Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Задача 10 (ОГЭ — 2015)

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠ AOB = 18°. Длина меньшей дуги AB равна 5. Найдите длину большей дуги окружности.

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

∠ AOB = 18°. Вся окружность составляет 360°. Поэтому ∠ AOB составляет 18/360 = 1/20 окружности.

Значит, и меньшая дуга AB составляет 1/20 всей окружности, поэтому большая дуга — это остальная часть, т.е. 19/20 окружности.

1/20 окружности соответствует длине дуги, равной 5. Тогда длина большей дуги равна 5*19 = 95.

Задача 10 (ОГЭ — 2015)

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠ AOB = 40°. Длина меньшей дуги AB равна 50. Найдите длину большей дуги окружности.

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

∠ AOB = 40°. Вся окружность составляет 360°. Поэтому ∠ AOB составляет 40/360 = 1/9 окружности.

Значит, и меньшая дуга AB составляет 1/9 всей окружности, поэтому большая дуга — это остальная часть, т.е. 8/9 окружности.

1/9 окружности соответствует длине дуги, равной 50. Тогда длина большей дуги равна 50*8 = 400.

Задача 10 (ГИА — 2014)

Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности.

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AOB получим:

AO 2 = OB 2 +AB 2 ,

AO 2 = 27 2 +36 2 = 729+1296 = 2025,

Тогда диаметр равен 2R = 2*45 = 90.

Задача 10 (ГИА — 2014)

Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC = 134° и ∠OAB = 75°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

∠ABC — вписанный, а значит равен половине дуги, на которую опирается. Поэтому большая дуга AC = 2*134 = 268°.

Тогда дуга ABC = 360° — 268° =92°.

∠AOC = 92°,так как он является центральным углом и опирается на дугу ABC.

Сумма углов в выпуклом четырехугольнике равна 360°, откуда получаем:

Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Как найти дугу окружности зная меньшую дугуОсновные определения и свойства. Число π
Как найти дугу окружности зная меньшую дугуФормулы для площади круга и его частей
Как найти дугу окружности зная меньшую дугуФормулы для длины окружности и ее дуг
Как найти дугу окружности зная меньшую дугуПлощадь круга
Как найти дугу окружности зная меньшую дугуДлина окружности
Как найти дугу окружности зная меньшую дугуДлина дуги
Как найти дугу окружности зная меньшую дугуПлощадь сектора
Как найти дугу окружности зная меньшую дугуПлощадь сегмента

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

ФигураРисунокОпределения и свойства
ОкружностьКак найти дугу окружности зная меньшую дугу
ДугаКак найти дугу окружности зная меньшую дугу
КругКак найти дугу окружности зная меньшую дугу
СекторКак найти дугу окружности зная меньшую дугу
СегментКак найти дугу окружности зная меньшую дугу
Правильный многоугольникКак найти дугу окружности зная меньшую дугу
Как найти дугу окружности зная меньшую дугу
Окружность
Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

ДугаКак найти дугу окружности зная меньшую дугу

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

КругКак найти дугу окружности зная меньшую дугу

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

СекторКак найти дугу окружности зная меньшую дугу

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

СегментКак найти дугу окружности зная меньшую дугу

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольникКак найти дугу окружности зная меньшую дугу

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Формулы для площади круга и его частей

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу,

если величина угла α выражена в радианах

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу,

если величина угла α выражена в градусах

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу,

если величина угла α выражена в радианах

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаКак найти дугу окружности зная меньшую дугу
Площадь сектораКак найти дугу окружности зная меньшую дугу
Площадь сегментаКак найти дугу окружности зная меньшую дугу
Площадь круга
Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораКак найти дугу окружности зная меньшую дугу

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу,

если величина угла α выражена в радианах

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаКак найти дугу окружности зная меньшую дугу

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу,

если величина угла α выражена в радианах

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкам

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Длина окружностиКак найти дугу окружности зная меньшую дугу
Длина дугиКак найти дугу окружности зная меньшую дугу
Длина окружности
Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дугиКак найти дугу окружности зная меньшую дугу

если величина угла α выражена в радианах

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:НАЙДИ ДЛИНУ БОЛЬШЕЙ ДУГИСкачать

НАЙДИ ДЛИНУ БОЛЬШЕЙ ДУГИ

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Длина окружности

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Видео:Как найти длину дуги окружности центрального угла. Геометрия 8-9 классСкачать

Как найти длину дуги окружности центрального угла. Геометрия 8-9 класс

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

из которой вытекает равенство:

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

из которой вытекает равенство:

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Видео:Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

из которой вытекает равенство:

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

из которой вытекает равенство:

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Видео:+Как найти длину окружностиСкачать

+Как найти длину окружности

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Как найти длину дуги окружности ?

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

r — радиус окружности

α — угол AOB, в градусах

Формула длины дуги ( L ):

Как найти дугу окружности зная меньшую дугу

Калькулятор для расчета длины дуги окружности :

Формулы для окружности и круга:

🎦 Видео

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.Скачать

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.

Длина дуги окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. Практическая часть. 9 класс.

72. Градусная мера дуги окружностиСкачать

72. Градусная мера дуги окружности

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

Как брать неберущийся интеграл Задача Найти длину дуги параболыСкачать

Как брать неберущийся интеграл Задача Найти длину дуги параболы

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Вершины треугольника делят окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11Скачать

Вершины треугольника делят  окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)

Длина дуги числовой окружности | Алгебра 10 класс #9 | ИнфоурокСкачать

Длина дуги числовой окружности | Алгебра 10 класс #9 | Инфоурок
Поделиться или сохранить к себе: