ∠ACB — смежный с ∠ACV => ∠ACV = 180° − 30° = 150°.
Что касается LC: внимательно рассмотрим ΔALC, можно даже лупой воспользоваться. Что видишь? ∠LAC = ∠ACL = 30° => ΔALC — равнобедренный, LC = AL = 14,2.
Ответ: 14,2 и 150°
Тригонометрия в прямоугольных треугольниках
В прямоугольном треугольнике три стороны: 2 катета и гипотенуза.
Катеты меньшие стороны треугольника. Гипотенуза большая сторона, которая лежит напротив угла в 90°.
Относительно угла α:
Катет, который составляет угол, называют прилежащим. Катет, который находится напротив угла, называют противолежащим. Логично? Замечательно!
Тригонометрические функции (синус, косинус. ) задают связь между углом и длинами сторон.
Но хорошо бы знать какие-то значения тригонометрических функций при определенных углах. Все значения вместе образуют таблицу Брадиса. С ее помощью можно вычислить почти любое значение тригонометрической функции при заданом угле. Но как с ней работать?
Найдем sin(10°) . Для этого выберем столбец sin и в нем найдем 10°. Ближайшее значение — это то, что нам нужно — 0,1736.
А что за столбец 0′; 6′; 12′ и т.д. Это минуты! Не те, которых мы ждем в конце урока, а градусные минуты.
Из общего: и те, и другие минуты измеряются в промежутке от 0 до 60.
Градусные минуты делят один градус на 60 минут (1°=60′), нужны они для большей точности задания угла.
p.s. Есть еще и градусные секунды, и в одной градусной минуте 60 градусных секунд, знакомо? 1° = 60′ = 3600».
Семь десятых градуса нужно перевести в минуты. Можно через пропорцию:
Теперь в таблице нужно найти 77°42′ для косинуса. Для синуса минуты прописаны, а для косинуса нет. Но мы же люди не гордые, сами напишем, но в обратном порядке. На пересечении 77° и 42′ получаем наше значение:
Но чтобы не загромождать таблицу 0, его в начале пишут только в первых строчках, поэтому ответ cos(77,7°) = 0,213.
В задачах же таким обилием углов похвастаться нельзя, достаточно знать значения для 30°; 45°; 60°; 90°.
Искусство решать геометрические задачи чем-то напоминает трюки иллюзионистов — иногда,
даже зная решение задачи, трудно понять, как можно было до него додуматься.
Задача №6. Дано на рисунке:
В этой задаче известен противолежащий катет относительно угла в 45°, а найти нужно гипотенузу. Смотрим, где у нас есть противполежащий катет и гипотенуза? Это синус!
Смотрим в таблице, чему равен синус 45°, и подставляем в отношение:
Задача №7. Дано на рисунке:
Мы разобрались с тригонометрическими функциями в прямоугольных треугольниках, значит, и в этой задаче нужно перейти к прямоугольному треугольнику.
В ΔLTK — равнобедренный : ∠L = ∠LKT = (180° − 120°)/2 = 30°
Отлично, в прямоугольном ΔLVK: ∠L = 30° и известна гипотенуза, а нам нужно найти противолежащий катет, чем воспользуемся? Опять синусом!
Теорема синусов и теорема косинусов
Сразу возникает вопрос, а теорема тангенсов тоже есть? Конечно, есть, но она очень редко используется.
Для любого треугольника можно записать такое соотношение, это будет теорема синусов:
Запомни, что сторона относится к синусу противолежащего угла.
Следствие из теорма синусов гласит, что любое соотношение равно двум радиусам описанной окружности:
Для любого треугольника можно записать такое соотношение, это будет теорема косинусов:
А что будет, если α = 90°, а cos(90) = 0? Получится:
Теорема Пифагора, вот так просто можно запомнить теорему косинусов. Начать как теорему Пифагора, а затем вычесть удвоенное произведение на косинус угла между ними.
Можно записать и для других сторон в этом же треугольнике:
Задача №8. Дано на рисунке:
Запишем теорему синусов для двух отношений:
Выразим отсюда KT:
∠K = 180° − 60° − 45° = 75°. Чтобы найти синус угла 75°, советую посмотреть эту статью, нужно воспользовать формулой суммы синусов:
Тогда представим 75° в виде двух табличных значений:
Аналогично выразим LT:
Ответ: 16,3 и 22,3
Задача №9. Дано на рисунке:
Найти нужно x и y. Запишем теорему косинусов для этого треугольника:
Икс выразим через игрек:
Отлично, поздравляю тебя с Elementary по геометрии!
Что нужно знать:
- Вертикальные, смежные, соответственные, накрест лежащие углы.
- Равенство и подобие треугольников.
- Что такое медиана, биссектриса, высота.
- Свойства треугольников.
- Площадь треугольников.
- Синус/косинус в треугольнике.
- Теорему синусов и косинусов.
Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
Как найти стороны прямоугольного треугольника
Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать
Онлайн калькулятор
Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
- для гипотенузы (с):
- длины катетов a и b
- длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
- для катета:
- длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
- длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
- длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
Введите их в соответствующие поля и получите результат.
Найти гипотенузу (c)
Найти гипотенузу по двум катетам
Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?
Формула
следовательно: c = √ a² + b²
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:
c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см
Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу
Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:
c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см
Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу
Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:
c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см
Найти гипотенузу по двум углам
Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.
Найти катет
Найти катет по гипотенузе и катету
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:
a = √ 5² — 4² = √ 25 — 16 = √ 9 = 3 см
Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:
b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см
Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:
a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см
Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:
b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см
Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:
💡 Видео
Почти никто не решил ➜ Найдите сторону треугольникаСкачать
Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Диагностический вариант 4 ЕГЭ по профильной математике. Уровень ЕГЭ 2024Скачать
Как найти стороны треугольников #математика #огэ #shortsСкачать
Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать
Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать
Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать
Задача про стороны треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать
КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать
Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать
Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать
Как найти Х и У? Нельзя пользоваться теоремами синусов и косинусов!Скачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать